美式Kou型跳擴(kuò)散期權(quán)模型的Crank-Nicolson擬合有限體積法

江忠東, 甘小艇

(楚雄師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 云南 楚雄 675000)

隨著金融市場(chǎng)的不斷發(fā)展和完善, 期權(quán)作為一種能有效規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的金融工具越來(lái)越受到投資者和研究者們的廣泛關(guān)注. 研究表明, 跳擴(kuò)散期權(quán)定價(jià)模型所隱含的波動(dòng)率曲線與市場(chǎng)實(shí)際觀察到的波動(dòng)率微笑十分接近, 很好地克服了標(biāo)準(zhǔn)Black-Scholes定價(jià)模型的缺陷[1]. 目前, 針對(duì)跳擴(kuò)散期權(quán)定價(jià)模型的核心問(wèn)題, 即數(shù)值定價(jià)的研究已取得了一系列成果[2-8]. Company等[9]提出了一種指數(shù)時(shí)間差分(FF-ETD)方法; 針對(duì)非光滑收益函數(shù)的存在, Wang等[10]給出了一個(gè)具有可變空間步長(zhǎng)和可變時(shí)間步長(zhǎng)的隱式-顯式中點(diǎn)公式; Boen等[11]討論了兩資產(chǎn)Merton跳擴(kuò)散模型下彩虹期權(quán)的數(shù)值解; Chen[12]研究了求解機(jī)制轉(zhuǎn)換下亞式跳擴(kuò)散期權(quán)的隱式-顯式(IMEX)有限差分格式; 文獻(xiàn)[13-14]針對(duì)跳擴(kuò)散期權(quán)模型的定價(jià), 討論了一類(lèi)全離散擬合有限體積格式的求解.

文獻(xiàn)[13]針對(duì)美式Kou型跳擴(kuò)散期權(quán)討論了擬合有限體積法的求解, 但其中Crank-Nicolson格式的構(gòu)造相對(duì)復(fù)雜, 且不利于進(jìn)行理論分析. 基于此, 本文主要研究美式Kou型跳擴(kuò)散期權(quán)模型一種修正的Crank-Nicolson擬合有限體積法求解, 并給出其收斂性證明. 此外, 本文還設(shè)計(jì)了求解非線性代數(shù)系統(tǒng)的一個(gè)迭代算法, 并證明其收斂性. 最后, 通過(guò)兩個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證新方法的收斂性、 穩(wěn)健性和有效性.

1 Crank-Nicolson擬合有限體積格式

考慮美式Kou型跳擴(kuò)散期權(quán)定價(jià)模型, 假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S滿(mǎn)足如下隨機(jī)微分方程[2]:

(1)

其中:μ和σ分別表示資產(chǎn)價(jià)格未發(fā)生跳躍時(shí)的期望收益率和波動(dòng)率;W(t)表示標(biāo)準(zhǔn)的Brown運(yùn)動(dòng);N(t)表示強(qiáng)度為λ的Poisson過(guò)程; {Vi}表示一系列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量集合, 并且服從對(duì)數(shù)雙指數(shù)密度分布:

(2)

式中α1>1,p,q,α2為正常數(shù), 且滿(mǎn)足p+q=1.

由文獻(xiàn)[2]可知, 假設(shè)期權(quán)函數(shù)為V(S,τ), 令τ=T-t, 其中t和T分別為當(dāng)前時(shí)間和到期日, 則美式Kou型跳擴(kuò)散期權(quán)定價(jià)模型可表示為如下偏積分-微分互補(bǔ)問(wèn)題:

(3)

算子L滿(mǎn)足

(4)

其中(S,τ)∈(0,+∞)×(0,T],r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率.考察美式看跌期權(quán), 相應(yīng)的初始條件為

V(S,0)=V*(S)=max{K-S,0},

(5)

邊界條件為

(6)

為數(shù)值求解上述期權(quán)定價(jià)問(wèn)題, 需將變量S限制在有限的求解區(qū)域I=[0,Smax]上, 其中Smax的選取要足夠大.此時(shí), 邊界條件(6)可變?yōu)?/p>

V(0,τ)=K,V(Smax,τ)=0.

(7)

本文采用罰方法逼近互補(bǔ)問(wèn)題(3), 則可得如下非線性偏積分-微分方程:

LVγ(S,τ)-γ[V*-Vγ]+=0,

(8)

初始條件和邊界條件分別為

(9)

其中γ表示罰參數(shù)且γ>1, 對(duì)任何實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足[x]+=max{0,x}.

注1由于算子L的退化性, max{·,·}和收益函數(shù)的非光滑性和非線性性, 問(wèn)題(3)和問(wèn)題(8)-(9)通常沒(méi)有經(jīng)典的光滑解, 因此, 需尋找問(wèn)題(3)和問(wèn)題(8)-(9)的黏性解(有金融意義的解).為簡(jiǎn)便, 下面省略罰問(wèn)題(8)-(9)的解Vγ的上標(biāo)γ, 但要清楚V是問(wèn)題(8)-(9)的解, 而不是問(wèn)題(3)的解.

在給出離散化格式前, 先將方程(8)轉(zhuǎn)換為守恒形式:

(10)

其中

擬合有限體積法的推導(dǎo)基于自共軛形式(10).首先, 給出區(qū)間I=[0,Smax]的兩個(gè)空間分區(qū).將I劃分為J個(gè)子區(qū)間:

Ii=(Si,Si+1),i=0,1,…,J-1,

(11)

對(duì)式(11)所有的項(xiàng)應(yīng)用矩形數(shù)值積分規(guī)則, 可得

(12)

其中:Vi表示V(Si,τ)在空間離散點(diǎn)上的近似;ρ(V)稱(chēng)為連續(xù)通量, 定義為

ρ(V)∶=aSV′+bV;

(13)

Ri表示積分項(xiàng)R(S)在空間離散點(diǎn)上的逼近, 這里主要采用文獻(xiàn)[2]中的線性插值技術(shù)和遞推公式逼近積分項(xiàng)-λR(S), 并記所得離散矩陣為R.對(duì)R(S)的被積函數(shù), 令y=z/S, 并對(duì)分段積分采用線性插值逼近, 則可得Ri的表達(dá)式為

(14)

引理1[2]矩陣R+λI(λ>0)是一個(gè)具有非負(fù)對(duì)角元且對(duì)角占優(yōu)的Z矩陣, 即

其中I為單位向量.

在單元Ii中點(diǎn)處, 關(guān)于連續(xù)通量ρ(V)的逼近參見(jiàn)文獻(xiàn)[15].由文獻(xiàn)[13]可知, 方程(10)半離散擬合有限體積法的矩陣形式為

(15)

當(dāng)i=1時(shí), 有

當(dāng)i=2,3,…,J-1時(shí), 有

式中ξ=b/a,βi≥0,wi≥0,χi≤0且滿(mǎn)足

-βi-χi-wi=r+λ>0.

(16)

下面構(gòu)造方程(15)一種修正的Crank-Nicolson時(shí)間離散格式.對(duì)時(shí)間區(qū)間[0,T]做均勻網(wǎng)格剖分: 0=τ0<τ1<…<τN=T, 時(shí)間網(wǎng)格步長(zhǎng)為Δτ=T/N, 則方程(15)修正的Crank-Nicolson擬合有限體積格式的矩陣形式為

(17)

其中I為單位向量,S=M-R,V0=V*, 罰函數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的元素為

2 數(shù)值格式的收斂性

首先, 由文獻(xiàn)[3]可知連續(xù)通量ρ(V)具有一致性, 因此顯然如下結(jié)論成立.

引理2數(shù)值格式(17)是一致的.

其次, 證明數(shù)值格式(17)的穩(wěn)定性.

引理3當(dāng)Δτ→0時(shí), 數(shù)值格式(17)是穩(wěn)定的, 即

‖Vn‖∞≤‖V*‖∞,n=1,2,…,N.

證明: 將式(17)寫(xiě)成分量形式為

其中Rij≤0(i≠j).由式(18)和βi≥0,wi≥0,χi≤0, 對(duì)所有的i有

從而有

由-S的M矩陣性質(zhì)及矩陣元素間的關(guān)系, 有

‖Vn+1‖∞≤max{‖Vn‖∞,‖V*‖∞}≤…≤max{‖V0‖∞,‖V*‖∞}=‖V*‖∞.

(20)

因此, 數(shù)值格式(17)是穩(wěn)定的.證畢.

最后, 證明數(shù)值格式(17)是單調(diào)的.

引理4當(dāng)Δτ→0時(shí), 數(shù)值格式(17)是單調(diào)的, 即對(duì)任意的ε>0, 有

(21)

其中i=0,1,2,…,J, 數(shù)值格式(17)在每個(gè)離散點(diǎn)的形式為

定理1當(dāng)h→0時(shí), 數(shù)值格式(17)求得的數(shù)值解收斂至罰問(wèn)題(8)-(9)的黏性解.

證明: 由引理2～引理4可知, 數(shù)值格式(17)滿(mǎn)足一致性、 穩(wěn)定性和單調(diào)性, 從而由文獻(xiàn)[16]可知, 當(dāng)h→0時(shí), 數(shù)值格式(17)求得的數(shù)值解必收斂至罰問(wèn)題(8)-(9)的黏性解.證畢.

3 離散系統(tǒng)的迭代格式及其收斂性

由于P(Vn+1)項(xiàng)的存在, 因此數(shù)值格式(17)為非線性的代數(shù)系統(tǒng), 為有效求解該代數(shù)系統(tǒng), 下面給出相應(yīng)的迭代算法并證明其收斂性.

算法1代數(shù)系統(tǒng)(17)的迭代算法.

步驟1) 置n=0;

步驟3) 求解

(23)

下面證明算法1的收斂性.

如引理3的證明, 式(24)可變?yōu)?/p>

采用與引理3相似的證明方法, 當(dāng)Δτ→0時(shí), 可得

(25)

式(25)可化為

(26)

將式(23)減去式(26), 可得

(27)

式(27)可化為

(28)

從而有

(29)

結(jié)合式(28),(29), 可得

(30)

下面考察解的唯一性.假設(shè)式(23)有兩個(gè)解B1和B2, 即滿(mǎn)足

(31)

(32)

將式(31)減去式(32), 可得

(33)

與證明式(30)成立同理, 可得

[P(B1)-P(B2)](V*-B1)≥0.

(34)

B1≥B2.

此外由對(duì)稱(chēng)性, 有

B2≥B1,

因此B1=B2.證畢.

注3定理2給出了算法1的解單調(diào)收斂至式(17)的唯一解.此外, 本文已證明了式(17)的解收斂到罰問(wèn)題(8)-(9)的黏性解.因此, 算法1的解收斂至方程(8)-(9)的具有金融意義的解.

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

下面利用數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文方法的有效性.實(shí)驗(yàn)中, 算法1中的罰參數(shù)γ和誤差tolerance(tol)分別取106和10-6.為驗(yàn)證數(shù)值格式的收斂階, 定義

Order=log2R.

此外, 看漲期權(quán)的期權(quán)值可由如下平價(jià)公式計(jì)算得到:

Vc=Vp+S-Ke-rT,

(35)

其中Vc和Vp分別表示美式跳擴(kuò)散期權(quán)在τ=T時(shí)刻的期權(quán)函數(shù)值.

為說(shuō)明本文方法的高效性, 將算法1與求解線性互補(bǔ)問(wèn)題常用的投影超松弛迭代(projected successive overrelation, PSOR)方法[17]進(jìn)行比較. 首先, 采用Crank-Nicolson擬合有限體積法離散美式Kou型跳擴(kuò)散期權(quán)定價(jià)問(wèn)題, 可得如下一系列時(shí)間層上的線性互補(bǔ)問(wèn)題:

(36)

其中j=1,2,…,N, Δτ=T/N,V0=V*, 且

其次, 在線性互補(bǔ)問(wèn)題(36)中, 令z∶=V(j)-V*,q∶=AV*-BV(j-1)-ΔτF, 則可得標(biāo)準(zhǔn)的線性互補(bǔ)問(wèn)題(簡(jiǎn)記為L(zhǎng)CP(q,A)):

(37)

下面給出求解線性互補(bǔ)問(wèn)題(37)的PSOR方法, 其中松弛因子α取使得CPU時(shí)間最小所對(duì)應(yīng)的值, tol取10-6.

算法2PSOR方法.

步驟1) 給定J,α,tol,maxit;

步驟2) For it=1,2,…,maxit

步驟3) Fori=1,2,…,J

步驟4)k=(1,2,…,J);

步驟5)z(i)=z(i)+α(-q(i)-A(i,k)z(k))/A(i,i);

步驟6)z(i)=max{z(i),0};

步驟7) End For

步驟8) Res=‖min{Az+q,z}‖2;

步驟9) If Res

步驟10) break;

步驟11) End If

步驟12) End For

下面所有的數(shù)值實(shí)驗(yàn)均在CPU為3.4 GHz、 內(nèi)存為32 GB, 且編程環(huán)境為MATLAB R2015a的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行,J和N分別表示空間和時(shí)間方向的網(wǎng)格剖分?jǐn)?shù).

例1美式Kou型跳擴(kuò)散期權(quán)的模型參數(shù)取為

σ=0.15,r=0.05,T=0.25,K=100,λ=0.1,

α1=3.046 5,α2=3.077 5,p=0.344 5,q=0.655 5,

截取Smax=3K, 則求解區(qū)域?yàn)?0,Smax)×(0,T).

例1的模型參數(shù)與文獻(xiàn)[2,5]相同.

首先, 基于Crank-Nicolson擬合有限體積法并結(jié)合罰函數(shù)法的求解, 計(jì)算在τ=T時(shí)刻、S=100,110處美式Kou型跳擴(kuò)散看跌和看漲期權(quán)的期權(quán)值、 期權(quán)值的連續(xù)變化情況(Error)、 收斂階(Order)、 算法1下的平均迭代步數(shù)(Aver.Iter)和所需的CPU時(shí)間, 結(jié)果分別列于表1和表2. 由表1和表2可見(jiàn)： 所有期權(quán)值都呈現(xiàn)了清楚的收斂趨勢(shì), 且收斂階為2階(類(lèi)似的驗(yàn)證方法可參見(jiàn)文獻(xiàn)[14,18]); 在給定適當(dāng)?shù)木人较? 由Aver.Iter和CPU時(shí)間兩列數(shù)值可見(jiàn), 算法1求解非線性代數(shù)系統(tǒng)(17)是高效的.

表1 例1中Crank-Nicolson擬合有限體積法定價(jià)美式看跌期權(quán)的計(jì)算結(jié)果

表2 例1中Crank-Nicolson擬合有限體積法定價(jià)美式看漲期權(quán)的計(jì)算結(jié)果

其次, 基于網(wǎng)格剖分(J,N)=(2 400,2 400), 圖1和圖2分別給出了期權(quán)曲面、 最佳實(shí)施邊界以及τ=T時(shí)刻的δ值和γ值. 由圖1和圖2可見(jiàn), 數(shù)值解的性態(tài)優(yōu)良, 未發(fā)生跳躍和震蕩現(xiàn)象, 表明本文全離散格式是穩(wěn)健的.

圖1 例1中當(dāng)網(wǎng)格剖分為(J,N)=(2 400,2 400)時(shí), 看跌期權(quán)的價(jià)格曲面和最佳實(shí)施邊界(A)及在τ=T時(shí)刻的δ值(B)和γ值(C)Fig.1 When grid is divided into (J,N)=(2 400,2 400), put option value surface and optimal implementation boundary (A), δ value (B) and γ value (C) at τ=T in example 1

圖2 例1中當(dāng)網(wǎng)格剖分為(J,N)=(2 400,2 400)時(shí), 看漲期權(quán)的價(jià)格曲面和最佳實(shí)施邊界(A)及在τ=T時(shí)刻的δ值(B)和γ值(C)Fig.2 When grid is divided into (J,N)=(2 400,2 400), call option value surface and optimal implementation boundary (A), δ value (B) and γ value (C) at τ=T in example 1

最后, 以看跌期權(quán)為例, 圖3給出了當(dāng)網(wǎng)格剖分為J=N時(shí), 算法1和PSOR方法求解美式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題所需CPU時(shí)間的比較. 由圖3可見(jiàn), 隨著網(wǎng)格的加密, 算法1所需的CPU時(shí)間小于PSOR方法.

圖3 例1中當(dāng)J=N時(shí), 算法1與PSOR方法求解美式看跌期權(quán)的CPU時(shí)間Fig.3 CPU time of algorithm 1 and PSOR method for solving American put options when J=N in example 1

例2美式Kou型跳擴(kuò)散期權(quán)的模型參數(shù)取為

σ=0.15,r=0.05,T=1,

K=100,λ=0.1,α1=3,α2=3,

p=0.333 333,q=0.666 667,

截取Smax=3K, 求解區(qū)域?yàn)?0,Smax)×(0,T).

例2的模型參數(shù)與文獻(xiàn)[7]相同.

首先, 計(jì)算在τ=T時(shí)刻、S=100,110處美式Kou型跳擴(kuò)散看跌和看漲期權(quán)的期權(quán)值、 Error、 Order、 以及算法1的Aver.Iter和CPU時(shí)間, 所得結(jié)果分別列于表3和表4. 由表3和表4可見(jiàn), 期權(quán)值呈現(xiàn)了清晰的收斂趨勢(shì), 且數(shù)值格式的收斂階為2階, 該結(jié)果與通常情況下的Crank-Nicolson格式的性質(zhì)相符. 此外, 由Aver.Iter和CPU時(shí)間可見(jiàn), 算法1求解非線性代數(shù)系統(tǒng)(17)是高效的.

表3 例2中Crank-Nicolson擬合有限體積法定價(jià)美式看跌期權(quán)的計(jì)算結(jié)果

表4 例2中Crank-Nicolson擬合有限體積法定價(jià)美式看漲期權(quán)的計(jì)算結(jié)果

其次, 基于網(wǎng)格剖分(J,N)=(2 400,2 400), 圖4和圖5分別給出了期權(quán)曲面和最佳實(shí)施邊界以及τ=T時(shí)刻的δ值和γ值. 由圖4和圖5可見(jiàn), 數(shù)值解的性態(tài)十分優(yōu)良, 未發(fā)生跳躍和震蕩現(xiàn)象, 表明本文的Crank-Nicolson格式穩(wěn)健.

圖4 例2中當(dāng)網(wǎng)格剖分為(J,N)=(2 400,2 400)時(shí), 看跌期權(quán)的價(jià)格曲面 和最佳實(shí)施邊界(A)及在τ=T時(shí)刻的δ值(B)和γ值(C)Fig.4 When grid is divided into (J,N)=(2 400,2 400), put option value surface and optimal implementation boundary (A), δ value (B) and γ value (C) at τ=T in example 2

圖5 例2中當(dāng)網(wǎng)格剖分為(J,N)=(2 400,2 400)時(shí), 看漲期權(quán)的價(jià)格曲面 和最佳實(shí)施邊界(A)及在τ=T時(shí)刻的δ值(B)和γ值(C)Fig.5 When grid is divided into (J,N)=(2 400,2 400), call option value surface and optimal implementation boundary (A), δ value (B) and γ value (C) at τ=T in example 2

最后, 與例1相似, 圖6給出了例2中當(dāng)J=N時(shí), 算法1與PSOR方法求解美式看跌期權(quán)的CPU時(shí)間. 由圖6可見(jiàn), 算法1在求解美式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題所需的CPU時(shí)間遠(yuǎn)小于PSOR方法.

圖6 例2中當(dāng)J=N時(shí), 算法1與PSOR方法求解美式看跌期權(quán)的CPU時(shí)間Fig.6 CPU time of algorithm 1 and PSOR method for solving American put options when J=N in example 2

綜上所述, 本文研究了美式Kou型跳擴(kuò)散期權(quán)定價(jià)模型的數(shù)值求解. 首先, 構(gòu)造了定價(jià)方程的一種修正的Crank-Nicolson擬合有限體積格式, 并驗(yàn)證了其一致性、 穩(wěn)定性和單調(diào)性, 因此數(shù)值格式求出的數(shù)值解收斂至相應(yīng)的黏性解. 其次, 針對(duì)罰函數(shù)項(xiàng)離散導(dǎo)致的非線性代數(shù)系統(tǒng)數(shù)值求解困難問(wèn)題, 設(shè)計(jì)了一個(gè)有效的迭代算法, 并驗(yàn)證了其收斂性. 最后, 給出兩個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證本文方法是收斂、 高效且穩(wěn)健的.