大概念：數學理解與教學的基點
——以“平面”一課為例

呂增鋒

（浙江省象山縣第二中學，浙江 寧波 315731）

數學理解是正確、有效教學的基礎，也是指導學生學會學習的基礎，更是激發學生學習興趣與減輕學生學習負擔的基礎。教師只有真正地理解數學，才有可能把知識教“活”而不是教“死”［1］。雖然，“為理解而教，為理解而學”已經成為廣大一線教師的共識，但要達成真正“理解”卻并非易事。

一、教學問題剖析

最近，象山縣舉行了教壇新秀課堂教學評比活動，上課的主題是人教A版必修第二冊立體幾何初步中的“8.4.1 平面”，由于參賽的6 位教師“理解”得不夠到位，導致教學中出現一系列問題。

1.教學結構“碎片化”

“平面”這節課內容看似簡單，但其中涉及的知識點卻比較多，有平面的基本特征、平面的畫法、平面的表示、三個基本事實、三個推論、實際應用等。6 位教師教學雖然都按照“定義—表示—基本事實—概念辨析”的邏輯順序展開，但由于沒有厘清知識之間的關聯性，比如，三個基本事實與“平面”基本特征存在什么關系、三個基本事實之間又有什么聯系，從而導致課堂教學結構松散，呈現出“碎片化”狀態。

2.教學難度“隨意化”

在這6 節課中，有些課無視學生已經學過平面幾何與空間簡單幾何體的事實，生怕學生學不會，所有的知識點都事無巨細地向學生解釋一遍；有些課無視“用符號語言表示點、線、面簡單位置關系”的教學要求，竟然把空間中的平行、垂直等復雜關系的符號表示也納入進來，甚至還要求學生運用基本事實與推論來證明空間中比較復雜的共線、共面問題。教學難度設置“隨意化”，使得教學與學生的實際認知水平相脫離。

3.教學手段“無效化”

在本節課中，三個基本事實的獲得是公認的難點，有教師就借助數學實驗這個手段來進行：給學生發放用紙卷起來的小棍，要求學生用最少數量的小棍把卡紙支撐起來，其初衷是為了讓學生發現“三點支撐”具有“穩定性”，從而獲得“不共線的三點確定一個平面”的基本事實。但在操作中，有學生用1 根小棍，即“1 點”就把卡紙立起來了，也有學生用了2 根小棍把卡紙支撐起來了，結果不僅沒有收到預期的效果還引發了不必要的爭論。究其原因，就是物理的“穩定性”與“平面的確定性”并不是兩個等價概念，要達到穩定并非要形成確定的平面，而平面也并非意味著穩定，而且紙棍有粗細、卡片有厚度與寬度，這更增加了結論的不確定性。

二、大概念的內涵及分類

那么，有沒有促使“理解”的辦法？那就是站在數學學科大概念的高度開展數學理解。大概念可以被界定為反映專家思維方式的概念、觀念或論題，它具有生活價值［2］，是“居于學科基本結構的核心概念或若干居于課程核心位置的抽象概念整合相關知識、原理、技能、活動等課程內容要素，形成有關聯的課程內容組塊”［3］。大概念能夠解釋較大范圍內的一系列相關現象、事實以及相互關系；能將較大范圍內分散的知識和事實聯結為有結構、有系統的整體；能作為一種解釋模型，賦予個別的、具體的事實以深層的意義。

按照大概念所在的層級，由高到低可以被細分為課程大概念、單元大概念、章節大概念、課時大概念。課程大概念處頂尖位置，其下面的三個“大概念”相對于它來說就成了“小概念”或者“次要概念”；同樣，課時大概念、章節大概念，相對于單元大概念來說，也是“小概念”“次要概念”，這也說明了大概念的“大”具有相對性，在每個層級中都有處于統攝地位的“大”概念。對于本節課而言，“幾何學是認識現實世界的基石”是其中的一個課程大概念，“立體幾何是研究空間中數量與位置關系的科學”是其中的一個單元大概念，“點、線、面的位置關系”是其中的一個章節大概念，“平面的無線延展與平的特性”是其中一個課時大概念。

按照大概念的教學功能來分，可以被分為指向“數學是什么”“數學如何學”“數學有什么用”“數學怎樣才算學得好”的大概念。當然這些指向有的是“明指”，有的是“暗指”。比如，“幾何學是認識現實世界的基石”明指“幾何學是基石”，暗指“幾何學在數學中的基石作用”；又比如，“平面的無線延展與平的特性”明指“平面具有的特性”，暗指“學習平面應該知道平面的這些特性”。

三、大概念引領下的數學理解與教學

從大概念中教師可以獲得數學“學什么”“如何學”“學得怎樣”等關鍵信息，因此，立足大概念開展數學理解，不僅可以讓教師知道教什么，而且還知道為什么而教；不僅能幫助教師深入理解學生，而且還能深入理解設計——單元設計、活動設計、問題設計等。不僅如此，教師還能用自己豐富的專業知識，借助大概念引領學生像專家那樣思考，使學生也成為學習的專家。

1.立足“學什么”的大概念，實現知識結構化

通常情況下，知識點是零碎地分布在教材中，數學理解的第一步就是要厘清這些知識點的內在邏輯聯系，尋找統攝整個教學內容的“主線”，把知識點有機地串聯起來，形成囊括數學知識與思想方法的網狀認知結構，從而為學生提供一個統籌兼顧、整體規劃的認知體系。而“主線”往往需要借助“學什么”的大概念來確定。

作為研究空間線面位置關系的起始課，本節課要學習的并不是幾個知識點，而是重在體驗“研究立體幾何的基本套路”，即“直觀感知—操作確認—思辨論證—度量計算”，這就是這節課“學什么”的大概念。在此基礎上，把“基本套路”進一步細化，還可以衍生出一系列的“小套路”。比如，發現公理與定理的套路：生活現象（經驗）——數學原理，即通過觀察生活現象，聯系生活經驗，提煉隱藏在其背后的數學原理；又比如，借助新的幾何對象來判斷空間位置關系的套路：借助“點”是否在平面內來判斷線是否在平面上、利用線線平行來判斷線面平行等。相比“基本套路”這個大概念，這些“小套路”可以看作“次要概念”“小概念”。大概念就是本節課的教學主線，而這些“次要概念”“小概念”可以作為構建網狀結構的節點，具體如圖1所示。

圖1 大小概念間的網狀結構圖

2.立足“如何學”的大概念，構建教學過程

數學教學的對象是學生，教學的起始點應基于學情。因此，數學理解的第二步就是從“如何學”的大概念出發，圍繞知識層面、思維層面與核心素養層面對學生的學習狀態進行詳細診斷，即了解學生已經知道了什么、還有什么是不知道的、學習中可能遇到哪些困難等，從而為構建符合學生認知方式的教學過程提供依據。

立體幾何是平面幾何在三維空間中的拓展與推廣，平面幾何的學習經驗完全可以遷移到立體幾何的學習中。因此，“類比平面幾何的學習經歷”就是這節課其中一個“如何學”的大概念。比如，通過在初中平面幾何的學習，學生已經知道“點無大小”“線無粗細”，類比后可獲得“平面無厚薄”的結論；學生知道“直線沿兩端無限延伸”，類比后可發現“平面向四周無限延伸”；學生知道“動點成線”，類比后發現“動線成面”“動面成體”；學生知道“兩點確定一條直線”，類比后可以得出“不共線的三點確定一個平面”；還可以類比直線的表示方法來表示平面……總之，通過類比，幾乎可以發現和獲得這節課的所有知識內容。

本節課還有一個重要的“如何學”的大概念，就是“動手操作”或者說“數學實驗”，它是發現“三個基本事實”的必要手段。雖然學生不乏“數學實驗”的經歷，但卻鮮有對實驗方案設計的思考。實驗方案的設計取決于實驗目的，若目的不明就很容易出現課例中那樣的無效實驗。從表面上看，發現“三個基本事實”是本次實驗的目的，但由于事先不清楚這“三個基本事實”的內在邏輯關系，學生很難從實驗現象中提煉出相應的數學原理，最終只能是教師直接給出“希望學生看到的結果”。實際上，“三個基本事實”都是為了說明平面的“平”這一本質屬性，即分別用“點”“線”“面”三個幾何對象來刻畫平面的“平”。因此，“驗證平面的平”才是指導本次數學實驗的大概念。

在這個大概念的引領下，可以設計這樣的三個實驗（如圖2）：分別用四只腳的凳子、直尺、三角尺來驗證地面是否平整，然后對實驗現象進行分析，抽象出一般的數學原理。對于第一個實驗，如果凳子會搖晃，說明桌子的四只腳不在同一平面內，地面不平。反過來說，如果地面是平的，如果凳子的四只腳中有三只腳在地面上，那么另一只也一定在地面上。把凳腳抽象為點，由此就可以發現“基本事實1”。對于第二個實驗，在地面上任意位置放置直尺，如果地面不平，那么直尺應該與地面有縫隙，直尺不能完全落在地面上；反過來說，如果地面是平的，只要保證直尺兩端緊貼地面，直尺就貼緊地面。把直尺抽象為直線，由此可以發現“基本事實2”。對于第三個實驗，要驗證地面平，一種方法是把三角尺平放在地面各處，看看是否有空隙，如果沒有就表示平，反之就不平；還有一種方法，就是把三角尺立起來，用其中一個尖角插入到地面（想象地面是軟的），如果插口呈現的都是直線的話，說明地面是平的，反之就不平。把三角尺看成平面，由此可以發現“基本事實3”。

圖2 驗證“平面是平”的實驗

3.立足“學得怎樣”的大概念，設計評價任務

最后，要對學生的學習效果進行評價。評價不僅要求具有明確的指向性，體現引領教與學的功能，而且還要在尊重學生差異的基礎上，通過設置多角度、多層次的評價任務來考查學生對于大概念的理解。因此，數學理解的第三步就是要在明確“學得怎樣”的大概念下來設計評價任務。

顯然，“用符號語言表示空間幾何關系”與“用直觀想象與演繹推理判斷、證明空間位置關系”是用來檢驗本節課“學得怎樣”的大概念。由于剛剛開始進行空間位置關系的學習，因此評價任務的難度一定要控制得當。下面是筆者設計的評價任務。

評價任務1-1（1）（難度★）點A在直線l 上，l 在平面α外，正確的表示是（）

A.A∈l，l?αB.A∈l，l?α

C.A?l，l?αD.A?l，l?α

（2）（難度★★）如果點A在直線a 上，而直線a在平面α內，點B在平面α內，則可以表示為（）

A.A?a，a?α，B∈αB.A∈a，a?α，B∈α

C.A?a，a∈α，B?αD.A∈a，a∈α，B∈α

評價任務1-2（難度★★★）把下列語句符號化，并畫出相應圖形。

（1）平面α與β相交于直線l，直線a與α，β分別相交于點A，B；

（2）點A，B在平面α內，直線a 與平面α交于點C，點C不在直線AB上。

評價任務2-1（難度★★★）如圖3，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，判斷下列命題是否正確，并說明理由：

圖3

（1）直線B′D在平面BB′D′D內；

（2）設正方形ABCD和A′B′C′D′的中心分別為O，O′，則平面ACC′A′與平面DBB′D′的交線為OO′；

（3）由點B、O、D可以確定一個平面；

（4）由點B′、D、C所確定的平面是A′DCB′；

（5）由點B′、D、C所確定的平面與點B′，A′，D確定的平面是同一個平面。

評價任務2-2利用基本事實證明三個推論。（其中推論1與推論2的證明難度★★，推論3的證明難度★★★★）

評價任務2-3（難度★★★★）如圖4，E，F，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點，且直線EF與直線FG交于點O，求證：B，D，O三點共線。

圖4

每個評價任務都設置了相應的難度星級，教師可以根據學生的實際水平靈活選擇。學生在完成評價任務的過程中，教師不僅要讓學生掌握相關的知識與技能，而且還要向學生揭示評價任務背后的大概念，比如，“類比平面幾何學習立體幾何”“研究立體幾何的基本套路”“平面是無限延展與平的特性”等。

借助大概念來開展數學理解，不僅能夠使離散的事實、技能相互聯系、結構化，并被賦予一定意義，而且能夠引導學生超越對知識和技能的學習，走向那些超越時空和情境所存在的、可遷移的觀點和思想［4］，從而使得數學課堂教學有跡可循、核心素養培育有據可依。▲