數學大概念的內涵、提取途徑及其理解維度

卜夢丹，唐恒鈞

（浙江師范大學教師教育學院，浙江 金華 321004）

《普通高中數學課程標準（2017 年版2020 年修訂）》（以下簡稱《標準2017》）中指出“重視以學科大概念為核心，使課程內容結構化”［1］。近年來，數學學科作為培養人的理性和思維的學科，其指向大概念的研究受到了學者們的廣泛關注，那什么是數學大概念？如何提取數學大概念？數學大概念如何理解？這些問題對于如何利用大概念優化課程與教學，乃至培養學生的數學大概念都極為重要。

一、數學大概念的內涵及層次

大概念作為《標準2017》提出的教育理念，為新時期引領基礎教育課程改革提供了一個重要抓手。信息時代背景下，知識呈現指數式增長，教學應該關注學科和重大問題最為基本的理解，提升到更高的抽象度（大概念）上。綜合分析國內外學者對大概念的界定不難發現大概念與問題解決、遷移能力、普適性、統攝性、抽象性等關鍵詞聯系密切，這也意味著大概念并不像教材中的某些概念一樣只限定于特定的情境、具體的時間中，它是跨文化、情境以及時間存在的，具有非常強的生活價值和遷移價值。數學大概念是大概念理念在數學學科中的具體表達和綜合運用，它是基于數學學科本質和數學核心內容提取出來的具有統攝性的表達，需具備以下特征：能夠幫助學生理解數學的本質；能夠賦予學生參與數學探究的能力；支持數學與其他學科、學生生活產生聯系，它可以表述為一個詞語、一個短句或者是一個問題。

數學大概念在知識體系中處于上位，其獲得需要經過長時間的理解和概括，所以在教學中需要以單元為載體，這是由數學大概念的核心特征所決定的，但它也是一個相對概念，即存在層級之分。單元大概念是對單元知識內容的抽象概括，它給了教師一個更高位的視角去看待本單元的學習，但單元大概念并不能直接教給學生，數學教學是以課為單位，因此單元內的每節課要選取一個具有高度統攝性的課時大概念［2］。課時大概念一方面指向每一節課中的具體的知識和問題，有利于學生的理解，另一方面它指向單元大概念的獲得，學生在學習每一課時大概念的過程中逐步深化以得到單元大概念。綜上，數學大概念存在單元大概念和課時大概念兩個層級，但在數學教學中選擇大概念并不是拋棄基礎概念和相關核心概念的學習，而是通過大概念把基礎概念和核心概念更好地統攝起來，它們作為獲得大概念的必經途徑，對于數學學習具有非常重要的意義。經分析數學大概念層級金字塔（如圖1所示），塔尖是本單元所涉及的學科核心素養、新課標對本單元要求實現的關鍵能力等；第二層是本單元所指的單元大概念；第三層是本單元的課時大概念，單元大概念和課時大概念聯系緊密，相輔相成；第四層是本單元的核心概念，一般為大概念的概念派生，以及單元重要的數學思想方法、重要的學習內容等；塔底是本單元的基礎概念和重要內容，它支撐著大概念的形成，有助于教學目標的實現。

圖1 數學大概念層級金字塔

二、數學大概念的提取路徑

結合我國的教育現狀，劉徽總結了大概念提取的八條路徑，前四種是自上而下提取的，包括課程標準、學科核心素養、專家思維、概念派生；后四種是自下而上提取的，包括生活價值、知能目標、學習難點、評價標準［3］。李剛、呂立杰兩位學者指出學科大概念遴選的有效策略包括標準演繹、歸納生成兩種方式，這兩種不是各自獨立的，而是相輔相成共同作用的［4］。綜上大概念的提取路徑有兩條：一種是自上而下的標準演繹式，即從課程標準、學科核心素養、重要的數學思維、數學思想方法中等提取出來；另外一種是自下而上的歸納生成式，即從教學或學習的重難點、生活中的實際問題、事實性知識等抽象概括而來。依據數學大概念進行單元—課時教學，首先需要提取出單元大概念和課時大概念，筆者認為，單元大概念應采取自上而下的標準演繹式，再采取自下而上的方式進行論證；課時大概念應采取自下而上的歸納生成式，再采取自上而下的方式進行論證，整個提取過程中應充分考慮大概念之間、大概念與小概念之間的密切關聯。根據數學大概念金字塔層級圖，以“函數”單元和“指數函數”課時為例，說明具體提取方法。

（一）單元大概念的提取途徑

單元大概念給教師更高的視角去思考單元—課時教學，單元大概念既是學生單元學習的最終目標，也是教師思考整個單元教學的邏輯起點，因此單元大概念的提取需立足于整個單元的思考，其具體提取方法如下。

第一，研讀新課標、教師指導用書等相關材料，明確本單元的教學目標，主要包括學生經過本單元的學習需要獲得掌握哪些基本知識、數學能力和發展什么樣的數學核心素養。在函數單元中，學生需要從變量依賴、集合對應、函數圖象等多個角度理解函數的概念，理解函數的基本性質，掌握一些基本函數類的背景、概念和性質。在此基礎上，學生需提升兩方面的能力：一是從函數視角解決方程問題和不等式問題的能力，二是在面臨實際問題時，選擇合適的函數模型進行表征進而解決問題的能力。從本質上看，第一種能力也是第二種能力的一類具體表現。本單元的學習重點是提升學生數學建模、數學抽象、數學運算、直觀想象和邏輯推理素養。

第二，深入分析單元內容，理解單元概念之間的關聯，明晰本單元所涉及的數學思維方法和數學思想方法。在函數這個大單元中，從集合對應的角度重新認識函數是單元學習的基礎，研究函數的基本性質—單調性和奇偶性既是為了研究具體函數模型的圖像與性質，也為能夠用函數模型解決實際問題做鋪墊。針對冪函數、指數函數和對數函數的研究都是從相關定義、運算性質、現實背景、圖像性質開始，進而拓展到其在生活中的具體應用，學習過程中充滿了類比、數形結合等數學思想。總的來說，函數的概念與性質是單元學習的前提，學習具體函數模型既是對函數概念性質的進一步深化，也是函數模型思想的進一步深化，函數的應用是本單元學習的最終指向。

第三，基于分析結果，抽象概括出單元大概念，提取出的單元大概念兼顧單元本質的同時還要言簡意賅，隨后從單元大概念視角自上而下分析單元知識內容，形成大概念層級金字塔，這個過程中包含了自下而上、自上而下兩方面的論證。針對以上分析結果可知函數單元學習的最終目標在于學生能深刻理解函數模型是數學模型中描述客觀世界中變量關系和規律最為基本的模型，在未來生活中能夠采取合適的函數模型去分析問題、解決問題。因而本單元的大概念為“函數與數學模型”，它統攝了本單元的核心概念和基礎概念，且指向了函數的應用。從“函數與數學模型”大概念的角度出發分析單元內容形成本單元的大概念層級金字塔（如圖2所示）。塔尖是本單元所涉及的學科核心素養，時刻提示教師教學目標在于學生學科核心素養的落實，學科知識的學習是形成核心素養的途徑，新課標指出本單元發展的關鍵能力已經包含在學科核心素養中；第二層是本單元所指的大概念，經過對新課程標準和教材的分析得出本單元大概念為“函數與數學模型”；第三層是本單元的核心概念，其中冪函數模型、指數函數模型、對數函數模型、三角函數模型是單元大概念的概念派生，也是本單元的重要學習內容，數形結合、函數與方程、類比是本單元在學習過程中所涉及的重要數學思想方法，有利于發展學生的高階思維；塔底是本單元的基礎概念和重要內容，它支撐著大概念的形成，有助于教學目標的實現。值得一提的是課時大概念這一層級需要對每一節課進行具體分析提取出課時大概念后再加入金字塔。

圖2 函數單元大概念層級金字塔

（二）課時大概念的提取途徑

圖3 指數函數課時大概念層級金字塔

針對單元內的每節課提取課時大概念得出課時大概念層級金字塔后，需要和單元大概念金字塔進行合并，在單元大概念層級金字塔加入課時大概念這一層，用各個課時大概念層級金字塔對原來的單元大概念層級金字塔進行補充和論證，從而得到最終的單元大概念層級金字塔。單元大概念指導了課時大概念的形成和理解，課時大概念促進了單元大概念的深化理解。

三、數學大概念的理解維度

在數學教學中，提取出大概念后還需要對其進行理解分析，結合大概念的內涵與特征，可從三個理解維度：意義的豐富性、地位的統攝性、多情境的適用性對提取出的大概念進行論證，以提取出的“函數與數學模型”單元大概念為例進行相關分析。

第一，意義的豐富性。大概念是根據基礎概念之間的聯系抽象概括而來，體現了知識的整體性，因而具有十分豐富的意義。首先是關聯的豐富性，大概念能夠喚起概念間的聯系，快速在頭腦中形成概念框架。比如“函數與數學模型”中包含“函數”和“數學模型”兩個關鍵詞，它能喚起學生對函數的概念和基本性質、冪函數模型、指數函數模型、對數函數模型等的理解和記憶。其次是探究的豐富性，學生在面臨不同的問題時，大概念提供了數學探究的時間和空間，允許學生建構個人意義以形成更加豐富的理解。最后是概念的豐富性，大概念是上位概念，是需要子概念去“揭示”的，學生對“函數與數學模型”的理解還需要教師通過函數的概念和基本性質、基本初等函數類等的教學來進行“揭示”。

第二，地位的統攝性。大概念地位的統攝性主要包括兩個方面：一方面它在知識體系中處于上位，能夠詮釋小概念的意義，另一方面它就像車轄，處于中心位置，把其他小概念緊緊聯系在一起。就“函數與數學模型”大概念來說，它不僅處于上位統攝課時大概念、核心概念等，也處于中心位置把這些概念緊緊圍繞環在一起，可謂是“牽一發而動全身”。“函數與數學模型”單元大概念既是“指數（型）函數是刻畫指數增長或者指數衰減變化規律的數學模型”課時大概念的上位概念，同時也處于中心位置，和其聯系緊密。

第三，多情境的適用性。林恩·埃里克森（Lynn Erickson）提出的“知識的結構”模型很好地解釋了大概念為何能在多情境中進行應用，他指出大概念的教學應是從下向上的策略，即教學從主題和事實開始，將它們結合在一起找出重要的相關概念，這些概念又連接在一起形成概念性理解（大概念），并以此為基礎促進學生找到更多不同的事實性實例［5］，這樣就形成了“具體—抽象—具體”的良性互動，因此多情境的適用性主要體現在來源的多情境和應用的多情境，大概念從多情境中抽象而來，又應用到不同的情境中去。對于函數單元來說，其教學思路一般為從學生熟悉的事例作為問題情境，在此基礎上構建相關概念，進而應用概念去解決現實生活中的實際問題，其中蘊含了“具體—抽象—具體”之間的互動，體現了大概念在多情境中的適用性。

數學大概念的內涵和層次、提取策略以及理解維度等的明晰為數學大概念教學設計和教學實施奠定了基礎，有助于推進大概念的后續教學。▲