非奇異H-矩陣的迭代判定

李 敏, 桑海風(fēng), 龔 言, 劉畔畔, 王美娟,2

(1. 北華大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 吉林 吉林 132013; 2. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長春 130012)

1 引言與預(yù)備知識

非奇異H-矩陣在控制論、 電力系統(tǒng)理論、 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)以及彈性力學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛. 在數(shù)學(xué)物理和數(shù)值分析的線性方程組迭代求解問題中, 其迭代法收斂的一個條件即為線性方程組的系數(shù)矩陣為非奇異H-矩陣. 目前, 人們已提出很多非奇異H-矩陣的判定條件[1-8].α-對角占優(yōu)矩陣是一類非奇異H-矩陣,α-對角占優(yōu)矩陣?yán)碚撌桥卸ǚ瞧娈怘-矩陣的主要方法.本文討論廣義嚴(yán)格α-對角占優(yōu)矩陣的充分條件, 從而得到非奇異H-矩陣的判定準(zhǔn)則, 數(shù)值結(jié)果表明, 本文的判定準(zhǔn)則有效.

定義1[4]設(shè)A=(aij)∈n×n, 若|aii|≥Ri(A),i∈N, 則A稱為對角占優(yōu)矩陣, 記為A∈D0; 若每個不等式都是嚴(yán)格的, 則A稱為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣, 記為A∈D; 如果存在正對角陣X, 使得AX∈D, 則A稱為廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣,A也稱為非奇異H-矩陣, 記為A∈D*.

注1若矩陣A滿足|aii|>0, ?i∈N, 則當(dāng)Ri(A)=0(或Si(A)=0)時, 對任意的d>0, 有|aii|>dRi(A)=0(或|aii|>dSi(A)=0), 故對于指標(biāo)i總有行(或列)占優(yōu).因此本文總假設(shè)所涉及的矩陣滿足|aii|>0,Ri(A)≠0,Si(A)≠0, ?i∈N.

定義2[4]設(shè)A=(aij)∈n×n, 如果存在α∈[0,1], 使得

|aii|≥αRi(A)+(1-α)Si(A),i∈N,

則A稱為α-對角占優(yōu)矩陣, 記為A∈D0(α); 如果存在α∈[0,1], 使得

|aii|>αRi(A)+(1-α)Si(A),i∈N,

(1)

則A稱為嚴(yán)格α-對角占優(yōu)矩陣, 記為A∈D(α).

注2當(dāng)α=1時, 由式(1)知|aii|>Ri(A), ?i∈N, 即A∈D; 當(dāng)α=0時, 由式(1)知|aii|>Si(A), ?i∈N, 即AT∈D.故均有A為非奇異H-矩陣, 因此本文只考慮α∈(0,1)的情形.

定義3[4]設(shè)A=(aij)∈n×n, 如果存在一個正對角矩陣X, 使得AX∈D(α), 則A稱為廣義嚴(yán)格α-對角占優(yōu)矩陣, 記為A∈D*(α).

引理1[2]設(shè)A=(aij)∈n×n, 若存在α∈(0,1], 使得A∈D*(α), 則A∈D*.

注3由定義1～定義3及引理1知,A∈D*(α)?A∈D*?A是非奇異H-矩陣.

引理2[2]設(shè)A=(aij)∈n×n,α∈(0,1], 若A∈D0(α),A不可約且J(A)={i∈N||aii|>αRi(A)+(1-α)Si(A)}≠?, 則A∈D*.

引理3[2]設(shè)A=(aij)∈n×n,α∈(0,1], 若A∈D0(α), 且對滿足|aii|=αRi(A)+(1-α)Si(A)的頂點(diǎn)i都有非零元素鏈air1,ar1r2,…,artj, 使得j∈J(A)={i∈N||aii|>αRi(A)+(1-α)Si(A)}≠?, 則A∈D*.

2 主要結(jié)果

首先定義如下記號: 對于某常數(shù)α∈(0,1), 記

N1={i∈N|0<|aii|≤αRi(A)+(1-α)Si(A)},

N2={i∈N||aii|>αRi(A)+(1-α)Si(A)}.

顯然N1∩N2=?,N1∪N2=N,N11∩N12=?,N11∪N12=N1.再記

根據(jù)上述定義, 對?i∈N2有

對?i∈N2, 由數(shù)學(xué)歸納法可證

0≤δk+2,i≤δk+1,i≤…≤δ2,i≤δ1,i=ωi<1, 0≤rk+1≤rk≤…≤r2≤r1

對?i∈N12, 記σ0,i=1,

根據(jù)上述定義, 對?i∈N12, 有

于是可得

對?i∈N12由數(shù)學(xué)歸納法可證

0≤τk+1≤τk≤…≤τ2≤τ1<1, 0≤σk+1,i≤σk,i≤…≤σ2,i≤σ1,i<1.

定理1設(shè)矩陣A=(aij)∈n×n, 若存在某常數(shù)α∈(0,1)和某非負(fù)整數(shù)k=0,1,2,…, 使得有

(2)

則A∈D*.

證明： ?i∈N12, 由τk+1定義知

即有

于是

根據(jù)μk+1的定義有0≤μk+1≤1, 從而0≤μk+1σk+1,i<1,i∈N12.對?i∈N11, 由式(2)有

現(xiàn)取充分小的正數(shù)ε, 使其同時滿足下列不等式:

0≤μk+1σk+1,i+ε<1,i∈N12; 0≤δk+1,i(1+ε)<1,i∈N2;

構(gòu)成正對角矩陣X=diag(x1,x2,…,xn), 其中

令B=AX=(bij), 則對?i∈N11, 由式(3)有

即有|bii|>αRi(B)+(1-α)Si(B),i∈N11.

對?i∈N12, 由集合N12定義以及δk+1,i≤ωi(i∈N2)可知,

即有

(4)

再由μk+1的定義以及σk+1,i<1(i∈N12)有

根據(jù)式(4)和式(5), 對?i∈N12, 有

即|bii|>αRi(B)+(1-α)Si(B),i∈N12.

對?i∈N2, 由δk+1,i定義知

因此對?i∈N2, 有

即|bii|>αRi(B)+(1-α)Si(B),i∈N2.

綜上, 總有

|bii|>αRi(B)+(1-α)Si(B),i=N=N11∪N12∪N2,

即B∈D(α), 從而A∈D*(α), 根據(jù)引理1知A∈D*.

定理2設(shè)A=(aij)∈n×n為不可約矩陣, 若存在某常數(shù)α∈(0,1)和某非負(fù)整數(shù)k=0,1,2,…, 使得

(6)

且式(6)中至少有一個嚴(yán)格不等式成立, 則A∈D*.

證明： 構(gòu)造正對角矩陣X=diag(x1,x2,…,xn), 其中

(7)

令B=AX=(bij), 對?i∈N11, 根據(jù)式(6)有

于是有

即|bii|≥αRi(B)+(1-α)Si(B),i∈N11.

對?i∈N12, 由μk+1定義知, 0≤μk+1≤1,σk+1,i<1,i∈N12, 類似定理1中式(5)的證明可得

即{|bii|≥αRi(B)+(1-α)Si(B)},i∈N12.

對?i∈N2, 由δk+1,i定義知, 0≤δk+1,i≤rk<1,i∈N12以及0≤μk+1≤1,σk+1,i<1,i∈N12, 可得

因此對?i∈N2, 有

即|bii|≥αRi(B)+(1-α)Si(B),i∈N2.

綜上, 總有

|bii|≥αRi(B)+(1-α)Si(B),i∈N=N11∪N12∪N2.

(8)

根據(jù)定理?xiàng)l件知不等式(8)至少有一個嚴(yán)格不等式成立, 再由A為不可約矩陣知B也為不可約矩陣, 即B為不可約α-對角占優(yōu)矩陣, 根據(jù)引理2知B∈D*, 從而A∈D*.

定理3設(shè)矩陣A=(aij)∈n×n, 若存在某常數(shù)α∈(0,1)和某非負(fù)整數(shù)k=0,1,2,…, 使得

且

并對?i∈Iα(A), 存在非零元素鏈air1,ar1r2,…,artj, 使得j∈N-Iα(A)≠?, 則A∈D*.

證明： 構(gòu)造正對角矩陣X=diag(x1,x2,…,xn), 其中xi如式(7).令B=AX=(bij), 類似定理2證明過程可知, 矩陣B為具有非零元素鏈的α-對角占優(yōu)矩陣, 根據(jù)引理3知B∈D*, 從而A∈D*.

3 數(shù)值實(shí)例

例1設(shè)

綜上可知, 矩陣A滿足定理1的條件, 因此A∈D*.

經(jīng)計算顯然有δk+1,i>0,i∈N2.根據(jù)文獻(xiàn)[1]中定理1有

(9)

不等式(9)恒成立, 即矩陣A無法滿足文獻(xiàn)[1]中定理1.綜上結(jié)果表明, 本文非奇異H-矩陣判定條件適用范圍更廣泛.