小球沿豎直圓軌道運動脫軌后問題的探討

董廷燦

(安徽省明光中學，安徽 滁州 239400)

1 問題的呈現

如圖1所示，半徑為R的光滑圓形軌道置于豎直平面內，并固定在光滑的水平面上，質量為m的小球(可看成質點)從最低點A以初速度v0開始運動(忽略空氣阻力)。若小球脫軌：(1) 脫軌的位置如何確定？(2) 脫軌后小球將做何種運動？軌跡如何確定？

圖1

2 問題的解決

2.1 脫軌位置的確定

下面就極端情況對結果進行討論：

2.2 小球脫軌后的運動性質及軌跡的確定

從軌道上P點脫軌后，小球將以速度vP做斜拋運動。如圖2所示，以軌道的圓心為坐標原點，水平向右為x軸正方向、豎直向上為y軸正方向建立平面直角坐標系，則P點的坐標值為：xP=-Rsinθ，yP=Rcosθ。

圖2

把P點的速度vP分解為水平分速度vPx=vPcosθ，和豎直分速度vPy=vPsinθ，則在水平和在豎直方向上分別有：vPx=vPcosθ，x-xP=vxt=vPtcosθ④

2.2.1 小球到達最高點的位置

聯立③、⑦兩式解得：

2.2.2 小球落到圓軌道上的位置

解出x的坐標值后，再代入⑥式即可求得y的坐標值，從而得到從不同θ所對應的P點脫軌后打到圓形軌道上的位置坐標，下面對打在圓軌道上的幾個特殊位置進行討論。

圖3

對于脫軌后到打到軌道上所用的時間文獻[2]已做探討，這里不再作分析。