高中物理中時間不收斂問題的探討

李 鑫

(浙江省桐鄉第一中學，浙江 嘉興 314500)

1 例題呈現與簡評

如圖1所示，在水平地面上固定著相距為L的足夠長粗糙導軌PQ及MN，PQNM范圍內存在磁感應強度可以調節的勻強磁場，方向豎直向上，導軌左側末端接有電動勢為E、內阻為r的電源，開關K控制電路通斷。質量為m、電阻為r的導體棒ab垂直導軌方向靜止置于其上，與導軌接觸良好。電路中其余電阻均忽略不計。導軌右側末端有一線度非常小的速度轉向裝置，能將導體棒水平方向速度轉為與地面成θ角方向且不改變速度大小。導體棒在導軌上運動時受到恒定的阻力f，導軌棒發射離開導軌后，在空中會受到與速度方向相反、大小與速度大小成正比的阻力，f0=kv，k為比例常數。導體棒在運動過程中只平動、不轉動。調節磁場的磁感應強度，閉合開關K，使導體棒獲得最大的速度。

圖1

(1) 求導體棒獲得最大的速度vm；

(2) 導體棒從靜止開始達到某一速度v1的過程中滑過的距離為x0，導體棒ab發熱量為Q，求電源提供的電能及通過電源的電量q；

(3) 調節導體棒初始放置的位置，使其在到達NQ時恰好達到最大速度，最后發現導體棒以v的速度豎直向下落到地面上。求導體棒自NQ運動到剛落地這段過程的平均速度大小。

此題把含源電路和電磁感應問題與考慮阻力的拋體運動巧妙地熔于一爐，還設計了一個最值問題。可惜，最后的拋體問題設計犯了一個科學性錯誤。

2 原題參考答案

本題的前兩問是常規的電磁感應與動力學、能量相結合的綜合題，解題方法也比較常規，在這里不再贅述，下面著重討論第(3)問的解答。

3 問題探討

該題第(3)問仍然是將動量定理和電磁感應相結合，但結合方式換成了一個純粹的力學模型，試題命制者的意圖是讓學生在水平方向上運用動量定理求出水平位移，在豎直方向運用動量定理求出運動總時間，但犯了一個科學性錯誤，導體棒ab不可能以速度v豎直向下落到地面，也就是導體棒ab在水平方向上的分速度不可能是0。

還有一個經典的有關拋體運動的錯題是：已知雨滴在空中運動時所受的空氣阻力f=kr2v2，其中k為比例系數，r為雨滴的半徑，v為雨滴下落速度，雨滴由靜止開始沿豎直方向下落，落地前雨滴已做勻速直線運動，且速率為v0，用a表示雨滴的加速度，g表示重力加速度，下列圖像中可能正確的是( )。

圖2

不少教輔資料上都有這道題，普遍認為A選項是對的，理由是小球受到的阻力隨著速度增大而增大，所以小球下降過程中加速度一定減小。但這種分析未免草率，只知道阻力隨著時間增加，加速度在減小，如何確定加速度就是這么平滑地變化？實際上此問題需要解一個較復雜的微分方程。

圖3

在此類問題中，雖然達到收尾速度需要無限長時間，但這些與時間相關的物理量如電量和熱量卻是收斂的。如含容電路的問題：電容器初始電壓為U，導體棒初速度為0，回路電阻為r，磁感應強度是B，不考慮阻力，導軌足夠長。

圖4

4 結語

在物理學發展的過程中，微分方程始終伴隨著物理學的成長。高中物理問題的解決通常采用初等數學方法，難免在一些初等數學到高等數學處理的邊界之處會出現一些“沖突”，有些問題可以回避，有些問題要正面面對并解決，不能出現科學性的問題。