基于DOB的分數階非線性系統魯棒控制

摘? 要：針對一類具有外部干擾的系統，提出一種基于干擾觀測器和線性矩陣不等式的魯棒控制方法。針對具有外部干擾的分數階非線性不確定系統，利用系統狀態變量設計了干擾觀測器。基于干擾觀測器的輸出，設計了分數階非線性系統的魯棒狀態反饋控制器，并將控制器的設計問題轉化為一類分數階不確定系統的魯棒穩定性問題。應用分數階Lyapunov理論分析了閉環系統的穩定性，并獲得閉環系統進一步基于LMI控制器參數的求解方法。最后，用Newcastle機器人控制系統仿真驗證了提出的控制方法有效性。

關鍵詞：干擾觀測器;魯棒控制;分數階;時滯非線性系統

中圖分類號：TP391.9? ? ? ? ? 文獻標識碼：A文章編號：2096-4706（2022）06-0075-04

Robust Control of Fractional Nonlinear Systems Based on DOB

LI Hengbo

（School of Computer Science， Guangdong University of Science and Technology， Dongguan? 523083， China ）

Abstract： A robust control method based on disturbance observer and linear matrix inequality is proposed for a system with external disturbances. In view of the fractional order nonlinear uncertain system with external disturbances， this paper designs disturbance observer by using the system state variable. Based on the output of the disturbance observer， it designs a robust state feedback controller for fractional nonlinear systems， and the design problem of controller is converted into a kind of robust stability problems of fractional uncertain systems. It applies fractional Lyapunov theory to analyze the stability of the closed-loop system and obtain a further solution method based on the LMI controller parameters of the closed-loop system. Finally， the effectiveness of the proposed control method is verified by the Newcastle robot control system simulation.

Keywords： disturbance observer; robust control; fractional order; time delay nonlinear system

0? 引? ?言

分數階微積分作為控制領域中一個新的研究方向，越來越引起人們的關注。分數階微積分理論是在傳統微積分理論的基礎上拓展而來的，即將普通意義下微積分運算的微分階次和積分階次從整數階推廣到分數和復數[1]。隨著計算機技術的發展和對分數階微積分運算的深入研究，分數階微積分在多個領域中起到了越來越重要的作用。分數階微積分在整數階微積分的基礎上增加了微分和積分兩個自由度，工程上利用分數階微積分算子使描述的數學模型更為精確。另一方面，分數階的遺傳特性與記憶性為進一步改善系統的控制性能提供了條件。

穩定性是系統最基本的結構特性，也是系統能夠正常運行的前提。文獻[2]針對階次在（0，1]范圍內的分數階微分系統提出了無時滯的分數階非線性系統Lyapunov方程系列穩定性理論。文獻[3]基于Lyapunov-Krasovskii理論和隨機穩定性理論，研究了時滯分數階線性系統時滯相關的魯棒穩定性。

在實際控制工程和控制理論中，通常把系統受到的自身參數和外部干擾或結構的不確定性視為擾動。幾乎在所有的控制工程系統中，干擾和模型不確定性是不可避免的，如何使控制系統在有干擾的情況下具有強魯棒性成為設計運動控制器必須考慮的一個重要問題。干擾觀測器對干擾進行估計時，不需要對干擾信號建立精確的數學模型，而且其本身的結構非常簡單，所以避免了大量的數學運算，并能很好地滿足工程需要。目前，干擾觀測器被廣泛應用于許多高精度運動控制系統中，文獻[4]提出了將速度擾動觀測器對無人機視軸系統進行反饋補償，擾動信號由分數階PID控制器進行抑制。文獻[5]采用非線性干擾觀測器對時變干擾進行動態補償，從而實現移動機械臂的穩定控制。

本文設計了一類分數階時滯不確定系統的魯棒控制器，可以有效地改善干擾抑制的性能，用線性外源系統提供的干擾信息建立干擾觀測器。用干擾觀測器的輸出設計了魯棒控制策略，可以實現零穩態誤差。通過仿真實驗驗證了所提出的控制方法的有效性。

1? 預備知識

在分數階微積分理論發展過程中，出現了很多種分數階微積分定義，并且從某種意義上來說某些定義具有一定的等價性。由于在初始條件下Caputo型分數階微積分定義與整數階微積分定義的方式一致，所以本文在接下來的內容中用Caputo微積分定義。57BA3E12-9874-42DC-8917-AA60F86E9236

定義1.1：Caputo型分數階微積分定義：

式中，n-1≤α≤n，n∈N。

注1.1：Γ為Gamma函數，用歐拉積分定義為：。

Caputo型分數階微積分有以下性質：

性質1.1：;

性質1.2：由Caputo微積分定義得到，當0≤α≤1時，其中，

。

本文考慮不確定系統的非線性如下：

=Φ（t），t∈[-h，0]? （1）

其中是狀態向量，是控制輸入向量，是系統外部干擾。A，Ad和B是常數矩陣，Φ（t）是系統的初始向量。

假設不確定系統（1）具有以下形式：

ΔA（t）=DF1（t）E（2）

其中，D，E為已知常數矩陣，表示系統結構的不確定性，F1（t）為Lebesgue可測的時變矩陣且滿足：

（3）

函數表示系統的非線性，且滿足以下假設。

假設1.1：f（0）=0且f（x（t））f（x（t））對于x滿足全局Lipschitz條件：

其中U是合適維數的已知矩陣。

2? 干擾觀測器設計

假設系統（1）的干擾d（t）來源于如下線性外源系統：

（4）

其中，和。W和V是已知適當維數的矩陣。

在工程應用中許多不同種類的干擾可以用這個模型描述。在文章的下面部分中，考慮系統（1）和干擾動態系統（4）需要以下假設。

假設2.1：（A，B）可控，（W，V）可觀。

為了估計和重構未知干擾d，構造如下干擾觀測器：

（5）

其中，L∈Rn×n是待定的干擾觀測器增益矩陣。

定義干擾估計誤差，由式（1），（4）和（5）得：

（6）

通過設計觀測器增益矩陣L可以實現干擾近似的目的，若L滿足（6）則系統具有良好的穩定性和魯棒性。

注2.1：從（6）可以看出，增益矩陣L是干擾觀測器（5）的一個非常重要的設計參數。L的選擇不僅能影響觀測器的穩定性，而且能使系統在不確定因素LΔA（t）x（t）下具有魯棒性。

3? 分數階魯棒控制器的設計

假設系統的狀態可以直接測量得到，本文的目的是設計魯棒控制器使系統（1）魯棒漸近穩定。現設計如下魯棒控制器：

為了獲得分數階非線性系統的穩定性條件，下面提出基于Lyapunov理論的分數階時滯系統的新方法。給出了下面定理得到本文的主要結果。

引理3.1：存在矩陣或向量X，Y，對任意常數α>0，滿足以下不等式：

（13）

定理3.1：對于給定正數α3和α4，若存在常數α1>0和α2>0，矩陣，，，，滿足LMI條件，那么閉環系統在控制律（7）的作用下魯棒漸近穩定，進一步漸近穩定控制器參數選擇為和。

4? 仿真

針對Newcastle機器人[6]控制系統，采用分數階PDα控制方法驗證所提方法的有效性。選取機器人系統參數為：m=2 500 kg，c=32 Ns/mm，k=44.5 N/mm，Kp=100，KD=100。進行MATLAB仿真時，各矩陣參數如下：

τM=1，τD=0.5，并取分數階階次α=0.9。

由線性外源系統（4）產生的系統干擾d（t）描述為：

選取α3=α4=1，利用MATLAB LMI工具箱求解LMI得到：

雖然分數階微分算子可以近似用傳遞函數來表示，但傳遞函數模塊不能直接設置初值，若設置初值必須將傳遞函數轉化為狀態空間形式。為了實現仿真分數階系統，在simulink平臺上，可通過使用state-space（狀態空間）模塊來實現。根據（α=0.1～0.9，步長0.1，逼近誤差2 dB）的逼近公式，如α=0.9可近似為：。仿真中，選取初始狀態的值為，初始干擾值為d0=[-1.2，-1，-0.1]T，干擾觀測器的初始值為。

圖1顯示了開環系統的狀態響應曲線，由圖可見，具有外部開環分數階時滯不確定系統不穩定。圖2分別顯示了在觀察器（5）的作用下，外部干擾及其觀測值的仿真曲線，易見，設計的干擾觀測器能對外部干擾進行準確的估計。在控制律（7）的作用下，閉環系統狀態響應曲線如圖3所示，由圖可見，設計的控制器不但能使閉環系統穩定，而且能有效抑制外部干擾。對于不具有外部干擾的分數階時滯系統（18），采用了最優控制方法進行設計，結果如圖4所示。

5? 結? 論

本文提出基于分數階時滯干擾觀測器不確定系統的魯棒控制。為了增強干擾抑制性能和魯棒性，用線性外源系統干擾近似系統的干擾，并由干擾觀測器的輸出，設計了分數階時滯不確定系統的魯棒控制方法。用觀測器的輸出反饋到控制器作為外部干擾的補償，以抵消干擾從而達到擾動抑制的目的。在構建的系統下，用直接Lyapunov理論和LMI方法得到閉環系統滿足穩定性條件和控制器的參數。最后用仿真證明設計的分數階魯棒控制策略的有效性。

參考文獻：

[1] 孫延修.基于觀測器Lipschitz非線性系統魯棒控制方法 [J].沈陽大學學報（自然科學版），2021，33（5）：404-408.

[2] ZHAO L D，HU J B，FANG J A，et al. Studying on the stability of fractional-order nonlinear system [J].Nonlinear Dynamics，2012，70（1）：475-479.

[3] BALASUBRAMANIAM P，LAKSHMANAN S，RAKKIYAPPAN R. LMI optimization problem of delay-dependent robust stability criteria for stochastic systems with polytopic and linear fractional uncertainties [J].International Journal of Applied Mathematics & Computer Science，2012，22（2）：339-351.

[4] 姜珊，侯宏錄.基于擾動觀測器和分數階PID的視軸穩定控制 [J].自動化與儀表，2020，35（8）：16-20.

[5] 山東大學.基于非線干擾觀測器的移動機械臂魯棒控制方法及系統：CN202011468196.9 [P].2021-04-13.

[6] LAZAREVI M P. Finite time stability analysis of PDα fractional control of robotic time-delay systems [J]. Mechanics Research Communications，2006，33（2）：269-279.

作者簡介：李亨博（1990—），女，瑤族，湖南永州人，講師，碩士研究生，研究方向：智能控制。

收稿日期：2022-02-22

基金項目：廣東科技學院校級科研項目（青年項目）（GKY-2020KYQNK-8）57BA3E12-9874-42DC-8917-AA60F86E9236