基于經典線性碼構造的糾纏輔助量子碼

林晶晶, 唐西林

(華南理工大學 數學學院, 廣州 510640)

量子糾錯碼在量子信息和量子計算中具有重要作用. 目前, 關于量子碼[1-2]的研究已得到廣泛關注. 許多具有良好參數的量子碼都是由包含其Euclide對偶碼的經典線性碼構造的. Brun等[3]提出了一種簡單而基本的量子碼, 稱為糾纏輔助量子碼(簡稱EAQECC). 通過放松對偶性條件并增加量子糾纏輔助位, 可從經典線性碼(包括對偶包含和非對偶包含的經典線性碼)出發構造糾纏輔助量子碼. 這些糾纏輔助量子碼具有糾纏輔助和量子糾錯的雙重優點. 此外, 糾纏輔助量子碼可從任意的經典碼中通過共享量子糾纏比特得到. 近年來, 對糾纏輔助量子碼的構造研究得到廣泛關注, 已構造了各種不同類型的糾纏輔助量子碼[4-8]. 文獻[9]利用常循環碼構造了參數較靈活的糾纏輔助量子碼； 文獻[10-11]利用廣義RS(Reed-Solomon)碼構造了具有靈活參數c的新的糾纏輔助量子MDS(maximum-distance-separable)碼. 本文通過經典的線性碼構造碼長和最小距離更靈活的兩類糾纏輔助量子碼.

1 預備知識

假設C是Fq上長度為n的線性碼, 則C的Euclide對偶碼定義為

若C滿足C⊥?C, 則稱C為Euclide對偶包含碼； 若C滿足C?C⊥, 則稱C為Euclide自正交碼； 若C滿足C=C⊥, 則稱C為Euclide自對偶碼.稱C∩C⊥為C的Euclide Hull, 記為Hull(C).

GRS(generalized Reed-Solomon)碼是常被用于構造糾纏輔助量子碼的經典線性碼.假設a1,a2,…,an是Fq上n個不同的元素,v1,v2,…,vn是Fq上n個非零元素, 則關于向量a=(a1,a2,…,an)和v=(v1,v2,…,vn)的GRS碼定義為

GRSk(a,v)={(v1f(a1),v2f(a2),…,vnf(an))：f(X)∈Fq[X]k},

其中Fq[X]k表示Fq上所有次數小于k的多項式集合.選取Fq[X]k的一組基{1,x,…,xk-1}, 則GRSk(a,v)的生成矩陣為

GRSk(a,v)是一個參數為[n,k,n-k+1]q的MDS碼.

定義1[12]假設C是Fq上的一個線性碼, 若Hull(C)=C∩C⊥={0}, 則稱C為Fq上的一個線性互補對偶(linear complementary dual)碼, 簡稱LCD碼.

性質1[12]假設C是Fq上的一個線性碼, 并且G和H分別為C的一個生成矩陣和校驗矩陣, 則下列性質等價：

1)C是一個LCD碼；

2) 矩陣GGT非奇異；

3) 矩陣HHT非奇異.

性質1給出了LCD線性碼與線性碼的生成矩陣和校驗矩陣之間的關系.

Wilde等[13]證明了糾纏輔助量子碼可由經典的線性碼構造, 得到如下結果.

下面引入糾纏輔助量子碼的Singleton界.

性質3[3]一個參數為[[n,k,d;c]]q的糾纏輔助量子碼滿足：

n+c-k≥2(d-1),

其中0≤c≤n-1.

如果一個參數為[[n,k,d;c]]q的糾纏輔助量子碼能達到糾纏輔助量子Singleton界, 即2(d-1)=n-k+c, 則該糾纏輔助量子碼稱為極大距離可分糾纏輔助量子碼, 簡稱MDS EAQECC.如果c=n-k, 則該糾纏輔助量子碼稱為極大糾纏的糾纏輔助量子碼.

性質4[8]假設C是一個參數為[n,k,d]q的線性碼, 并且H和G分別是C的校驗矩陣和生成矩陣, 則

rank(HHT)=n-k-dim(HullE(C))=n-k-dim(HullE(C⊥)),

rank(GGT)=k-dim(HullE(C))=k-dim(HullE(C⊥)).

性質4表明, rank(HHT)獨立于線性碼C的校驗矩陣H, 且可通過HullE(C)的維數求得.

2 構造第一類糾纏輔助量子碼

下面將構造一些新的糾纏輔助量子碼.假設C是一個參數為[n,k,d]q的經典線性碼,h∶=dim(HullE(C)),M(Fq,k×k)表示由Fq上k×k矩陣構成的集合.

情形1)q=pe, 其中p為奇素數,e≥1為正整數.

引理1[14]假設q是一個奇素數冪, 則對任意的對稱矩陣A∈M(Fq,k×k), 存在一個非奇異矩陣Q∈M(Fq,k×k), 使得QTAQ是Fq上的k×k階對角矩陣, 即QTAQ=diag{λ1,λ2,…,λk}, 其中λi∈Fq, 1≤i≤k.

下面給出一種利用引理1獲得LCD線性碼C的一組正交基方法.

引理2假設q是一個奇素數冪,C是一個參數為[n,k]q的LCD線性碼, 則存在C的一組基{c1,c2,…,ck}, 使得對任意的i,j∈{1,2,…,k}, 均有

證明： 假設G是碼C的一個生成矩陣.由于C是一個LCD碼, 則由性質1可知GGT是Fq上k×k階非奇異對稱矩陣.再根據引理1可知： 存在一個非奇異矩陣N∈M(Fq,k×k), 使得

NGGTNT=NG(NG)T=diag{λ1,λ2,…,λk},

引理3假設C是一個參數為[n,k]q的經典線性碼, 0

證明： 假設B={c1,c2,…,ch}是線性碼HullE(C)的一組基, 將B擴充成為線性碼C的一組基{c1,c2,…,ch,ch+1,…,ck}.

因此,x∈C⊥.

由于x∈C⊥,x∈C′?C, 因此x∈HullE(C).又因為Hull(C)∩C′={0}, 所以x=0.于是C′是一個參數為[n,k-h]q的LCD碼.證畢.

綜上所述, 首先可通過引理3找到經典線性碼C的一個參數為[n,k-h]q的LCD線性子碼C′, 然后再通過引理2找到線性子碼C′的一組正交基, 最后利用這組正交基可構造具有如下參數的新的糾纏輔助量子碼.

命題1假設q=pe>3,p是一個奇素數, 并且C是一個參數為[n,k,d]q的經典線性碼, 記h∶=dim(HullE(C)), 則對于滿足0≤l≤k-h的任意l, 均存在一個參數為[[n+l,k-h,d′;n-k-h+l]]q的糾纏輔助量子碼, 這里d≤d′≤d+l.

證明： 1) 當l=0時, 根據性質2和性質4, 結論顯然成立.

2) 首先考慮1≤l≤k-h并且h>0.

如果h>0, 則根據引理3, 存在C的一個線性子碼C′, 使得C′是一個參數為[n,k-h]q的LCD碼.再根據引理2, 存在C′的一組基{x1,x2,…,xk-h}, 使得對于任意的i,j∈{1,2,…,k-h}, 均有

其中H是碼C的校驗矩陣.此時

其次, 當h=0時,C是LCD碼, 結論仍成立.

由命題1可得：

推論1假設q=pe>3,p是一個奇素數, 并且C是一個參數為[n,k,d]q的Euclide對偶包含線性碼, 即C⊥?C, 則對于滿足0≤l≤2k-n的任意c, 均存在一個參數為[[n+l,2k-n,d′;l]]q的糾纏輔助量子碼, 這里d≤d′≤d+l.

推論2假設q=pe>3,p是一個奇素數, 并且Ck是Fq上一個參數為[q,k,q-k+1]q的GRS碼, 其中a=(a1,a2,…,aq),a1,a2,…,aq是Fq上q個不同的元素,v=(1,1,…,1), 則對于1≤k≤q-1且2k>q, 存在一個參數為[[q+1,2k-q,q-k+2;1]]q的MDS糾纏輔助量子碼.

情形2)q=2.

定理1[15]假設A∈M(F2,k×k)是秩為t的對稱矩陣, 則:

1) 如果A的所有對角元素都為0, 則t為偶數, 并且存在一個非奇異矩陣Q∈M(F2,k×k), 使得

2) 如果A的對角元素至少有一個不為0, 則存在一個非奇異矩陣Q∈M(F2,k×k), 使得

利用定理1, 可對F2上的LCD線性碼C的生成矩陣分兩類進行討論, 進而對不同類的生成矩陣可得到相對應的兩類不同的基.

NGGTNT=NG(NG)T=diag{1,1,…,1}.

假設G′=NG, 則G′也是碼C的一個生成矩陣.用ci表示矩陣G′的第i行, 這里1≤i≤k.由于

G′G′T=NG(NG)T=diag{1,1,…,1},

因此{c1,c2,…,ck}即為希望得到的一組基.證畢.

于是, 首先可通過引理3找到經典線性碼C的一個參數為[n,k-h]2的LCD線性子碼C′, 然后對線性子碼C′的生成矩陣進行分類, 再通過引理4和引理5找到線性子碼C′相對應的一組基, 最后利用找到的基構造具有如下參數的新的糾纏輔助量子碼.

命題2假設C是參數為[n,k,d]2的經典線性碼, 如果h=dim(HullE(C)), 則對于滿足0≤l≤k-h的任意l, 均存在一個參數為[[n+l,k-h,d′;n-k-h+l]]2的糾纏輔助量子碼, 其中d≤d′≤d+l.

證明： 1) 當c=0時, 根據性質2和性質4, 結論顯然成立.

2) 考慮1≤l≤k-h且h>0.

根據引理4, 存在C′的一組基{x1,x2,…,xk-h}, 使得對于任意的i,j∈{1,2,…,k-h}, 均有

(i) 當l=1時,

此時有

(iii) 當l=2或l≥4時,

其中

此時有

(i) 當l=1時,

此時有

(ii) 當l=2時,

此時有

由命題2可得：

推論3假設C是一個參數為[n,k,d]2的Euclide對偶包含線性碼, 即C⊥?C, 則對于任意的0≤l≤2k-n均存在一個參數為[[n+l,2k-n,d′;l]]2的糾纏輔助量子碼, 這里d≤d′≤d+l.

推論4假設C是一個參數為[2n,2n,1]2的線性碼,C的生成矩陣為E2n, 則存在一個參數為[[2n+1,2n,2;1]]q的糾纏輔助量子碼.

3 構造第二類糾纏輔助量子碼

命題3假設q≥2是一個素數冪,C是一個參數為[n,k,d]q的Euclide對偶包含線性碼, 即C⊥?C, 則對于滿足l≤n-k的任意l, 均存在一個參數為[[n+l,2k-n+l,d′;2l]]q的糾纏輔助量子碼, 這里d≤d′≤d+l.

綜上可見, 從基于Euclide對偶包含線性碼的對稱量子碼的CSS構造[16-17]出發, 當且僅當存在一個Euclide對偶包含線性碼[n,k,d]q時, 可以構造一個參數為[[n,2k-n,d]]q的量子碼.結合上述命題可知, 如果存在一個參數為[[n,2k-n,d]]q的量子碼, 則可構造出具有下列參數的糾纏輔助量子碼：

1) [[n+l,2k-n,d′;l]]2, 其中0≤l≤2k-n,d≤d′≤d+l；

2) [[n+l,2k-n+l,d′;2l]]q, 其中l≤n-k,d≤d′≤d+l.