低維不可分解冪零Leibniz代數的局部自同構和局部導子

傅 珍, 劉文德

(海南師范大學 數學與統計學院, 海口 571158)

0 引 言

Leibniz代數[9-10]是李代數的推廣. 目前, 關于Leibniz代數的研究已有很多結果, 例如Leibniz代數的分類[11-13]、 導子和自同構的刻畫[14-17]等. 本文基于文獻[17]中不可分解的三維冪零Leibniz代數的分類與自同構群的研究結果, 利用線性方程組理論以及矩陣技巧, 刻畫復數域上不可分解的三維冪零Leibniz代數的全部局部導子與局部自同構. 結果表明, 冪零Leibniz代數具有更多的非平凡局部導子與局部自同構.

設L是域F上的一個線性空間, [,]:L×L→L是雙線性映射, 若其滿足Leibniz等式：

[x,[y,z]]=[[x,y],z]-[[x,z],y], ?x,y,z∈L,

則稱L是Leibniz代數. 對Leibniz代數L, 令L1=L,Lk+1=[Lk,L], 其中k≥1.若存在正整數k>0, 使得Lk=0, 則稱L是冪零的.

1 預備知識

一般地, 如果一個代數不能表示為其理想的直和, 則稱其為不可分解的.復數域上三維不可分解的冪零Leibniz代數分類如下：

引理1[14]在同構意義下, 不可分解的三維冪零Leibniz代數可分為N1,N2(α),N3,N4, 其非平凡乘法表分別為：

1)N1: [e1,e1]=e2, [e2,e1]=e3;

2)N2(α): [e2,e1]=e3, [e1,e2]=αe3;

3)N3: [e1,e2]=e3, [e2,e1]=-e3;

4)N4: [e1,e1]=e3, [e2,e1]=e3, [e1,e2]=-e3.

這里{e1,e2,e3}是該代數的一組基,α是非零復數且滿足α≠±1.

引理2[17]設φ為Leibniz代數L的可逆線性變換, 則下列結論成立:

1) 當L=N2(α)時,φ是L的自同構當且僅當φ具有形式

這里a11a22≠0；

2) 當L=N3時,φ是L的自同構當且僅當φ具有形式

這里a11a22-a12a21≠0；

3) 當L=N4時,φ是L的自同構當且僅當φ具有形式

這里a11≠0.

文獻[17]給出了N2(α),N3,N4的自同構, 下面本文給出N1的自同構.由N1的乘法及自同構定義, 易得：

命題1設φ為N1的可逆線性變換, 則φ是N1的自同構當且僅當φ具有形式

這里a11≠0.

上面討論了不可分解的三維冪零Leibniz代數L的自同構, 下面討論其局部自同構.本文總設T是L的一個線性變換, 其在標準基下的矩陣為T=(tij)3×3, 其中tij∈,i,j=1,2,3.

2 主要結果

定理1設T是Leibniz代數L的一個線性變換, 則下列結論成立:

1) 當L=N2(α)時,T是L的局部自同構的必要條件為T具有形式

(1)

這里t11t22t33≠0；

2) 當L=N3時,T是L的局部自同構的必要條件為T具有形式

(2)

這里t33≠0,t11t22-t12t21≠0；

3) 當L=N4時,T是L的局部自同構的必要條件為T具有形式

(3)

這里t11t22t33≠0；

4) 當L=N1時,T是L的局部自同構的必要條件為T具有形式(3), 這里t11t22t33≠0.

證明： 只需證明1), 類似可證2),3),4).

設T是N2(α)的局部自同構, 則對任意的x∈N2(α), 存在φx∈Aut(N2(α)), 使得T(x)=φx(x).于是, 分別取x=(1,0,0)T,(0,1,0)T,(0,0,1)T, 可得T的形式為式(1), 其中t11t22t33≠0.證畢.

定理1表明, 任意不可分解的三維冪零Leibniz代數均具有不是自同構的局部自同構.

下面刻畫三維冪零Leibniz代數L=N1,N2(α),N3,N4的局部導子.設D是L的一個線性變換, 其在標準基下的矩陣為D=(dij)3×3, 其中dij∈,i,j=1,2,3.

定理2設D是Leibniz代數L的一個線性變換, 則下列結論成立:

1) 當L=N1時,D是L的導子當且僅當D具有形式

(4)

2) 當L=N2(α)時,D是L的導子當且僅當D具有形式

(5)

3) 當L=N3時,D是L的導子當且僅當D具有形式

(6)

4) 當L=N4時,D是L的導子當且僅當D具有形式

(7)

證明: 只需證明1), 類似可證2),3),4).

充分性.對任意的x,y∈N1, 令

則

故

于是

而

從而

因此D[x,y]=[D(x),y]+[x,D(y)], 即D是N1的導子.

必要性.設D∈Der(N1), 則對任意x,y∈N1, 由N1的乘法運算及導子定義可得D具有形式(4).證畢.

上面得到了N1,N2(α),N3,N4四種不可分解的三維冪零Leibniz代數的導子, 下面討論其局部導子.設Δ是Leibniz代數L的一個線性變換, 其在標準基下的矩陣為Δ=(δij)3×3, 其中δij∈,i,j=1,2,3.

定理3下列結論成立:

1) 當L=N1時,Δ是L的局部導子當且僅當Δ具有形式

(8)

2) 當L=N2(α)時,Δ是L的局部導子當且僅當Δ具有形式

(9)

3) 當L=N3時,Δ是L的局部導子當且僅當Δ具有形式

4) 當L=N4時,Δ是L的局部導子當且僅當Δ具有形式(8).

證明: 只需證明1), 類似可證2),3),4).

必要性.設Δ是N1的局部導子, 則對任意的x∈N1, 存在Dx∈Der(N1), 使得Δ(x)=Dx(x).分別取x=(1,0,0)T,(0,1,0)T,(0,0,1)T, 經計算可知Δ具有形式(8), 這里δ11δ22δ33≠0.

充分性.設Δ具有形式(8), 要證Δ是N1的局部導子, 即證對任意的x=(x1,x2,x3)T∈N1, 存在Dx∈Der(N1), 使得Δ(x1,x2,x3)T=Dx(x1,x2,x3)T.

當Δ(x1,x2,x3)T=Dx(x1,x2,x3)T時, 有

即

(10)

其中a,b,c為未知量.方程組(10)的增廣矩陣為

易證：

① 當x1=x2=x3=0時, 系數矩陣與增廣矩陣的秩均為0;

② 當x1=0,x2=0,x3≠0時, 系數矩陣與增廣矩陣的秩均為1;

③ 當x1=0,x2≠0時, 系數矩陣與增廣矩陣的秩均為2;

④ 當x1≠0時, 系數矩陣與增廣矩陣的秩均為3.

根據線性方程組理論, 方程組(10)有解, 因此Δ是N1的局部導子. 證畢.

定理3表明, 任意不可分解的三維冪零Leibniz代數均具有不是導子的局部導子.