閉模糊擬陣導(dǎo)出獨(dú)立集的等價(jià)描述

吳 德 垠

(重慶大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 重慶 401331)

基于擬陣的基本概念可得擬陣的許多等價(jià)描述(稱為公理), 這些等價(jià)描述在擬陣?yán)碚撝芯哂兄匾饔? 由于模糊擬陣[1]的復(fù)雜性, 目前關(guān)于模糊擬陣等價(jià)描述的研究文獻(xiàn)報(bào)道較少. 文獻(xiàn)[2-3]分別通過(guò)普通擬陣的基和圈, 給出了閉模糊擬陣的充要條件. 基于此, 本文通過(guò)普通擬陣的獨(dú)立集, 討論閉模糊擬陣的充要條件, 提出一種新的構(gòu)造方法, 通過(guò)確定導(dǎo)出擬陣序列中全部擬陣的獨(dú)立集族唯一確定一個(gè)閉模糊擬陣. 同時(shí), 給出該方法的一個(gè)應(yīng)用實(shí)例.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)E={x1,x2,…,xm}是非空有限集,E上的模糊集全體記為[0,1]E,E的全體子集族(即冪集)記為2E.本文涉及的模糊數(shù)學(xué)相關(guān)概念和符號(hào)參見(jiàn)文獻(xiàn)[1], 相關(guān)擬陣?yán)碚搮⒁?jiàn)文獻(xiàn)[4], 文獻(xiàn)[4]通過(guò)獨(dú)立集公理定義了擬陣.

定義1[1]設(shè)E是一個(gè)非空有限集,l?[0,1]E是一個(gè)滿足下列條件的非空模糊集族:

1)(繼承性) 若μ∈l,ν∈[0,1]E,ν≤μ, 則ν∈l;

2)(交換性) 若μ,ν∈l, |suppμ|<|suppν|, 則存在ω∈l, 使得

μ<ω≤μ∨ν,m(ω)≥min{m(μ),m(ν)}.

則稱偶對(duì)M=(E,l)是E上的模糊擬陣,l稱為M的獨(dú)立模糊集族.?μ∈[0,1]E, 若μ∈l, 則μ稱為M模糊獨(dú)立集.

該模糊擬陣也稱為G-V模糊擬陣[5].文獻(xiàn)[1]給出了將模糊擬陣分解為普通擬陣的如下方法.

定理1(模糊擬陣的分解定理)[1]設(shè)M=(E,l)是模糊擬陣, ?r∈(0,1], 令I(lǐng)r={Cr(μ)|?μ∈l}, 則Mr=(E,Ir)是E上的擬陣(稱為M的r-導(dǎo)出擬陣).存在有限實(shí)數(shù)列r0

1)r0=0,rn≤1；

2) 當(dāng)0rn時(shí),Ir={?}；

3) ?s,t∈(ri,ri+1),Is=It(0≤i≤n-1)；

4) 若ri

對(duì)應(yīng)定理1, 文獻(xiàn)[1]中定理2.3部分解決了定理1的逆問(wèn)題.文獻(xiàn)[6]中定理2.8推廣了文獻(xiàn)[1]中定理2.3, 完全解決了閉模糊擬陣中定理1的逆問(wèn)題.

定理2(閉模糊擬陣的合成定理)[6]設(shè)Mi=(E,Ii)(i=1,2,…,m)是E上的擬陣序列, 使得I1?I2?…?Im.取0=δ0<δ1<δ2<…<δm≤1, 令

l*={μ∈[0,1]E|?r∈(0,1], 均有Cr(μ)∈Ir},

其中?r∈(0,1], 當(dāng)r∈(δi-1,δi]時(shí),Ir=Ii(i=1,2,…,m), 當(dāng)δm<1,r∈(δm,1]時(shí),Ir={?}.則:

1)M=(E,l*)是一個(gè)閉模糊擬陣;

2) 保留I1?I2?…?Im中每個(gè)等式段的最后一項(xiàng), 去掉其余部分, 有Mi1=(E,Ii1)?Mi2=(E,Ii2)?…?Mih=(E,Iih), 于是組成了M的導(dǎo)出擬陣序列.通過(guò)下標(biāo)對(duì)應(yīng)知, 0=δ0<δi1<δi2<…<δih≤1為其基本序列.

綜合定理1和定理2可知, 閉模糊擬陣由基本序列和導(dǎo)出擬陣序列唯一確定.即有:

推論1設(shè)M1=(E,l1)和M2=(E,l2)都是閉模糊擬陣.M1的基本列和導(dǎo)出擬陣序列分別為

M2的基本列和導(dǎo)出擬陣序列分別為

文獻(xiàn)[7]給出了準(zhǔn)模糊圖擬陣的一個(gè)充要條件.

定理3[7]設(shè)M=(E,l)是一個(gè)閉模糊擬陣, 其基本序列和導(dǎo)出擬陣序列分別為

則M是準(zhǔn)模糊圖擬陣的充要條件是存在子集套[8]A1=E?A2?…?An, 使得Iri=Ir1|Ai(i=1,2,…,n), 其中Ir1|Ai表示獨(dú)立集族Ir1在子集Ai上的約束[4].

準(zhǔn)模糊圖擬陣有很多充要條件, 文獻(xiàn)[9]給出了一個(gè)較典型的充要條件.本文將給出一個(gè)新的充要條件.

2 導(dǎo)出獨(dú)立集和導(dǎo)出獨(dú)立集映射

定理1中定義了模糊擬陣的導(dǎo)出擬陣.下面定義并討論模糊擬陣的導(dǎo)出獨(dú)立集和導(dǎo)出獨(dú)立集映射.

利用定義2和定理1可證如下命題.

命題1設(shè)M=(E,l)是模糊擬陣, I為M的導(dǎo)出獨(dú)立集族, 則下列結(jié)論成立：

1) I ={Cr(μ)|?r∈(0,1], ?μ∈l};

下面討論導(dǎo)出獨(dú)立集的一個(gè)重要性質(zhì), 該性質(zhì)是定義導(dǎo)出獨(dú)立集映射的基礎(chǔ).

定理4設(shè)M=(E,l)是模糊擬陣, I為M的導(dǎo)出獨(dú)立集族.則?X∈I, 且X≠?, 存在正整數(shù)i, 使得?r∈(0,ri), 均有X∈Ir； ?r∈(ri,1], 均有X?Ir.

證明： ?X∈I, 根據(jù)I的定義, 存在μ∈l,λ∈(0,1], 使得X=Cλ(μ)∈Iλ, 即X∈Iλ.易見(jiàn)對(duì)任意s,t∈(0,1](s

定義3設(shè)M=(E,l)是模糊擬陣, I為M的導(dǎo)出獨(dú)立集族.定義I上的映射ψ: I →{r1,r2,…,rn,1}.?X∈I, 如果X≠?, 則根據(jù)定理4, 存在i(i=1,2,…,n)使得?r∈(0,ri), 均有X∈Ir； ?r∈(ri,1], 均有X?Ir.此時(shí), 定義ψ(X)=ri.如果X=?, 定義ψ(X)=1.ψ稱為M的導(dǎo)出擬陣獨(dú)立集映射, 簡(jiǎn)稱導(dǎo)出獨(dú)立集映射.

下面討論導(dǎo)出獨(dú)立集族和導(dǎo)出獨(dú)立集映射的性質(zhì)及關(guān)系.

定理5設(shè)M=(E,l)是模糊擬陣, I為其導(dǎo)出擬陣獨(dú)立集族,ψ為其導(dǎo)出獨(dú)立集映射, 則:

1) ?X∈I, 當(dāng)X=?時(shí),ψ(X)=1; 當(dāng)X≠?時(shí),r1≤ψ(X)≤rn;

2) ?Y∈I及?X∈2E且X?Y, 有X∈I;

3) ?X,Y∈I,X?Y, 有ψ(X)≥ψ(Y);

4)ψ是滿射, 即?r∈{r1,r2,…,rn,1}, 均存在X∈I, 使得r=ψ(X);

5) 若M是閉模糊擬陣, 則?r∈{r1,r2,…,rn,1}, 均有Ir={X∈I|r≤ψ(X)};

6) 若M是閉模糊擬陣, 則?ri∈{r1,r2,…,rn}, 當(dāng)ri

7) 若M是閉模糊擬陣, 取X,Y∈I, |X|<|Y|.如果存在r∈{r1,r2,…,rn}, 使得ψ(X)≥r,ψ(Y)≥r, 則存在Z∈I, 使得X?Z?X∪Y, 且ψ(Z)≥r.

證明： 1) 根據(jù)定理1和定理4可得結(jié)論.

2) 由命題1可知結(jié)論成立.

3) 由擬陣的繼承性和定理4易知結(jié)論成立.

① 首先討論r=1的情形.如果rn<1, 則I1={?}.又ψ(?)=1, 且?X∈I,X≠?, 于是由1)知,r1≤ψ(X)≤rn<1.因此

Ir=I1={X∈I|r≤ψ(X)}={?}.

當(dāng)rn=1時(shí), 有{X∈I|r≤ψ(X)}={X∈I|rn=ψ(X)}.令I(lǐng)′={X∈I|r≤ψ(X)}.?X∈I′, 均有ψ(X)=rn, 因此X∈Irn.即I′?Irn.

反之, ?X∈Irn, 由定理4知, 有ψ(X)=rn.所以X∈I′, 即I′?Irn.綜上可知I′=Irn.

② 其次討論r=ri(i=1,2,…,n)的情形.令I(lǐng)′={X∈I|ri≤ψ(X)}.此時(shí),

I′={X∈I|ri=ψ(X)}∪…∪{X∈I|rn=ψ(X)}∪{X∈I|1=ψ(X)}.

?X∈Iri, 由定理4知,ψ(X)≥ri, 因此X∈I′.即I′?Iri.?X∈I′, 存在rj≥ri, 使得ψ(X)=rj, 于是ri∈(0,rj].根據(jù)定理4知,X∈Iri.因此I′?Iri.綜上可知I′=Iri.

6) 當(dāng)ri

IriIri+1={X∈I|ri≤ψ(X)}{X∈I|ri+1≤ψ(X)}.

所以根據(jù)ri

當(dāng)ri=rn時(shí), ?Y∈Irn, 由定理4知ψ(Y)≥rn.當(dāng)rn=1時(shí), 顯然ψ(Y)=1=rn, 因此{(lán)X∈I|rn=ψ(X)}=Irn.當(dāng)rn<1時(shí),ψ(Y)=1?Y=?.所以當(dāng)Y≠?時(shí), 有ψ(Y)=rn.因此{(lán)X∈I|rn=ψ(X)}=Irn{?}.

7) 根據(jù)文獻(xiàn)[4]中增廣定理和定理4即可得結(jié)論成立.證畢.

3 閉模糊擬陣的導(dǎo)出獨(dú)立集公理

設(shè)E={x1,x2,…,xm}是非空有限集合, 任取E上的一個(gè)子集族L?2E, 數(shù)列A={α1,α2,…,αk}(0<α1<α2<…<αk≤1), 滿射?: L→A∪{1}.?r∈(0,1], 令Lr={X∈L|?(X)≥r}.

定理6如果L,A和?滿足下列條件:

(i)(規(guī)范性) ?X∈L, 當(dāng)X=?時(shí), ?(X)=1; 當(dāng)X≠?時(shí),α1≤?(X)≤αk;

(ii)(繼承性) ?Y∈L及?X∈2E且X?Y, 均有X∈L;

(iii)(弱單調(diào)減) ?X,Y∈L且X?Y, 均有?(X)≥?(Y);

(iv)(增長(zhǎng)性) ?X,Y∈L, |X|<|Y|, 如果存在αi∈A, 使得?(X)≥αi, ?(Y)≥αi, 則存在Z∈L, 使得X?Z?X∪Y, 且?(Z)≥αi.

則通過(guò)L,A和?可確定E上的一個(gè)閉模糊擬陣M*(L,?).

證明： 1) ?α∈A, 首先證明Mα=(E,Lα)均為擬陣.

① 由條件(i)及?(?)=1知, ?α∈A, 總有α≤1.因此?(?)≥α, 于是?∈Lα.即Lα≠?.

② ?Y∈Lα及?X∈2E且X?Y, 證明X∈Lα.由條件(ii)知X∈L, 由Y∈Lα可得?(Y)≥α.再由條件(iii)知,X∈L且?(X)≥?(Y)≥α.所以X∈Lα.

③ ?X,Y∈Lα, |X|<|Y|, 證明存在Z∈Lα, 使得X?Z?X∪Y.由?(X)≥α, ?(Y)≥α, 并利用條件(iv)知, 存在Z∈L, 使得X?Z?X∪Y且?(Z)≥α, 于是Z∈Lα.

故根據(jù)文獻(xiàn)[1]中定義1.1知,Mα=(E,Lα)是E上的一個(gè)擬陣.

2) 其次證明?αi,αj∈A(i

?X∈Lαj, 均有?(X)≥αj.由iαi, 即X∈Lαi.故Lαi?Lαj.

3) 由1),2)可得擬陣序列Mα1?Mα2?…?Mαk.由?是滿射知, 存在X∈L(X≠?), 使得?(X)=αk.于是X∈Lαk(?{?}), 即Lαk≠?.令α0=0, 構(gòu)造E上的模糊集族：

l*={μ∈[0,1]E|?α∈(0,1], 均有Cα(μ)∈Iα},

(1)

其中?α∈(0,1], 當(dāng)α∈(αi-1,αi]時(shí),Ia=Lai(i=1,2,…,k)； 當(dāng)αk<1,r∈(αk,1]時(shí),Ir={?}.

由定理2知,M=(E,l*)是閉模糊擬陣.取M*(L,?)=M=(E,l*), 即可知結(jié)論成立.證畢.

由于Lα1?Lα2?…?Lαk中可能出現(xiàn)等式, 因此M*(L,?)的導(dǎo)出擬陣序列(相應(yīng)的基本序列)是由該等式的最后一項(xiàng)產(chǎn)生.如果將條件加強(qiáng), 則不會(huì)出現(xiàn)等式, 問(wèn)題得到簡(jiǎn)化.

(iii)*(強(qiáng)單調(diào)減) ?X,Y∈L且X?Y, 均有?(X)≥?(Y).同時(shí), ?αi,αj∈α,i|Lαj|.

定理7如果定理6中的L,A和?滿足條件(i),(ii),(iii)*和(iv), 則L,A和?可唯一確定E上的閉模糊擬陣M*(L,?)=(E,l*)(其中l(wèi)*由式(1)定義), 且下列結(jié)論成立:

1)M*(L,?)的基本序列為A={α1,α2,…,αk}(0=α0<α1<α2<…<αk≤1)；

2)M*(L,?)的導(dǎo)出擬陣序列為(E,Lα1)?(E,Lα2)?…?(E,Lαk)；

3)M*(L,?)的導(dǎo)出獨(dú)立集族為L(zhǎng)；

4)M*(L,?)的導(dǎo)出獨(dú)立集映射為?.

證明： 由于條件(iii)*比條件(iii)更強(qiáng), 因此, 由定理6可知L,A和?可確定一個(gè)閉模糊擬陣M*(L,?).

1),2) 證明?αi,αj∈A(i

由定理6證明中2)知,Lαi?Lαj.再由條件(iii)*知|Lαi|>|Lαj|, 因此Lαi?Lαj.從而Lα1?Lα2?…?Lαk.由定理2知,M*(L,?)的基本序列和導(dǎo)出擬陣序列分別為

3) 證明M*的導(dǎo)出獨(dú)立集族是L.由命題1, 即證Lα1=L.

由Lα1的定義, 顯然有Lα1?L.另一方面, ?X∈L, 均存在αi∈A, 使得?(X)=αi.由0<α1<α2<…<αk≤1知, ?(X)=αi≥α1, 所以X∈Lα1, 即Lα1?L.從而Lα1=L.

4) 證明M*(L,?)的導(dǎo)出獨(dú)立集映射是?.

不妨設(shè)M*(L,?)的導(dǎo)出獨(dú)立集映射為ψ: L→A.?X∈L, 均存在αi∈A, 使得ψ(X)=αi.若X=?, 則由條件(i)知, ?(X)=1.再由定義3知,ψ(X)=1.因此ψ(?)=?(?).若X≠?, 則根據(jù)定理4知, ?r∈(0,αi], 均有X∈Ir(Mr=(E,Ir)為M*(L,?)的r-導(dǎo)出擬陣); ?r∈(αi,1], 均有X?Ir.因此X∈Lαi=Iαi, 但X?Lαi+1=Iαi+1.根據(jù)Lα的定義知, ?(X)≥αi, ?(X)<αi+1, 于是?(X)=αi=ψ(X).綜上可得?=ψ.

由推論1知, 通過(guò)基本序列和導(dǎo)出擬陣序列確定的閉模糊擬陣是唯一的.證畢.

下面給出本文的主要結(jié)果.

定理8(閉模糊擬陣的導(dǎo)出獨(dú)立集公理) 設(shè)E={x1,x2,…,xm}是非空有限集合, 任取E上的一個(gè)子集族L, 數(shù)列A={α1,α2,…,αk}(0<α1<α2<…<αk≤1), 滿射?: L→A∪{1}.則L,A和?分別是某個(gè)閉模糊擬陣的導(dǎo)出獨(dú)立集族、 基本序列和導(dǎo)出獨(dú)立集映射的充要條件是L,A和?滿足條件(i),(ii),(iii)*和(iv).

證明： ?α∈(0,1], 仍令Lα={X∈L|?(X)≥α}.

1) 必要性.設(shè)M=(E,l)是閉模糊擬陣, I為其導(dǎo)出擬陣獨(dú)立集族,ψ為其導(dǎo)出獨(dú)立集映射.此時(shí), A={r1,r2,…,rn}, L=I, ?=ψ,Lri=Iri.

條件(i)即為定理5中結(jié)論1).根據(jù)命題1知, I=Ir1, 因此條件(ii)成立.條件(iii)*的前半部分即為定理5中結(jié)論2).由導(dǎo)出擬陣序列性質(zhì)知條件(iii)*的后半部分也成立.因此條件(iii)*成立.

?X,Y∈L, |X|<|Y|, 如果存在ri∈A, 使得?(X)≥ri, ?(Y)≥ri, 則X,Y∈Lri=Iri.因此, 由文獻(xiàn)[4]中增廣定理知, 存在Z∈Lri, 使得X?Z?X∪Y.由于Z∈Lri, 所以ψ(Z)≥ri.于是條件(iv)也成立.

2) 充分性.此時(shí), L,A和?滿足條件(i),(ii),(iii)*和(iv).由定理6知,

Mα1=(E,Lα1)?Mα2=(E,Lα2)?…?Mαk=(E,Lαk)

是擬陣列, 結(jié)合數(shù)列0<α1<α2<…<αk≤1, 由式(1)可唯一確定一個(gè)閉模糊擬陣M*(L,?)=M(E,l*).根據(jù)定理7中結(jié)論3),4)知, 閉模糊擬陣M*(L,?)的導(dǎo)出獨(dú)立集族、 基本序列和導(dǎo)出獨(dú)立集映射分別是L,A和?.證畢.

下面利用定理8討論準(zhǔn)模糊圖擬陣的一個(gè)充要條件.首先, 根據(jù)定理3、 命題1和定理5中結(jié)論5)可得準(zhǔn)模糊擬陣的一個(gè)如下性質(zhì).

命題2設(shè)M=(E,l)是一個(gè)準(zhǔn)模糊圖擬陣, 其基本序列和導(dǎo)出擬陣序列分別為

令A(yù)={r1,r2,…,rn}.再設(shè)I和ψ分別是M的導(dǎo)出獨(dú)立集族和導(dǎo)出獨(dú)立集映射.?α∈(0,1], 令Lα={X∈I|ψ(X)≥α}.則存在子集套A1=E?A2?…?An, 使得?ri∈A, 均有Lri=I|Ai=Iri.

根據(jù)命題2, 在導(dǎo)出獨(dú)立集族上可定義一個(gè)加強(qiáng)單調(diào)減性質(zhì)為:

(iii)**(加強(qiáng)單調(diào)減) ?X,Y∈I且X?Y, 均有ψ(X)≥ψ(Y)； 存在一個(gè)子集套A1=E?A2?…?An, 使得?ri∈A, 均有Lri=I|Ai.并?ri,rj∈A且ri≠rj, 有Lri≠Lrj.

定理9(準(zhǔn)模糊圖擬陣的導(dǎo)出獨(dú)立集公理) 設(shè)E={x1,x2,…,xm}是非空有限集合, 任取E上的一個(gè)子集族L, 數(shù)列A={α1,α2,…,αn}(0<α1<α2<…<αn≤1), 滿射?: L→A∪{1}.則L,A和?分別是某個(gè)準(zhǔn)模糊圖擬陣的導(dǎo)出獨(dú)立集族、 基本序列和導(dǎo)出獨(dú)立集映射的充要條件是L,A和?滿足條件(i),(ii),(iii)**和(iv).

證明： 必要性.設(shè)L,A和?分別是準(zhǔn)模糊圖擬陣M=(E,l)的導(dǎo)出獨(dú)立集族、 基本序列和導(dǎo)出獨(dú)立集映射.根據(jù)文獻(xiàn)[7]知,M=(E,l)是閉模糊擬陣.因此, 由定理8知條件(i),(ii),(iii)*和(iv)均成立.再根據(jù)條件(iii)*和命題2知, 條件(iii)**也成立.

充分性.此時(shí), L,A和?滿足條件(i),(ii),(iii)**和(iv).?αi,αj∈A,i|Lαj|.所以條件(iii)*成立.根據(jù)定理8知, L,A和?唯一確定一個(gè)閉模糊擬陣M*=(E,l*)(其中l(wèi)*由式(1)定義).于是L,A和?分別是M*=(E,l*)導(dǎo)出獨(dú)立集族、 基本序列和導(dǎo)出獨(dú)立集映射.

由定理7知,M*=(E,l*)的導(dǎo)出擬陣序列是

(E,Lα1)?(E,Lα2)?…?(E,Lαk).

結(jié)合命題1知, L=Lα1.再根據(jù)條件(iii)**, 存在子集套A1=E?A2?…?An, 使得?αi∈A, 均有Lαi=L|Ai=Lα1|Ai.根據(jù)定理3知,M*=(E,l*)是準(zhǔn)模糊圖擬陣.證畢.

綜上所述, 本文用閉模糊擬陣可由基本序列和導(dǎo)出擬陣序列唯一確定的方法, 提出并證明了一個(gè)用導(dǎo)出獨(dú)立集族、 基本序列和導(dǎo)出獨(dú)立集映射描述的閉模糊擬陣的充要條件.通過(guò)該充要條件任取一個(gè)子集族、 一個(gè)數(shù)列和該子集族到數(shù)列的一個(gè)滿射, 在滿足規(guī)范性、 繼承性、 強(qiáng)單調(diào)減和增長(zhǎng)性的條件下, 可唯一確定一個(gè)閉模糊擬陣, 反之亦然.從而閉模糊擬陣的許多問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)換為子集族、 數(shù)列和子集族上的映射.例如, 可以嘗試用該方法討論模糊擬陣的極值問(wèn)題[10-11]、 模糊橫貫擬陣的表示問(wèn)題[12-16]和模糊擬陣秩的計(jì)算問(wèn)題[17-18]等.