不同擴(kuò)散策略下SI傳染病模型的行波解

焦 戰(zhàn)

(山西大學(xué) 復(fù)雜系統(tǒng)研究所, 太原 030006)

0 引 言

傳染病可通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型提供可靠的信息, 從而進(jìn)一步有效預(yù)防和控制疾病的傳播. 假設(shè)一個(gè)地區(qū)內(nèi)人口分為易感者和染病者, 并且在無染病者的情況下, 易感者人群的增長率通過Logistic模型表示, 因此Berezovsky等[1]提出了如下模型：

在許多情況下, 種群的空間變化在疾病傳播模型中具有重要作用, 因此, 許多研究都將空間因素考慮在內(nèi)[2-3].在人口生態(tài)學(xué)中, 非局部擴(kuò)散比局部擴(kuò)散可以更好地描述一個(gè)長期過程, 可通過積分算子描述擴(kuò)散過程.但實(shí)際應(yīng)用中會(huì)對(duì)易感者人群采取保護(hù)措施, 因此易感者將采用局部擴(kuò)散策略, 染病者采用非局部擴(kuò)散策略, 所以可得如下擴(kuò)散SI傳染病模型:

(1)

目前, 關(guān)于擴(kuò)散流行病模型中行波解的研究得到廣泛關(guān)注, 其可用于描述疾病以恒定速度在空間上傳播的狀態(tài)[5-7].在生物學(xué)背景下, 要討論的問題之一是行波解是否存在.Diekmann[8]使用上下解方法證明了單調(diào)系統(tǒng)行波解的存在性; Dunbar[9]利用打靶法證明了非單調(diào)系統(tǒng)行波解的存在性； 文獻(xiàn)[10-11]用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理證明了非單調(diào)系統(tǒng)行波解的存在性； Wang等[12]使用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理和Laplace變換, 研究了一類具有非局部時(shí)滯傳播的擴(kuò)散Kermack-Mckendrick流行病模型行波解的存在性和不存在性, 并建立了一些定理; Zhang等[13]研究河流中含對(duì)流的反應(yīng)擴(kuò)散捕食-食餌模型, 建立了上游和下游方向上捕食者入侵行波解, 并得到了最小波速及水文和生物因素對(duì)最小波速的影響. 本文進(jìn)一步研究不同擴(kuò)散策略下的SI傳染病模型, 證明連接無病平衡點(diǎn)E0和地方病平衡點(diǎn)E1行波解的存在性、 有界性以及漸近行為.

1 預(yù)備知識(shí)

為研究系統(tǒng)(1)的行波解, 假設(shè)核函數(shù)J(x) 滿足下列性質(zhì)：

(H2)J(·)在中是Lipschitz連續(xù)的；

(H3)J具有緊支集.

對(duì)于系統(tǒng)(1)的行波解, 是指具有以下形式的特殊解:

(S(x,t),I(x,t))=(S(ξ),I(ξ)),

(2)

其中ξ=x+ct∈,c>0為波速.將式(2)代入系統(tǒng)(1)可得如下行波方程：

(3)

尋找系統(tǒng)(3)滿足邊界條件:

(S,I)(-∞)=(S0,I0), (S,I)(+∞)=(S*,I*)

(4)

的正解.將系統(tǒng)(3)的第二個(gè)方程在無病平衡點(diǎn)(S0,I0)處線性化可得

(5)

將I(ξ)=eλξ代入式(5), 可得如下特征方程：

(6)

對(duì)任意的λ>0及c>0, 計(jì)算可得:

引理1假設(shè)R0>1,Rd>1, 且下列性質(zhì)成立:

1) 如果c=c*, 則f(λ,c)=0有兩個(gè)相同的實(shí)根λ*;

2) 如果00;

3) 如果c>c*, 則f(λ,c)=0有兩個(gè)不同的實(shí)根λ1(c)，λ2(c), 且滿足0<λ1(c)<λ*<λ2(c)<λ0, 以及

2 行波解的存在性

下面總假設(shè)R0>1,Rd>1,c>c*.定義如下連續(xù)函數(shù)：

其中σ,,η,M都是待定的正常數(shù),λ1=λ1(c)在引理1中已給出.

(7)

(8)

從而不等式(8)成立.證畢.

引理3對(duì)于充分小的0<函數(shù)滿足

(9)

證畢.

(10)

根據(jù)η<<λ1, 可得再根據(jù)引理1可知f(λ1+η,c)<0, 則

證畢.

令X>-ξ2, 定義集合

顯然ΓX在C([-X,X],2)上是一個(gè)閉凸集.

對(duì)于給定的(φ(ξ),ψ(ξ))∈ΓX, 定義

對(duì)任意的ξ∈[-X,X], 考慮下列初值問題:

(11)

由泛函微分方程的基本理論[14]可知, 初值問題(11)有唯一解(SX(ξ),IX(ξ)), 且SX(·)∈W2,p,IX(·)∈C1([-X,X]), 其中p≥2.定義算子F=(F1,F2):ΓX→C([-X,X]), 其中

SX=F1(φ,ψ),IX=F2(φ,ψ).

引理5算子F=(F1,F2)將ΓX映射到其自身.

證明: 首先, 對(duì)?(φ(·),ψ(·))∈ΓX, 需證

根據(jù)算子F的定義, 可得

引理6算子F=(F1,F2)是全連續(xù)的.

證明: 首先證明算子F的連續(xù)性.通過直接計(jì)算可得

其中

注意到對(duì)?(φ1(·),ψ1(·)), (φ2(·),ψ2(·))∈ΓX, 有

從而hψ關(guān)于ψ連續(xù), 根據(jù)式(12),(13)可知F連續(xù).

其次證明算子F的緊性.因?yàn)?/p>

所以由標(biāo)準(zhǔn)橢圓估計(jì)、 嵌入定理可知算子F是緊的.進(jìn)而可知算子F是全連續(xù)的.證畢.

應(yīng)用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理可知, 存在(SX,IX)∈ΓX滿足

SX(ξ)=F1(SX,IX)(ξ),IX(ξ)=F2(SX,IX)(ξ), ?ξ∈[-X,X].

為得到系統(tǒng)(3)行波解的存在性, 首先在下列空間中給出關(guān)于SX(·)和IX(·)的先驗(yàn)估計(jì):

C1,1([-X,X])={u∈C1([-X,X])|u和u′是Lipschitz連續(xù)的},

且具有如下范數(shù):

引理7對(duì)任意的X>-ξ2, 存在常數(shù)C(X)>0, 使得

‖SX‖C3([-X,X])≤C(X), ‖IX‖C1,1([-X,X])≤C(X).

證明: 因?yàn)?SX,IX)是算子F的不動(dòng)點(diǎn), 所以有

其中

由式(16)可得

又由于

因此存在常數(shù)C1(X)>0, 使得‖SX‖C2([-X,X])≤C1(X).

令M1=max{S0,eλ1X}, 使得對(duì)?ξ∈[-X,X], 有0≤SX(ξ)≤S0≤M1, 0≤IX(ξ)≤eλ1X≤M1, 因此

所以存在某個(gè)常數(shù)C2(X)>0, 使得‖IX‖C1([-X,X])≤C2(X).進(jìn)一步有

|IX(ξ)-IX(ζ)|

(17)

根據(jù)式(15)可得

由假設(shè)(H1)～(H3)知J在上具有緊支集且是Lipschitz連續(xù)的.取L為J的Lipschitz系數(shù),R為J的支集半徑, 則

且

(18)

3 行波解的有界性

下面證明I(ξ)在中有界.

引理8存在正常數(shù)C, 使得

所以

(19)

整理得

(20)

另一方面, 對(duì)式(19)兩邊同時(shí)從ξ-R0到ξ積分, 可得

因此有

W(ξ+R0)≤δ0W(ξ),

(21)

進(jìn)一步, 有

證畢.

引理9對(duì)于ck∈[c1,c2], 其中0

證明: 反證法.假設(shè)存在一列 {ξk}及實(shí)數(shù)>0, 使得當(dāng)k→+∞時(shí),Ik(ξk)→+∞且Sk(ξk)≥.由系統(tǒng)(3)中第一個(gè)方程及引理7可知, 存在正常數(shù)C4, 使得S″≤C4, 所以

(22)

對(duì)式(22)從ξ到ξk積分并應(yīng)用Sk(ξk)≥, 可得

Sk(ξ)≥-δ1(ξk-ξ).

由于當(dāng)k→+∞時(shí),Ik(ξk)→+∞, 則當(dāng)k→+∞時(shí), 有

再根據(jù)系統(tǒng)(3)中第一個(gè)方程可知, 當(dāng)k→+∞時(shí), 有

因此存在一個(gè)k0>0, 使得當(dāng)k≥k0時(shí), 有

因?yàn)閷?duì)任意的ξ∈, 均有Sk(ξ)

所以對(duì)任意的ξ∈[ηk-R,ηk+R], 有I(ξ)≥I0+1.因此[ηk-R,ηk+R]?[ξk,ξk+1].由系統(tǒng)(3)中第二個(gè)方程可得

引理11I(ξ)在中有界.

通過計(jì)算可得

由于

不妨假設(shè)對(duì)任意的k∈, 有ξk=0.選取子列{ck}k∈, 使得當(dāng)k→+∞時(shí), 有ck→c∞∈[c1,c2].則由引理8可知存在常數(shù)C6, 使得系統(tǒng)(3)以ck為波速的解(Sk,Ik)滿足因?yàn)楫?dāng)k→+∞時(shí)有Ik(0)→0, 因此Ik在中局部一致收斂于0, 從而在中局部一致收斂于0.由于和局部有界, 故對(duì)于子列{ck}k∈, 當(dāng)c=c∞時(shí)有0≤S∞≤S0,I∞=0, 且

(23)

令D=infS∞, 選取一列{ηk}k∈, 使得當(dāng)k→+∞時(shí)有S∞(ηk)→D.抽取子列, 函數(shù)S∞(ξ+ηk)在中收斂到函數(shù)U∞, 使得在中有

對(duì)任意的k∈及ξ∈, 定義由于在L∞中有界,Zk局部有界, 所以局部有界, 再根據(jù)系統(tǒng)(3)中第二個(gè)方程可知也局部有界.由Arzela-Ascoli定理可知函數(shù)Zk在中收斂到Z∞(ξ), 且Z∞(ξ)滿足

(24)

假設(shè)存在ξ0∈, 使得Z∞(ξ0)=0, 由式(24)有Z∞(ξ0-y)=Z∞(ξ0)=0, 表明Z∞=0恒成立, 與Z∞(0)=1矛盾.因此Z∞>0.

(25)

(26)

設(shè)W在ξ1∈處取得最小值, 則W′(ξ1)=0.由式(26)可得對(duì)?y∈, 有W(ξ1-y)=W(ξ1).顯然

4 行波解的漸近行為

下面給出本文的主要定理, 并應(yīng)用兩邊夾定理、 Lyapunov泛函以及Lebesgue控制收斂定理進(jìn)行證明.

定理1假設(shè)R0>1且Rd>1, 則對(duì)任意的c>c*, 系統(tǒng)(3)存在滿足邊界條件(4)的行波解(S(x+ct),I(x+ct)).

定義如下Lyapunov泛函：

V(S,I)(ξ)=V1(ξ)+V21(ξ)+DII*V22(ξ),

其中

直接計(jì)算可得

由于(S*,I*)是系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn), 因此有

(28)

將式(28)代入式(27)可得

此外, 有

根據(jù)文獻(xiàn)[17]可知

(31)

且

聯(lián)合式(29)～(32)可得

選取一族正的遞增序列{ξk}k≥0, 滿足當(dāng)k→+∞時(shí),ξk→+∞.定義

Sk(ξ)=S(ξ+ξk),Ik(ξ)=I(ξ+ξk).

假設(shè)Sk和Ik分別收斂到非負(fù)函數(shù)S∞和I∞.由于V(S,I)(ξ)是有界非增的, 所以存在一個(gè)常數(shù)C6和充分大的k, 滿足

C6≤V(Sk,Ik)(ξ)=V(S,I)(ξ+ξk)≤V(S,I)(ξ), ?ξ∈.

因此