融入數(shù)形結(jié)合思想提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

王亞萍 北京市房山區(qū)長(zhǎng)陽(yáng)鎮(zhèn)長(zhǎng)陽(yáng)中心小學(xué)

國(guó)際學(xué)生評(píng)估項(xiàng)目（PISA）的概念是：數(shù)學(xué)素養(yǎng)是一個(gè)人能夠在不同情境中形成、運(yùn)用和解釋數(shù)學(xué)的能力，其中包括數(shù)學(xué)推理，運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)程序、數(shù)學(xué)事實(shí)和數(shù)學(xué)工具來(lái)描述、解釋、預(yù)測(cè)實(shí)際生活。數(shù)學(xué)素養(yǎng)能夠幫助個(gè)體理解數(shù)學(xué)在社會(huì)生活中的作用，并做出相對(duì)正確的決策和判斷；數(shù)學(xué)素養(yǎng)是學(xué)生數(shù)學(xué)情感態(tài)度與價(jià)值觀、數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)能力的綜合體現(xiàn)，也是中國(guó)學(xué)生必備的核心素養(yǎng)之一。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年）中指出，數(shù)學(xué)課程的四大總目標(biāo)分別為：知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決和情感態(tài)度，可見(jiàn)問(wèn)題解決在數(shù)學(xué)課程中占據(jù)著十分重要的位置，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高有著非常重要的意義。在平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐中，教師會(huì)發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的種類(lèi)千姿百態(tài)，結(jié)構(gòu)變化多端，同時(shí)也有相當(dāng)一部分學(xué)生在遇見(jiàn)解決問(wèn)題的題目時(shí)愁眉不展，不知從哪里入手，特別是在學(xué)完北京版教材六年級(jí)上冊(cè)分?jǐn)?shù)乘除法及百分?jǐn)?shù)的相關(guān)內(nèi)容后設(shè)置的與分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題單元，學(xué)生更是一頭霧水。通過(guò)仔細(xì)分析，學(xué)生出現(xiàn)這種狀態(tài)的原因是不能將題目中的數(shù)學(xué)信息和問(wèn)題很好地轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，且不能較好地與實(shí)際生活相結(jié)合，進(jìn)而不能有效地分析出題目中包含的數(shù)量關(guān)系，更無(wú)法用相應(yīng)的、合適的、與實(shí)際應(yīng)用關(guān)聯(lián)的策略去靈活有效地分析和解決問(wèn)題。

朱智賢在《兒童心理學(xué)》一書(shū)中指出：“小學(xué)生思維發(fā)展的基本特點(diǎn)是從以具體形象思維為主的形式逐步過(guò)渡到以抽象邏輯思維為主的形式，但這種抽象邏輯思維在很大程度上仍然是直接與感性經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系的，具有很大程度的具體形象性。”因此，雖然六年級(jí)學(xué)生處于小學(xué)生涯的末期，抽象邏輯思維有了一定程度的發(fā)展，但是這種發(fā)展還沒(méi)有完全成熟。而在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中需要學(xué)生有很好的邏輯思維，這就出現(xiàn)了矛盾沖突。“數(shù)形結(jié)合”可以較好地緩解這種沖突。“數(shù)形結(jié)合”是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化解決問(wèn)題。解決小學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合問(wèn)題就是把數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)學(xué)信息和問(wèn)題通過(guò)圖形的方式形象地表示出來(lái)，讓學(xué)生清楚地明白題目中的數(shù)量關(guān)系，讓數(shù)和形各展所長(zhǎng)，實(shí)現(xiàn)抽象邏輯思維和具體形象思維之間的和諧統(tǒng)一。接下來(lái)，筆者將從北京版教材六年級(jí)上冊(cè)解決有關(guān)分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的實(shí)際問(wèn)題的完整過(guò)程入手，分析“數(shù)形結(jié)合”思想的重要性。

一、認(rèn)真審題，獲取題目中有用的數(shù)學(xué)信息

隨著新課程改革的逐步推進(jìn)，解決問(wèn)題的題目越來(lái)越貼近我們的實(shí)際生活，敘述也越來(lái)越生活化，這與學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)語(yǔ)言存在一定的差距。同時(shí)，很多題目存在抽象、冗長(zhǎng)的特點(diǎn)，有的題目還會(huì)出現(xiàn)與解決實(shí)際問(wèn)題無(wú)關(guān)的干擾信息，導(dǎo)致學(xué)生往往抓不住重點(diǎn)，不能很好地理解題目意思，這在無(wú)形之中又增加了學(xué)生解決問(wèn)題的難度，所以教會(huì)學(xué)生“認(rèn)真審題”是解決問(wèn)題的第一步。通過(guò)審題的過(guò)程，可以幫助學(xué)生獲取題目中有用的數(shù)學(xué)信息，過(guò)濾掉與解決問(wèn)題無(wú)關(guān)的干擾信息。

例如，一個(gè)普通的三口之家，茶余飯后，爸爸媽媽為了檢驗(yàn)孩子新學(xué)的分?jǐn)?shù)乘除法知識(shí)，開(kāi)了一個(gè)內(nèi)部交流會(huì)。首先由媽媽說(shuō)：“我的體重是48 千克。”爸爸接著說(shuō)：“媽媽的體重是我的”并告訴小亮他的體重是媽媽的問(wèn)：小亮比爸爸輕多少千克？這道題目出現(xiàn)三個(gè)人物、三個(gè)數(shù)量，當(dāng)題目中的數(shù)量增加，學(xué)生就分析不清其中的關(guān)系了，這時(shí)候教師需要引導(dǎo)學(xué)生靜下心來(lái)，將題目多讀幾遍。這道題目的問(wèn)題是“小亮比爸爸輕多少千克”，所以我們得分別求出小亮的體重和爸爸的體重。通過(guò)多次讀題，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)爸爸和小亮的體重都與媽媽的體重有關(guān)，所以求小亮和爸爸的體重都得借助媽媽的體重，只不過(guò)求爸爸的體重時(shí)，爸爸的體重是單位“1”；求小亮的體重時(shí)，媽媽的體重是單位“1”。分析到這兒，三者之間的關(guān)系就很清楚了。

再以生活中我們常乘坐的交通工具——高鐵的實(shí)際運(yùn)營(yíng)情況為例：“2017 年9 月21 日京滬高鐵部分列車(chē)運(yùn)行速度達(dá)每小時(shí)350 千米，全程運(yùn)行時(shí)間縮短之前全程運(yùn)行的時(shí)間是5 小時(shí)，現(xiàn)在需要多長(zhǎng)時(shí)間？”在這道題目里，有用的數(shù)學(xué)信息是：全程運(yùn)行時(shí)間縮短和之前全程運(yùn)行的時(shí)間是5 小時(shí)，問(wèn)題是“現(xiàn)在需要多長(zhǎng)時(shí)間”。最后的問(wèn)題與運(yùn)行時(shí)間有關(guān)，從而就可以確定“2017 年9 月21 日京滬高鐵部分列車(chē)運(yùn)營(yíng)速度達(dá)每小時(shí)350 千米”是干擾信息，學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中應(yīng)該排除掉干擾信息，只關(guān)注對(duì)解決問(wèn)題有用的數(shù)學(xué)信息。但是有很多學(xué)生往往會(huì)過(guò)度看重350 千米這個(gè)數(shù)據(jù)信息，認(rèn)為題目給出的信息都是有用的。

由此可見(jiàn)，良好的審題習(xí)慣是小學(xué)生必須掌握的一項(xiàng)基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而審題能力是提高學(xué)生解決問(wèn)題能力的關(guān)鍵，更是正確解決問(wèn)題的前提。當(dāng)然，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣并不是一蹴而就的，必須依靠一定的時(shí)間和持續(xù)性的強(qiáng)化訓(xùn)練。在日常訓(xùn)練時(shí)，教師首先要向?qū)W生提出明確的要求，并指導(dǎo)學(xué)生圈畫(huà)出關(guān)鍵字眼，建立閱讀的表象，明確數(shù)學(xué)的問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)信息和數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的關(guān)系，為下一步分析題目中的數(shù)量關(guān)系打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、數(shù)形結(jié)合，分析題目中的數(shù)量關(guān)系

當(dāng)學(xué)生順利通過(guò)審題的第一步，成功獲取題目中有價(jià)值的數(shù)學(xué)信息之后，可能仍會(huì)是一頭霧水。此時(shí)，教師就需要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的方法，讓學(xué)生通過(guò)簡(jiǎn)單的圖形、符號(hào)和文字做示意圖，標(biāo)示出題目中的重點(diǎn)數(shù)學(xué)信息，將復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)信息轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單形象的圖形語(yǔ)言，促進(jìn)學(xué)生具體形象思維和抽象邏輯思維的協(xié)同發(fā)展。這樣更有利于打開(kāi)學(xué)生解決問(wèn)題的思路，幫助學(xué)生更好地理解問(wèn)題、分析問(wèn)題，并厘清題目中的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而采用更加有效的方法解決問(wèn)題。此外，在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中也時(shí)常會(huì)出現(xiàn)這樣的情況，當(dāng)學(xué)生遇到難題百思不得其解的時(shí)候，腦海中又沒(méi)有解決類(lèi)似問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，教師就需要稍加指點(diǎn)或者以畫(huà)草圖的方式演示給學(xué)生如何切入題目，打開(kāi)學(xué)生思路，順利解決問(wèn)題。可見(jiàn)，數(shù)學(xué)圖像能將復(fù)雜的數(shù)學(xué)信息簡(jiǎn)單化，從而有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的表達(dá)。

例如，根據(jù)補(bǔ)充的條件，將正確算式的序號(hào)填在括號(hào)里。

果園里有蘋(píng)果樹(shù)180棵，________，梨樹(shù)有多少棵？

（1）梨樹(shù)的棵數(shù)比蘋(píng)果樹(shù)多25%（）；

（2）梨樹(shù)的棵數(shù)是蘋(píng)果樹(shù)的25%（）；

（3）梨樹(shù)的棵數(shù)比蘋(píng)果樹(shù)少25%（）；

（4）蘋(píng)果樹(shù)的棵數(shù)比梨樹(shù)多25%（）；

（5）蘋(píng)果樹(shù)的棵數(shù)是梨樹(shù)的25%（）；

（6）蘋(píng)果樹(shù)的棵數(shù)比梨樹(shù)少25%（）。

A.180×25% B.180÷（1+25%）C.180×（1-25%）

D.180÷25% E.180÷（1-25%）F.180×（1+25%）

像這種數(shù)學(xué)信息比較相近的題目，學(xué)生更容易發(fā)暈，但是通過(guò)畫(huà)圖，蘋(píng)果樹(shù)的棵數(shù)與梨樹(shù)的棵數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系就一目了然了。比如，補(bǔ)充第（1）和第（4）個(gè)條件，不同的已知條件，單位“1”就不一樣，根據(jù)“______的前比后”確定單位“1”的規(guī)律，可以知道補(bǔ)充條件（1），單位“1”就是蘋(píng)果樹(shù)，補(bǔ)充條件（4），單位“1”就是梨樹(shù)，從而畫(huà)出來(lái)的圖也就不一樣，進(jìn)一步說(shuō)明兩幅圖所表示的數(shù)量關(guān)系也不一樣。通過(guò)畫(huà)圖有利于加強(qiáng)數(shù)學(xué)信息和線(xiàn)段圖之間的聯(lián)系，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)信息的理解，降低學(xué)生分析問(wèn)題的難度。

圖1

圖2

再比如，還是上面一家三口體重的問(wèn)題，如果學(xué)生讀了幾遍題目之后，還是無(wú)從下手，這時(shí)候就需要提醒學(xué)生畫(huà)圖了，學(xué)生在畫(huà)圖的時(shí)候會(huì)再次思考這三個(gè)人體重之間的關(guān)系。爸爸說(shuō)：“媽媽的體重是我的”從而知道爸爸是比媽媽重的，所以畫(huà)線(xiàn)段圖的時(shí)候，代表媽媽體重的線(xiàn)段要比爸爸的短；而小亮的體重是媽媽的從而知道小亮是比媽媽輕的，所以畫(huà)圖的時(shí)候，代表小亮的線(xiàn)段要比媽媽的短，進(jìn)而也就有了下面的圖。結(jié)合圖再來(lái)看三者之間體重的關(guān)系，就清晰了很多。

圖3

總而言之，在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)候運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法不僅能降低解決問(wèn)題的難度，還可以使學(xué)生快速厘清題目中的數(shù)量關(guān)系，提升學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。

三、根據(jù)數(shù)量關(guān)系，列式解答

當(dāng)上面兩步順利完成，列出相應(yīng)的算式對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)就不是難點(diǎn)了。依舊以上面梨樹(shù)、蘋(píng)果樹(shù)的問(wèn)題為例，補(bǔ)充第（1）個(gè)條件：梨樹(shù)的棵數(shù)比蘋(píng)果樹(shù)多25%，那么，題目中所包含的數(shù)量關(guān)系就是：梨樹(shù)的棵數(shù)是蘋(píng)果樹(shù)棵數(shù)的（1+25%），再結(jié)合之前課堂中掌握的內(nèi)容，給出單位“1”和分率求分量用乘法，給出分量和分率求單位“1”用除法，所以列式為：180×（1+25%）；補(bǔ)充第（4）個(gè)條件：蘋(píng)果樹(shù)的棵數(shù)比梨樹(shù)多25%，題目中所包含的數(shù)量關(guān)系就是：蘋(píng)果樹(shù)的棵數(shù)是梨樹(shù)棵數(shù)的（1+25%），所以列式為：180÷（1+25%）。經(jīng)過(guò)這兩個(gè)問(wèn)題的啟發(fā)，補(bǔ)充其他的條件，學(xué)生即使不把線(xiàn)段圖畫(huà)在紙上，也能將線(xiàn)段圖呈現(xiàn)在腦子里，進(jìn)而分析出蘋(píng)果樹(shù)和梨樹(shù)之間到底是一種什么樣的數(shù)量關(guān)系，順利列式解答。

四、多種方法驗(yàn)證，提高題目的正確率

當(dāng)然，解決問(wèn)題的學(xué)習(xí)不是簡(jiǎn)單快速得到結(jié)果就好了，而是要在有效解題之后進(jìn)行自我反思驗(yàn)證，驗(yàn)證自己是否有解題紕漏，從而提高正確分析問(wèn)題、解讀和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。小學(xué)高年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)具備一定的歸納和概括能力，引導(dǎo)學(xué)生反思驗(yàn)證可以幫助其在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上不斷提升能力，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)之后可以更加深入的理解知識(shí)。同時(shí)，反思驗(yàn)證也是學(xué)生發(fā)現(xiàn)自身問(wèn)題的一種有效手段，是學(xué)生解決問(wèn)題過(guò)程中必不可少的一個(gè)環(huán)節(jié)，是學(xué)生未來(lái)發(fā)展路程中必備的品質(zhì)，對(duì)學(xué)生的成長(zhǎng)有著重要的作用。

還以蘋(píng)果樹(shù)和梨樹(shù)的例子來(lái)說(shuō)，當(dāng)學(xué)生自認(rèn)為問(wèn)題已經(jīng)解決了，已經(jīng)得到正確結(jié)果的時(shí)候，教師需要提醒學(xué)生將得出的結(jié)果再放回到原題中進(jìn)行驗(yàn)證，檢驗(yàn)我們的解題思路是否正確；如果不正確，再思考到底哪里出現(xiàn)了問(wèn)題。教師可以引導(dǎo)學(xué)生重現(xiàn)自己的解題思路，看看自己能不能把自己說(shuō)服，如果自己能給自己講通，就說(shuō)明有90%的把握做對(duì)了這道題。教師還可以引導(dǎo)學(xué)生采用多種方法再解這道題，如果所有方法的結(jié)果都是一樣的，那說(shuō)明解法肯定沒(méi)有問(wèn)題。例如，蘋(píng)果樹(shù)和梨樹(shù)的問(wèn)題，補(bǔ)充第（1）個(gè)條件，經(jīng)過(guò)一系列的分析選擇了算式180×（1+25%），到底正確嗎？讓學(xué)生換種思路再來(lái)看這道題，可以運(yùn)用方程法，設(shè)梨樹(shù)的棵樹(shù)為x 棵，進(jìn)而列的方程就是（x-180）÷180=25%，經(jīng)過(guò)解方程、計(jì)算，發(fā)現(xiàn)兩種方法的結(jié)果是一樣的，這就說(shuō)明剛才的分析思路沒(méi)有問(wèn)題。

五、適時(shí)評(píng)價(jià)，提升成就感

眾所周知，教學(xué)評(píng)價(jià)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，評(píng)價(jià)是一個(gè)過(guò)程，是一個(gè)教育的過(guò)程，是一個(gè)促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的過(guò)程，是一個(gè)師生共建的過(guò)程。在當(dāng)前的教育教學(xué)中，評(píng)價(jià)不再單指教師評(píng)價(jià)，還包括家長(zhǎng)評(píng)價(jià)、社會(huì)評(píng)價(jià)、生生評(píng)價(jià)以及學(xué)生的自我評(píng)價(jià)。尤其是學(xué)生的自我評(píng)價(jià)必不可少，學(xué)生在自我評(píng)價(jià)的過(guò)程中會(huì)看到自己的優(yōu)點(diǎn)，并不斷發(fā)現(xiàn)自己的不足，進(jìn)而改變自己、完善自己。評(píng)價(jià)對(duì)教育活動(dòng)起著非常重要的導(dǎo)向作用，它是數(shù)學(xué)課堂實(shí)施的重要環(huán)節(jié)，科學(xué)而有效的課堂教學(xué)評(píng)價(jià)不但可以為高質(zhì)量的教學(xué)提供重要保障，而且還有助于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效提升，同樣“問(wèn)題解決”的學(xué)習(xí)活動(dòng)也要重視評(píng)價(jià)。

當(dāng)蘋(píng)果樹(shù)和梨樹(shù)這樣看似復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題出現(xiàn)的時(shí)候，作為教師的我們首先要放手，給予學(xué)生獨(dú)立思考空間，在充分思考之后鼓勵(lì)學(xué)生勇于提出自己的想法。如果學(xué)生能運(yùn)用自己的解題經(jīng)驗(yàn)并主動(dòng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想清晰地闡明自己的思路，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行生生評(píng)價(jià)，促使學(xué)生汲取他人解題過(guò)程中的優(yōu)點(diǎn)，教師也要給予學(xué)生充分的肯定，同時(shí)對(duì)學(xué)生的思路進(jìn)行正向的評(píng)價(jià)而不僅僅是關(guān)注結(jié)果。即使學(xué)生的思路出現(xiàn)了小問(wèn)題，但他只要勇于說(shuō)出自己的想法就應(yīng)該受到鼓勵(lì)，同時(shí)他的問(wèn)題也為大家提供學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。當(dāng)然學(xué)生也要從字跡、思路、回答問(wèn)題的次數(shù)、聲音等方面對(duì)自己做出評(píng)價(jià)。長(zhǎng)此以往，越來(lái)越多的學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，就會(huì)主動(dòng)思考、表達(dá)自己的想法。總之，教師要用有溫度的教學(xué)評(píng)價(jià)向?qū)W生內(nèi)心灑下縷縷陽(yáng)光，全面關(guān)注學(xué)生的未來(lái)成長(zhǎng)。

我國(guó)數(shù)學(xué)家張廣厚曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“抽象思維如果脫離直觀，一般是很有限度的。同樣，在抽象中如果看不出直觀，說(shuō)明還沒(méi)有把握住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。”可見(jiàn)，抽象邏輯思維與直觀形象思維有著十分密切的聯(lián)系。在小學(xué)高年級(jí)解決有關(guān)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，“數(shù)形結(jié)合”思想可以使學(xué)生學(xué)得輕松而有效，教師要善于根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，在引導(dǎo)學(xué)生正確審題的前提下，將“數(shù)形結(jié)合”的思想自然而然地融入到教學(xué)活動(dòng)中，使學(xué)生的具體形象思維和抽象邏輯思維有機(jī)結(jié)合起來(lái)，幫助學(xué)生更好地分析解題思路，同時(shí)對(duì)學(xué)生的回答給予適時(shí)的恰當(dāng)評(píng)價(jià)，進(jìn)一步提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。