一類弱Hopf代數(shù)的Killing型和伴隨表示

蘇 冬

(河南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 河南 洛陽 471023)

李代數(shù)中的Killing型理論, 在李代數(shù)理論的研究以及單李代數(shù)的分類問題中均具有重要作用[1]. 李代數(shù)的伴隨作用是Killing型定義的基礎(chǔ). Hopf代數(shù)中的(左)伴隨作用是李代數(shù)伴隨作用的一種自然推廣. 文獻(xiàn)[2-4]研究了有限維Hopf代數(shù)上的Killing型理論, 并考慮了Hopf代數(shù)的伴隨表示與Killing型非退化性之間的聯(lián)系; 徐磊[5]研究了Taft代數(shù)的伴隨表示及其Killing型.

1 預(yù)備知識

設(shè)F是特征為0的代數(shù)閉域.若無特殊說明, 本文的線性空間、 矩陣、 代數(shù)、 Hopf代數(shù)、 弱Hopf代數(shù)和?均定義在F上.在卷積運算下將Hopf代數(shù)的對極公理進(jìn)行弱化, 可得弱Hopf代數(shù)的如下定義.

T*id*T=T, id*T*id=id,

右伴隨作用為

本文主要考慮弱Hopf代數(shù)的左伴隨表示和左Killing型, 其右伴隨表示和右Killing型可用類似方法討論.

1) adla°adlb=adlab;

2) (a,b)l=(b,a)l;

3) (ab,c)l=(a,bc)l;

4) (αa+βb,c)l=α(a,c)l+β(b,c)l, (a,αb+βc)l=α(a,b)l+β(a,c)l.

因此adla°adlb=adlab.

2) (a,b)l=tr(adla°adlb)=tr(AB)=tr(BA)=tr(adlb°adla)=(b,a)l.

3) 由1)可得

因此(αa+βb,c)l=α(a,c)l+β(b,c)l.類似可證(αb+βc,a)l=α(b,a)l+β(c,a)l, 再由2)可得(a,αb+βc)l=α(a,b)l+β(a,c)l成立.證畢.

g3=g,h3=h,g2=h2,gh=hg,x=hxg,

其余代數(shù)結(jié)構(gòu)和弱對積如下：

Δ(g)=g?g,Δ(h)=h?h,ε(g)=1,ε(h)=1,

T(g)=g,T(h)=h,T(x)=x.

1) (adl1)(1,g,h,x,gh,gx,xg,xgh,g2)=(1,g,h,x,gh,gx,xg,xgh,g2);

2) (adlg)(1,g,h,x,gh,gx,xg,xgh,g2)=(adlh)(1,g,h,x,gh,gx,xg,xgh,g2)=(g2,g,h,xgh,gh,xg,gx,x,g2);

證明： 由定義2可得

1) 因為Δ(1)=1?1, 所以(adl1)(a)=aT(1)=a, 因此結(jié)論1成立.

2) 因為Δ(g)=g?g,Δ(h)=h?h, 則

(adlg)(a)=gaT(g)=gag, (adlh)(a)=haT(h)=hah,

于是可得

(adlg)(1)=(adlh)(1)=g2, (adlg)(g)=(adlh)(g)=g, (adlg)(h)(adlh)(h)=h,

(adlg)(x)=(adlh)(x)=xgh, (adlg)(gh)=(adlh)(gh)=gh, (adlg)(gx)=(adlh)(gx)=xg,

(adlg)(xg)=(adlh)(xg)=gx, (adlg)(xgh)=(adlh)(xgh)=x, (adlg)(g2)=(adlh)(g2)=g2,

從而結(jié)論2)成立.

從而

于是結(jié)論3)成立.證畢.

1) (adlgh)(1,g,h,x,gh,gx,xg,xgh,g2)=(adlg2)(1,g,h,x,gh,gx,xg,xgh,g2)=(g2,g,h,x,gh,gx,xg,xgh,g2);

證明： 由定理1中結(jié)論1)和命題1直接可以驗證.

令

M0=F·1⊕F·g2,M1=F·g⊕F·h,

M2=F·gh,M3=F·x⊕F·gx⊕F·xg⊕F·xgh,

dimKM0=2, dimKM1=2, dimKM2=1, dimKM3=4.

證明： 由命題1和命題2可得

(adlg)(x,gx,xg,xgh)=(adlh)(x,gx,xg,xgh)∈Fx⊕Fgx⊕Fxg⊕Fgh,

(adlgh)(x,gx,xg,xgh)=(adlg2)(x,gx,xg,xgh)∈Fx⊕Fgx⊕Fxg⊕Fgh,

(adlx)(x,gx,xg,xgh)=(adlxgh)(x,gx,xg,xgh)∈Fx⊕Fgx⊕Fxg⊕Fgh,

(adlgx)(x,gx,xg,xgh)=(adlxg)(x,gx,xg,xgh)∈Fx⊕Fgx⊕Fxg⊕Fgh.

dimF(M0+M1+M2+M3)=9,

(adl1), (adlg), (adlh), (adlx), (adlgh), (adlgx),(adlxg), (adlxgh), (adlg2)

所對應(yīng)的矩陣:

且tr(adlx)=tr(adlxgh)=4;

且tr(adlgx)=tr(adlxg)=4.

(1)

tr(adlx2)=4, tr(adlx2h)=8, tr(adlx2g)=8, tr(adlx2gh)=4.

再由定義5, 得

(2)

的充分必要條件是Kα=0, 其中αi∈F(i=0,1,…,8),α是以αi(i=0,1,…,8)為元素的9維列向量.由定理3可知,Kα=0的充分必要條件是

因此式(2)成立.證畢.