預李代數的交叉模

孫聚波, 張慶成

(1. 吉林工程技術師范學院 應用理學院, 長春 130052; 2. 東北師范大學 數學與統計學院, 長春 130024)

預李代數(也稱為左對稱代數)是一類非結合代數, 它對研究李群上的凸齊次錐、 仿射流形、 結合代數的形變以及李代數具有重要作用[1-3]. 近年來, 關于預李代數的研究已取得了豐富的成果： 文獻[4]給出了預李代數與經典Yang-Baxter方程之間的關系； 文獻[5]研究了預李代數的表示及上同調； 文獻[6]利用線性函子構造了預李代數； 文獻[7]利用Witt代數上的相容分次左對稱代數結構誘導出Witt代數的不可分解模； 文獻[8]利用預李代數的積分研究了由預李代數控制的形變理論; 文獻[9]研究了預李代數的Nijenhuis算子以及相關問題; 文獻[10]考慮預李2-代數的表示理論, 證明了由預李2-代數的表示可給出對應的李2-代數表示. 本文所有的向量空間和代數均為復數域上的.

1 預備知識

定義1[1]設L是向量空間, 對任意的x,y,z∈L, 若雙線性映射·：L×L→L滿足

(x·y)·z-x·(y·z)=(y·x)·z-y·(x·z),

(1)

則稱(L,·)是預李代數.

若預李代數L的子空間I滿足I·L?I,L·I?I, 則稱I為L的雙邊理想.稱Z(L)={l∈L|l·l′=l′·l=0, ?l′∈L}為預李代數L的中心.

定義2設(L,·)和(M,°)是兩個預李代數, 任取l,l1,l2∈L,m,n∈M, 若雙線性映射對

滿足下列條件:

則稱該雙線性映射對為L在M上的作用.

例1設I是預李代數L的雙邊理想, 任取l∈L,m∈I, 定義雙線性映射對為

則該雙線性映射對是L在I上的作用.

命題1設(L,·)和(M,°)是兩個預李代數,L作用在M上.在向量空間L⊕M上定義線性運算:

證明: 由定義1直接計算可得.

定義3設(L,·)和(M,°)是兩個預李代數.若線性映射φ：L→M滿足φ(x·y)=φ(x)°φ(y)(?x,y∈L), 則稱φ為預李代數的同態.

定義4設(L,·)和(M,°)是兩個預李代數,L作用在M上, 線性映射φ：M→L是預李代數的同態.若對任意l∈L,m,n∈M, 下列等式成立:

1)φ(lm)=l·φ(m); 2)φ(ml)=φ(m)·l; 3)φ(m)n=mφ(n)=m°n.

則稱(M,L,φ)為預李代數L的交叉模.

例2設I是預李代數的雙邊理想,i:I→L是嵌入映射, 則(I,L,i)是預李代數L的交叉模.

例3設(L,·)和(M,°)是兩個預李代數, 若滿同態φ：M→L滿足Kerφ?Z(M), 定義線性運算:lm=φ-1(l)°m,ml=m°φ-1(l), 其中φ-1(l)為l在M中的原像, 則(M,L,φ)是預李代數L的交叉模.

命題2若(M,L,φ)是預李代數L的交叉模, 則: 1) Imφ是L的雙邊理想; 2) Kerφ是M的雙邊理想; 3) Kerφ?Z(M).

定義5設(M,L,φ)和(N,P,φ)分別是預李代數L和P的交叉模, 任取l∈L,m∈M, 若線性映射對(f,g)滿足

f(lm)=g(l)f(m),f(ml)=f(m)g(l),φf=gφ,

其中f:M→N,g:L→P是預李代數同態, 則稱(f,g)為交叉模同態.

命題3設(L,·),(M,°),(N,*)是3個預李代數, (M,L,φ)和(N,L,φ)是預李代數L的兩個交叉模.若f:M→N是預李代數同態, 定義線性運算:

則(M,N,f)是預李代數N的交叉模.

證明: 任取n1,n2∈N,m∈M, 則有

n1(mn2)-(n1m)n2-m(n1*n2)+(mn1)n2=φ(n1)(mφ(n2))-(φ(n1)m)φ(n2)-mφ(n1*n2)+(mφ(n1))φ(n2)=0.

類似可得式(3)～(5), 因此線性運算是N在M上的作用.

任取m,n∈M, 因為(f,idL)是交叉模同態, 故有

f(nm)=f(φ(n)m)=φ(n)f(m)=n*f(m),f(m)n=φ(f(m))n=φ(m)n=m°n.

類似可得定義4中的其他等式.故(M,N,f)是預李代數N的交叉模.

2 主要結果

2.1 交叉模與cat1-預李代數

定義6設(L,·)是pre-李代數, 若pre-李代數L的自同態f,g:L→L滿足

fg=g,gf=f, Kerf·Kerg=Kerg·Kerf=0,

則稱(L,f,g)為cat1-預李代數.

定義7設(L,f,g)和(L1,f1,g1)是兩個cat1-預李代數, 若預李代數的同態φ：L→L1滿足φf=f1φ,φg=g1φ, 則稱φ為cat1-預李代數的同態.

定理1預李代數交叉模的同構類與cat1-預李代數的同構類等價.

證明: 下面分5步證明.

1) 由預李代數的交叉模構造cat1-預李代數.

2) 由cat1-預李代數構造預李代數的交叉模.

設(L,f,g)為cat1-預李代數.令N=Kerf,P=Imf,φ=g|Ker f:N→P.任取n∈N,p∈P, 定義線性映射對:

因為f(pn)=f(p·n)=f(p)·0=0, 所以pn∈N, 同理可得np∈N, 因此上述線性映射對定義合理.由定義1可知, 上述線性映射對是P在N上的作用.因為p∈Imf, 存在l∈L, 使得p=f(l), 故有

φ(pn)=g(p·n)=g(f(l))·g(n)=f(l)·g(n)=p·φ(n).

同理可得φ(np)=φ(n)·p.任取n,n′∈N, 則有φ(n)n′=g(n)·n′=(g(n)-n)·n′+n·n′, 因為

g(g(n)-n)=g(f(g(n)))-g(n)=f(g(n))-g(n)=0,

所以g(n)-n∈Kerg, 因此φ(n)n′=n·n′, 同理可得n′φ(n)=n′·n, 故(N,P,φ)是預李代數P的交叉模.

3) 用[(M,L,φ)]表示預李代數交叉模的同構類, [(N,f,g)]表示cat1-預李代數的同構類.下面證明η: [(M,L,φ)]→[(N,f,g)]和θ: [(N,f,g)]→[(M,L,φ)]是線性映射.

設(M,L,φ)?(M1,L1,φ1), 則存在預李代數同構F:M→M1和G:L→L1, 使得

Gφ=φ1F,F(lm)=G(l)F(m),F(ml)=F(M)G(l).

則Φ是預李代數的同態.顯然Φf=f1Φ, 因此(N,f,g)?(N1,f1,g1), 故η: [(M,L,φ)]→[(N,f,g)]是線性映射.

設(N,f,g)?(N1,f1,g1), 則存在預李代數同構φ:N→N1, 使得φf=f1φ,φg=g1φ.設(M,L,φ)和(M1,L1,φ1)是按2)中分別由(N,f,g)和(N1,f1,g1)構造的交叉模.令M=Kerf,L=Imf,M1=Kerf1,L1=Imf1,φ=g|Ker f,φ1=g1|Ker f1, 定義線性映射F=φ|Ker f:M→M1,G=φ|Im f:L→L1, 顯然(M,L,φ)?(M1,L1,φ1).

4)ηθ=id.

f(n-f(n))=f(n)-f(g(f(n)))=f(n)-f(n)=0,

因此n-f(n)∈M, 從而存在(f(n),n-f(n))∈N1, 使得φ(f(n),n-f(n))=n, 故φ是滿射.易證φ是預李代數同態.任取m∈M,l∈L, 則存在n∈N, 使得f(n)=l.因為

同理可得φg1=gφ, 所以(N,f,g)?(N1,f1,g1), 即[(N,f,g)]=[(N1,f1,g1)], 故ηθ=id.

5)θη=id.

2.2 交叉模同態的同倫

定義8設(M,L,φ)和(N,P,φ)分別是預李代數L和P的交叉模,f=(f1,f2)和g=(g1,g2)是兩個交叉模同態, 其中f1,g1:M→N,f2,g2:L→P是預李代數的同態.任取l∈L,m∈M, 若存在線性映射F:L→N, 使得g1(m)=f1(m)+F(φ(m)),g2(l)=f2(l)+φ(F(l)), 則稱F為連接f到g的同倫, 記為F:f?g.

定義9設(M,L,φ)和(N,P,φ)分別是預李代數L和P的交叉模,f=(f1,f2)是交叉模同態, 其中f1:M→N,f2:L→P是預李代數的同態.任取l,l′∈L, 若線性映射F:L→N滿足

F(l·l′)=f2(l)F(l′)+F(l)f2(l′)+F(l)*F(l′),

則稱F為f2-導子.

定理2設(M,L,φ)和(N,P,φ)分別是預李代數L和P的交叉模,f=(f1,f2)是交叉模同態, 其中f1:M→N,f2:L→P是預李代數的同態.若線性映射F:L→N是f2-導子, 則線性映射對g=(g1,g2)是交叉模同態, 其中g1:M→N定義為g1(m)=f1(m)+F(φ(m)),g2:L→P定義為g2(l)=f2(l)+φ(F(l)).

證明: 任取m,m1,m2∈M, 則有

因此g1是預李代數同態.同理g2也是預李代數同態.

任取l∈L,m∈M, 則有

同理可證g1(ml)=g1(m)g2(l).易證φg1=g2φ.故g=(g1,g2)是交叉模同態.

推論1設(M,L,φ)和(N,P,φ)分別是預李代數L和P的交叉模,f=(f1,f2)和g=(g1,g2)是兩個交叉模同態, 則f2-導子F:L→N是連接f到g的同倫.

由定義9可得：

引理1設(M,L,φ)和(N,P,φ)分別是pre-李代數L和P的交叉模,f=(f1,f2)是交叉模同態, 則零線性映射0:L→N是連接f到f的f2-導子, 其中0(l)=0.

引理2設(M,L,φ)和(N,P,φ)分別是預李代數L和P的交叉模,f=(f1,f2)和g=(g1,g2)是兩個交叉模同態, 線性映射F:L→N是連接f到g的f2-導子, 則線性映射F′=-F:L→N是連接g到f的g2-導子, 其中F′(l)=-F(l).

證明: 任取l,l′∈L, 則有

引理3設(M,L,φ)和(N,P,φ)分別是預李代數L和P的交叉模,f=(f1,f2),g=(g1,g2),h=(h1,h2)是交叉模同態.若線性映射F:L→N是連接f到g的f2-導子,F′:L→N是連接g到f的g2-導子, 則線性映射F+F′:L→N是連接f到h的f2-導子, 其中(F+F′)(l)=F(l)+F′(l).

證明: 任取l∈L,m∈M, 由定義8知,h1(m)=f1(m)+(F+F′)(φ(m)),h2(l)=f2(l)+φ((F+F′)(l)).任取l,l′∈L, 則有

因此F+F′是連接f到h的f2-導子.

由上述引理可得下列定理:

定理3設(M,L,φ)和(N,P,φ)分別是預李代數L和P的交叉模, 則存在一個群胚結構, 其對象是交叉模同態, 態射是交叉模同態的同倫.特別地, 下列等價關系成立：

f?g?存在一個連接f到g的f2-導子F.