一類帶p-Laplace算子的Caputo分數階導數邊值問題解的存在性

李 小 平

(湘南學院 數學與信息科學學院, 湖南 郴州 423000)

0 引 言

目前, 關于分數階微積分方程的研究已取得了許多成果[1-9]. 文獻[8]用單調迭代法研究了如下帶p-Laplace算子分數階微分方程四點邊值問題正解的存在性:

(1)

其中:

Dα,Dβ,Dγ是標準的Riemann-Liouville分數階導算子,f∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞)).文獻[9]利用Gronwall不等式和不動點定理, 研究了具有Riesz-Caputo導數的分數階微分方程

(2)

但目前關于帶p-Laplace的Caputo分數階導數的邊值問題可解性研究文獻報道較少, 基于此, 本文研究如下帶p-Laplace的Caputo分數階導數的邊值問題解的存在性：

(3)

1 預備知識

定義1[10]函數f: (0,+∞)→的ζ>0階Riemann-Liouville分數階積分定義為

定義2[10]函數f: (0,+∞)→的ζ>0階Caputo分數導數定義為

其中n=[ζ]+1, [ζ]表示實數ζ的整數部分.

引理1[10]設ζ>0,n=[ζ]+1, 則方程CDζf(t)=0的解為

f(t)=d0+d1t+d2t2+…+dn-1tn-1,

其中di∈,i=0,1,2,…,n-1.

引理2[10]設ζ>0,n=[ζ]+1, 則有

IζCDζf(t)=f(t)+d0+d1t+d2t2+…+dn-1tn-1,

其中di∈,i=0,1,2,…n-1.

(4)

的唯一解為

(5)

其中,

(6)

證明： 由引理2及方程(4), 可得

由CDαu(0)=0, 有b=0.從而有

φp(CDαu(t))=Iβh(x),

(7)

(8)

由引理2, 得等價的積分方程：

其中m1,m2,m3∈.

通過計算得

由u″(0)=0, 得m3=0.進一步由邊值條件u(0)+u′(0)=0,u(1)+u′(ξ)=0, 可得

m1+m2=0,

則

所以

證畢.

引理4式(6)定義的G(x,t)滿足如下性質：

1)G(x,t)∈C([0,1]×[0,1]),G(x,t)>0, ?x,t∈(0,1)；

2) 存在函數ν(t),ω(t)∈C(0,1), 使得

證明： 1) 由G(x,t)的定義易知1)成立.

2) 設

則可得

所以有

1) 當u∈K∩?Z1時, ‖Tu‖≤‖u‖, 且u∈K∩?Z2, ‖Tu‖≥‖u‖；

2) 當u∈K∩?Z1時, ‖Tu‖≥‖u‖, 且u∈K∩?Z2, ‖Tu‖≤‖u‖.

1) 當u∈K(θ,r2,r3)時, {u∈K(θ,r2,r3)|θ(u)>r2}≠0, 且θ(Tu)>r2；

2) 當u≤r1時, ‖Tu‖

3) 當u∈K(θ,r2,r3)時, ‖Tu‖>r3,θ(Tu)>r2.

則T至少存在3個不動點u1,u2,u3, 其中‖u1‖

2 主要結果

K={u∈X|u(x)≥0, 0≤x≤1}.

引理7算子T:K→X定義為

則算子T:K→K是全連續的.

證明： 函數G(x,t),f(x,u)是非負且連續的, 所以算子T:K→K是連續的, 由Arzela-Ascoli定理和Lebesgue控制收斂定理知算子T:K→K是全連續的.

為方便, 記

χ(h)=max{f(x,u),(x,u)∈[0,1]×[0,h]},ψ(h)=min{f(x,u),(x,u)∈[0,1]×[0,h]}.

定理1假設f: [0,1]×[0,+∞)→[0,+∞)是一個連續函數, 且存在兩個正數τ1>τ2>0, 使得

χ(τ1)≤φp(τ1L),ψ(τ2)≥φp(τ2M),

則邊值問題(3)至少有一個正解u滿足τ2≤‖u‖≤τ1.

證明： 下面分兩步進行證明.

1) 設Z1∶={u∈K|‖u‖≤τ1}.對于?u∈?Z1, 有‖u‖=τ1,f(x,u(x))≤χ(τ1)≤φp(τ1L), 其中(t,u)∈[0,1]×[0,τ1].則

因此, 對于?u∈?Z1, ‖Tu‖≤‖u‖.

2) 設Z2={u∈K|‖u‖≤τ2}.對于?u∈?Z2, 有‖u‖=τ2,f(x,u(x))≥ψ(τ2)≥φp(τ2M), 其中(x,u)∈[0,1]×[0,τ2].則有

定理2假設f∈C([0,1]×[0,+∞), [0,+∞)), 存在3個正數0<τ1<τ2<τ3, 使得:

1) 當(x,u)∈[0,1]×[0,τ1]時,f(x,u)≤φp(Lτ1)；

2) 當(x,u)∈[1/4,3/4]×[τ2,τ3]時,f(x,u)≥φp(Mτ2);

3) 當(x,u)∈[0,1]×[0,τ3]時,f(x,u)≤φp(Lτ3).

則邊值問題(3)至少有3個解u1,u2,u3, 滿足：

(10)

(11)

(12)

證明： 下面分四步證明.

且

{u∈K(θ,τ2,τ3)|θ(u)>τ2}≠?.

所以如果u∈K(θ,τ2,τ1), 則τ2≤u(t)≤τ3, 1/4≤t≤3/4.由假設2)知,f(x,u)≥φp(Mτ2),u∈K(θ,τ2,τ1), 從而

所以?u∈K(θ,τ2,τ1), 有θ(Tu)>τ2, 即滿足引理6的條件1).

即滿足引理6的條件2).

4) 如果u∈K(θ,τ2,τ3), 則由2)有θ(Tu)>τ2, 即滿足引理6的條件3).

由引理6, 邊值問題(1)至少有3個非負解u1,u2,u3, 滿足式(10)～(12).

3 應用實例

例1考慮邊值問題：

(13)

例2考慮邊值問題：

(14)

其中

由定理2知, 邊值問題(14)至少有3個非負解u1,u2,u3, 滿足：