非負弱下鞅的一類極大型φ-不等式

藺 霞, 馮德成, 魯雅莉

(西北師范大學 數學與統計學院, 蘭州 730070)

1 引言與預備知識

目前, 關于弱鞅和弱下鞅[1]的研究已有很多結果. 例如: 文獻[2]給出了弱鞅的極大值不等式及強大數定律; 文獻[3]給出了弱下鞅的Whittle型不等式; 文獻[4]給出了弱下鞅和N-弱上鞅的極大值不等式; 文獻[5]給出了弱下鞅的極大值不等式以及非負弱鞅的極小值不等式; 文獻[6]給出了非負下鞅的極大型φ-不等式.受文獻[6]啟發, 文獻[7]建立了弱鞅的極大型φ-不等式; 文獻[8]建立了條件弱鞅的極大型φ-不等式.本文利用Fubini定理以及H?lder不等式, 給出非負弱下鞅的一類極大型φ-不等式, 所得結果推廣了文獻[4]中的某些結論.

本文設{Xn,n≥1}或{Sn,n≥1}表示定義在概率空間(Ω,F,P)上的隨機變量序列, 記X+=max{0,X},a∨b=max{a,b},I(A)表示集合A的示性函數, logx=logex=lnx, log+x=ln(x∨1).

定義1[1]設{Sn,n≥1}是L1(Ω,F,P)上的一列隨機變量.如果對于j=1,2,…, 有

E[(Sj+1-Sj)f(S1,…,Sj)]≥0,

(1)

則稱{Sn,n≥1}為弱鞅, 其中f為任意分量不減的函數并使得式(1)中期望有意義.如果進一步假設f是非負函數, 則稱{Sn,n≥1}為弱下鞅.

設C表示Orlicz函數類, 即當φ∈C時,φ: [0,∞)→[0,∞)是一個無界不減的凸函數, 且φ(0)=0.令C′={φ∈C|φ′(x)/x在0點的某鄰域內可積}.給定φ∈C且a≥0, 定義

令Φ(x)=Φ0(x),x>0.

2 主要結果

引理1[5]設{Sn,n≥1}是一個弱下鞅且S0=0, {cn,n≥1}是不減的正數序列, 則對任意的ε>0, 有

推論1設{Sn,n≥1}是一個非負弱下鞅且S0=0, {cn,n≥1}是不減的正數序列, 則對任意的ε>0, 有

證明: 由引理1及{Sn,n≥1}是一個非負弱下鞅, 易得結論.

(2)

證明: 由推論1、 Fubini定理以及H?lder不等式, 可得

(3)

由于

alog+b≤alog+a+be-1,a≥0,b>0,

則

于是

(4)

在式(4)中令ck=1,k≥1, 則

(5)

推論2設{Sn,n≥1}是一個非負弱下鞅且S0=0,φ∈C′, 則

(6)

其中1/p+1/q=1,p>1.

證明: 在定理1中令ck=1,k≥1, 可得式(6).

(7)

定理2設{Sn,n≥1}是一個非負弱下鞅且S0=0, {cn,n≥1}是不減的正數序列,φ∈C, 則對于任意的n≥1,t>0且0<λ<1, 有

(8)

進而, 對于n≥1,a>0,b>0且0<λ<1, 有

(9)

證明: 由推論1可得

于是

由于

故

從而

令b>0, 由式(8), 有

推論3設{Sn,n≥1}是一個非負弱下鞅且S0=0,φ∈C, 則

(10)

其中n≥1,t>0且0<λ<1.進而

(11)

其中n≥1,a>0,b>0且0<λ<1.

證明: 在定理2中令ck=1,k≥1, 可得結論.

注3推論3是文獻[4]中定理3.1, 因此定理2推廣了文獻[4]中的結論.

定理3設{Sn,n≥1}是一個非負弱下鞅且S0=0, {cn,n≥1}是不減的正數序列,φ∈C, 則

(12)

其中n≥1,a>0且0<λ<1.在式(12)中令λ=1/2, 則

推論4設{Sn,n≥1}是一個非負弱下鞅且S0=0,φ∈C, 則

(13)

其中n≥1,a>0且0<λ<1.在式(13)中令λ=1/2, 則

其中n≥1,a>0.

證明: 在定理3中令ck=1,k≥1, 可得結論.

注4推論4在取I(Sn>λa)=1時, 即為文獻[4]中定理3.2, 因此推論4推廣了文獻[4]的結論.

定理4設{Sn,n≥1}是一個非負弱下鞅且S0=0, {cn,n≥1}是不減的正數序列, 則

(14)

其中n≥1,b>1.

令b>1,λ=1/b, 則

推論5設{Sn,n≥1}是一個非負弱下鞅且S0=0, {cn,n≥1}是不減的正數序列, 則

(15)

證明: 在定理4中令b=E[cnSn-1]++1, 可得式(15).

推論6設{Sn,n≥1}是一個非負弱下鞅且S0=0, {cn,n≥ 1}是不減的正數序列, 則

(16)

證明: 在定理4中令b=e, 可得式(16).

推論7設{Sn,n≥1}是一個非負弱下鞅且S0=0, 則

(17)

證明: 在定理4中令ck=1,k≥1, 可得式(17).