二階脈沖微分方程Dirichlet邊值問題解的存在性

何 婷

(西安電子科技大學 數學與統計學院, 西安 710126)

解的存在性, 其中: c∈C([0,1],), h∈C([0,1]×,), ci,hj∈, i=1,2,…,p, j=1,2,…,q; p,q∈; Dirac δ-函數為當x≠0時, δ(x)=0, δ(0)=+∞, δ(x)dx=1; 點0

1 引言與主要結果

考慮二階脈沖微分方程Dirichlet邊值問題

(1)

其中:c∈C([0,1],),h∈C([0,1]×,),ci,hj∈,i=1,2,…,p,j=1,2,…,q;p,q∈; Diracδ-函數為當x≠0時,δ(x)=0,δ(0)=+∞,δ(x)dx=1; 點0

|h(x,u)|≤q(x)+p(x)|u|,x∈[0,1],u∈.

(2)

問題(1)在物理、 數學和工程等領域應用廣泛[1-5].本文首先在條件(2)下證明問題(1)解的存在性; 其次證明問題(1)等價于

(3)

關于脈沖微分方程(3)這類方程目前已有很多研究成果[6-11].其中Liu等[6]研究了

(4)

在非線性項滿足次線性、 超線性和漸近線性3種情形下解的存在性, 其中0=t0

定理1[6]假設:

1) 存在a,b>0,γ∈[0,1), 使得

2) 存在aj,bj>0,γj∈[0,1)(j=1,2,…,m), 使得

本文在f(t,u)至多線性增長的條件下討論二階脈沖微分方程Dirichlet邊值問題(1)解的存在性.

本文總假設:

(H1)c∈C[0,1];

(H2)h∈C([0,1]×,), 存在p(·),q(·)∈L2[0,1], 使得式(2)成立;

本文主要結果如下:

定理2假設(H1)～(H3)成立, 則脈沖問題(1)存在一個解u=u(x), 且滿足

注1帶Dirac形脈沖問題的特征可參見文獻[12-13], 問題(1)這種形式有利于在泛函框架下定義弱解.

注2本文研究結果不僅得到了問題(1)解的存在性, 還確定了解的上界.

2 弱解的正則性

令H∶=W01,2(0,1), 問題(1)的弱解u∈H滿足下列積分等式：

定義

{z1,z2,…,zr}∶={x1,x2,…,xp}∪{y1,y2,…,yq}, 1≤r≤p+q;

0=z0

令D(I)(I?)表示在I上帶有緊支撐的無窮次可微函數全體,k∈{1,2,…,r+1}, 選擇v∈D(Ik), 且延伸v(x)=0,x∈(0,1)Ik, 則v∈H.對式(5)分部積分, 有

(6)

因為對任意的v∈D(Ik), 式(6)都成立, 所以存在常數a∈, 使得

(7)

從而u∈C1(Ik).又由式(7)得

u″(x)-c(x)u(x)+h(x,u(x))=0,x∈Ik,

(8)

令0<η

因為對于任意的v∈D(zk-η,zk+η), 式(9)都成立, 所以存在常數a∈, 使得

由式(10)得

Δu′(zk)∶=cku(zk)-hk.

(11)

問題(1)等價于問題

(12)

帶脈沖條件

Δu′(zk)=cku(zk)-hk,k=1,2,…,r.

(13)

滿足式(12),(13)的函數u即為脈沖問題(1)的古典解, 通過上述證明可知每個弱解都是古典解.另一方面, 每個古典解顯然都是弱解.

3 引 理

對于任意連續函數r(x)≥0(x∈[0,1])及實數ri≥0(i=1,2,…,p), 在空間H中定義如下內積：

則范數‖u‖=(u,u)1/2.設f(x)(x∈[0,1])和fi(i=1,2,…,p)為連續函數, 定義算子F:H→H為

(14)

定義算子S:H→H為

(15)

引理1若u∈H, 則

‖u‖L2(0,1)≤(minr(x)+π2)-1/2‖u‖.

證明: 對任意u∈H, 由文獻[14]有

則

證畢.

引理2對于由式(14)定義的算子F:H→H, 有

證明: 由于u∈H,F:H→H, 所以F(u)∈H,

證畢.

引理3對于由式(15)定義的算子S:H→H, 有

證明: 由于u∈H,S:H→H, 所以S(u)∈H, 再結合條件(H2), 利用H?lder不等式和Minkowski不等式, 有

證畢.

引理4(Leray-Scauder不動點定理)[15]設E是Banach空間, 算子T:E→E全連續, 若集合

{‖x‖|x∈E,x=θTx, 0<θ<1}

有界, 則T在閉球A?E中必存在不動點, 其中

A={x|x∈E, ‖x‖≤R},R=sup{‖x‖|x=θTx, 0<θ<1}.

4 主要結果的證明

下面證明定理2.令c+和c-分別表示c(x)的正部和負部, 對應c±=max{±c(x),0}, 即c(x)=c+(x)-c-(x).則問題(1)可以改寫為

(16)

u=Fc-(u)+S(u)

(17)

的不動點, 其中Fc-,S:H→H為全連續算子.引入

u=θ(Fc-(u)+S(u)),θ∈(0,1).

(18)

設u為式(18)的解, 則根據引理2和引理3, 有

從而

令

則‖u‖C[0,1]