基于多尺度法的預(yù)載壓電梁俘能特性

黃懷緯 賀萬(wàn)里 曹亞軍

(華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院，廣東 廣州 510640)

壓電俘能器是一種利用壓電材料的特殊性質(zhì)將環(huán)境中的振動(dòng)機(jī)械能轉(zhuǎn)換為電能的結(jié)構(gòu)[1- 6]。傳統(tǒng)的壓電俘能器多采用單自由度線(xiàn)性系統(tǒng)[7]，不僅俘能帶寬很窄，而且很難適應(yīng)低頻隨機(jī)的環(huán)境振動(dòng)，因此應(yīng)用范圍非常有限[8- 9]。

現(xiàn)有的相關(guān)研究表明[10- 21]，施加軸向載荷是一種改善線(xiàn)性系統(tǒng)的有效途徑。Leland等[10]研究了施加軸向載荷的簡(jiǎn)支梁俘能器，并利用軸向預(yù)載使俘能器的諧振頻率降低了24%。Masana等[17- 19]對(duì)施加軸向載荷的壓電梁進(jìn)行了系統(tǒng)地研究，結(jié)果表明預(yù)屈曲情況下的能量效率優(yōu)于小激勵(lì)屈曲，更適合實(shí)際環(huán)境的弱振動(dòng)。Rhimi等[20]基于哈密頓原理建立了預(yù)載壓電梁的廣義模型，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)證明了施加8 N的軸向預(yù)載可使俘能結(jié)構(gòu)的輸出功率增加2.5倍。Harne等[21]利用仿生結(jié)構(gòu)研究了具有軸向支撐彈簧的固支梁俘能器，結(jié)果表明，利用軸向載荷可以有效拓寬俘能頻帶并且提高平均輸出功率。

如上所述，通過(guò)施加軸向載荷的方式，不僅可以降低俘能結(jié)構(gòu)的諧振頻率，還可以通過(guò)調(diào)節(jié)軸向載荷增加俘能帶寬，更好地匹配隨機(jī)的環(huán)境振動(dòng)。然而，大多數(shù)理論研究的對(duì)象是施加軸向載荷的簡(jiǎn)支梁或固支-滑動(dòng)支座梁，而且理論研究沒(méi)有對(duì)開(kāi)路電壓和最優(yōu)輸出功率等重要參數(shù)作更深一步的分析探討。因此，為了更好地揭示預(yù)載壓電梁的俘能特性，本研究基于多尺度法，結(jié)合COMSOL Multiphysics仿真，對(duì)開(kāi)路電壓、最優(yōu)輸出功率、最優(yōu)電阻等重要俘能參數(shù)進(jìn)行了詳細(xì)的理論研究和參數(shù)分析，以期為相應(yīng)的預(yù)載壓電梁的設(shè)計(jì)提供科學(xué)的指導(dǎo)。

1 理論建模

(a)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

(b)截面圖和外部電路

1.1 力電耦合方程

根據(jù)歐拉-伯努利梁理論，當(dāng)有軸向載荷時(shí)，梁的控制方程為[14]

(1)

考慮到w(x，t)=w0(t)+wrel(x，t)，wrel為梁相對(duì)基礎(chǔ)的位移，且引入阻尼參數(shù)c，得到

(2)

僅考慮z方向產(chǎn)生的電場(chǎng)和x方向的應(yīng)力和應(yīng)變，本構(gòu)方程為[22]

(3)

(4)

(5)

采用伽遼金離散[24]，假定相對(duì)基礎(chǔ)的位移為

(6)

(7)

1.2 多尺度法

多尺度法現(xiàn)已成為一種非常有效的近似計(jì)算方法。與其他方法相比，多尺度法具有能計(jì)算衰減振動(dòng)非穩(wěn)態(tài)過(guò)程的特點(diǎn)，且能分析穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)定性[25- 27]。由于包含非線(xiàn)性項(xiàng)，為了準(zhǔn)確分析軸向荷載對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性和電學(xué)特性的影響，本研究采用多尺度法求解非線(xiàn)性方程(式(7))。引入小參數(shù)ε，將時(shí)間尺度拓展為T(mén)n=εnt，關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)變?yōu)殛P(guān)于Tn的偏導(dǎo)數(shù)[25]：

(8)

其中，Dn=?/?Tn。若僅考慮一階近似解，式(7)的解可設(shè)為

(9)

考慮阻尼項(xiàng)、非線(xiàn)性項(xiàng)、力電耦合項(xiàng)和外激勵(lì)項(xiàng)為同階影響，參數(shù)縮放為

ki=εki

(10)

其中，i=1，2，3，4。

主參數(shù)共振時(shí)ω≈ω1，引入調(diào)諧參數(shù)σ，即ω=ω1+εσ。將式(8)-(10)代入式(7)，由方程兩邊ε0和ε1的系數(shù)相等，得到：

O(ε0)項(xiàng)為

(11)

O(ε1)項(xiàng)為

(12)

式(11)的解為

(13)

將式(13)代入式(12)得到

σT1)=Γeiω1T0+k2A3ei3ω1T0+cc

(14)

Γ=0

(15)

此時(shí)可求得式(14)的解為

(16)

將復(fù)函數(shù)A(T1)寫(xiě)為指數(shù)形式，即

(17)

其中，β(T1)和θ(T1)皆為T(mén)1的實(shí)函數(shù)。將式(17)代入式(15)，引入φ=σT1-θ并分離實(shí)部與虛部得到

(18)

考慮系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，令D1β=D1φ=0，由式(18)可得到穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)方程

(19)

于是，位移響應(yīng)(有量綱)為

wrel(x，t)=rβφ(x)cos(ω1t+θ)+

(20)

電壓響應(yīng)(有量綱)為

(21)

(22)

1.3 理論分析

由式(19)可知，系統(tǒng)主共振峰值為

(23)

與電阻尼項(xiàng)和空氣阻尼項(xiàng)有關(guān)，而與非線(xiàn)性項(xiàng)無(wú)關(guān)。

出現(xiàn)峰值時(shí)的調(diào)諧參數(shù)為

(24)

與非線(xiàn)性項(xiàng)和力電耦合項(xiàng)有關(guān)。

1.3.1 短路、開(kāi)路諧振頻率

(25)

即諧振頻率偏移量Δω與機(jī)電耦合系數(shù)θs的平方成正比，與等效電容Cp和無(wú)阻尼固有頻率ω1成反比。

1.3.2 電壓幅值

由式(21)和式(23)可得到主共振時(shí)的電壓幅值為

(26)

考慮開(kāi)路情況，k6→0，得到開(kāi)路電壓幅值為

(27)

代入k1、k4、k5，得到

(28)

即開(kāi)路電壓幅值與機(jī)電耦合系數(shù)θs和外激勵(lì)幅值W0成正比，與等效電容Cp、阻尼比ξ1和無(wú)阻尼固有頻率ω1的平方成反比。

1.3.3 最優(yōu)輸出功率和最優(yōu)電阻

由式(22)和式(23)可得到主共振時(shí)的輸出功率為

(29)

(30)

即最優(yōu)輸出功率Popt與外激勵(lì)幅值W0的平方成正比，與阻尼比ξ1和無(wú)阻尼固有頻率ω1成反比。

2 數(shù)值計(jì)算

選取模型幾何參數(shù)為L(zhǎng)=25.35 mm，b=6.4 mm，hp=0.265 mm，hs=0.140 mm，壓電懸臂梁的材料參數(shù)如表1所示。

表1 壓電懸臂梁的材料參數(shù)

2.1 模型驗(yàn)證

2.1.1 數(shù)值解驗(yàn)證

取W0=9.8，Mt=0.1 g，R=10 kΩ，ξ1=0.007 15，p=5 N，圖2給出了理論解和數(shù)值解的電壓頻響曲線(xiàn)，其中數(shù)值解通過(guò)龍格庫(kù)塔法求解方程(式(7))得到。

由圖2可知，理論解與數(shù)值解結(jié)果一致，諧振頻率均出現(xiàn)在358 Hz處，而兩者電壓幅值相差0.01 V，誤差在0.1%以?xún)?nèi)，驗(yàn)證了文中理論的有效性。

圖2 電壓頻響結(jié)果對(duì)比圖

2.1.2 仿真解驗(yàn)證

采用COMSOL Multiphysics仿真分析本模型，具體流程如下：①選擇三維模型，并添加固體力學(xué)、靜電和電路物理場(chǎng)；②定義幾何模型并賦予相應(yīng)的材料屬性；③施加邊界條件，在梁左端截面施加固定約束，右端截面施加沿軸向的均布載荷，壓電梁下表面接地，上表面設(shè)置終端類(lèi)型為電路，金屬層設(shè)置終端類(lèi)型為電荷；④在電路中添加電阻；⑤采用映射和掃略的方法將幾何域劃分為總數(shù) 1 728 的六面體網(wǎng)格；⑥開(kāi)展預(yù)應(yīng)力特征頻率和預(yù)應(yīng)力頻域擾動(dòng)分析，開(kāi)展預(yù)應(yīng)力分析時(shí)需要勾選幾何非線(xiàn)性。模型網(wǎng)格圖如圖3所示。

圖3 壓電懸臂梁的網(wǎng)格分布圖

取W0=9.8，Mt=0.1 g，R=10 kΩ，ξ1=0.007 15。不同預(yù)載下電壓幅值和諧振頻率的理論解和仿真解如表2所示。

表2 不同預(yù)載下的電壓幅值和諧振頻率

由表2可知，兩種情況下的諧振頻率存在一定的偏移誤差，但誤差仍在10%以?xún)?nèi)，這是因?yàn)槔碚撚?jì)算模態(tài)函數(shù)和固有頻率時(shí)，需要將結(jié)構(gòu)當(dāng)作彈性梁的自由振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行求解，而彈性梁自由振動(dòng)的控制方程中沒(méi)有考慮壓電效應(yīng)項(xiàng)，從而導(dǎo)致理論諧振頻率與仿真結(jié)果存在一定的偏移誤差。而兩者電壓幅值的誤差始終保持在1%左右，表明可通過(guò)文中方法分析預(yù)載壓電梁的俘能特性。

2.2 參數(shù)分析

2.2.1 預(yù)載對(duì)開(kāi)路電壓的影響

取W0=9.8，Mt=0.1 g，ξ1=0.01，假設(shè)R=100 MΩ時(shí)外電路為開(kāi)路狀態(tài)[13]，圖4為不同預(yù)載下的開(kāi)路電壓頻響圖。

圖4 不同預(yù)載下的開(kāi)路電壓頻響圖

為表征預(yù)載對(duì)俘能頻率帶寬的影響，可通過(guò)選取合適的最低電壓來(lái)計(jì)算頻率帶寬，若假設(shè)有效能量采集的最低電壓為5 V。由圖4可知，無(wú)預(yù)載時(shí)的頻率帶寬為385.4～416.6 Hz，當(dāng)預(yù)載在0～20 N內(nèi)自由調(diào)節(jié)時(shí)，頻率帶寬范圍變?yōu)?67.8～416.6 Hz，頻率帶寬增加了377%。同時(shí)，相較于無(wú)預(yù)載情況，預(yù)載p=20 N時(shí)，主共振諧振頻率降低31.6%，開(kāi)路電壓幅值增加120.8%。

2.2.2 預(yù)載對(duì)最優(yōu)輸出功率和最優(yōu)電阻的影響

取W0=9.8，Mt=0.1 g，ξ1=0.01，當(dāng)預(yù)載變化時(shí)不同電阻下主共振輸出功率曲線(xiàn)如圖5所示。

圖5 不同預(yù)載下的主共振輸出功率

從圖5可以看出，預(yù)載p的增大會(huì)導(dǎo)致最優(yōu)輸出功率Popt增大，最優(yōu)電阻Ropt減小。相較于無(wú)預(yù)載情況，預(yù)載p=20 N時(shí)，最優(yōu)輸出功率增加40%，最優(yōu)電阻降低42%。表明在不改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的前提下，施加軸向預(yù)載是提高結(jié)構(gòu)最優(yōu)輸出功率的有效措施。

2.2.3 電阻對(duì)輸出電壓和諧振頻率的影響

取W0=9.8，Mt=0.1 g，ξ1=0.01，p=0 N。圖6為不同電阻下的輸出電壓頻響圖。

圖6 不同電阻下的輸出電壓頻響圖

由圖6可知，電壓幅值隨著電阻的增大而增大，并逐漸趨于開(kāi)路電壓，相應(yīng)的諧振頻率也逐漸增大并趨于開(kāi)路諧振頻率。由式(24)和式(26)可知，電阻的增大使得k6減小，從而增大了電壓幅值和諧振頻率。

2.2.4 外激勵(lì)幅值對(duì)開(kāi)路電壓的影響

取Mt=0.1 g，ξ1=0.01，p=0 N，圖7為不同外激勵(lì)幅值下的開(kāi)路電壓頻響圖。

圖7 不同外激勵(lì)幅值下的開(kāi)路電壓頻響圖

圖7表明，當(dāng)外激勵(lì)幅值增大時(shí)，開(kāi)路電壓幅值會(huì)不斷增大。且外激勵(lì)幅值取2、4、6、8、10時(shí)，相應(yīng)的開(kāi)路電壓幅值分別為4.21、8.44、12.67、16.93和21.22 V，同時(shí)結(jié)合式(28)可知，在結(jié)構(gòu)其它參數(shù)保持不變的情況下，開(kāi)路電壓幅值與外激勵(lì)幅值成正比，表明增加外激勵(lì)幅值是提高結(jié)構(gòu)開(kāi)路電壓幅值的有效途徑。

2.2.5 外激勵(lì)幅值對(duì)最優(yōu)輸出功率和最優(yōu)電阻的影響

取Mt=0.1 g，ξ1=0.01，p=0 N，不同外激勵(lì)幅值(分別取2、4、6、8、10)下的最優(yōu)輸出功率和最優(yōu)電阻如圖8所示。

圖8 不同外激勵(lì)幅值下的最優(yōu)輸出功率和最優(yōu)電阻

圖8表明，當(dāng)外激勵(lì)幅值取2、4、6、8、10時(shí)，相應(yīng)的最優(yōu)輸出功率分別為0.006、0.025、0.056、0.10和0.15 mW，而最優(yōu)電阻始終為29.13 kΩ，同時(shí)結(jié)合式(30)可知，在結(jié)構(gòu)其它參數(shù)保持不變的情況下，最優(yōu)輸出功率與外激勵(lì)幅值的平方成正比，而最優(yōu)電阻卻與外激勵(lì)幅值無(wú)關(guān)，表明外激勵(lì)幅值的增大會(huì)提高最優(yōu)輸出功率，但不會(huì)改變最優(yōu)電阻。因此可以通過(guò)增大外激勵(lì)幅值的方式來(lái)提高結(jié)構(gòu)最優(yōu)輸出功率。

2.2.6 阻尼比對(duì)開(kāi)路電壓的影響

取W0=9.8，Mt=0.1 g，p=0 N，不同阻尼比下的開(kāi)路電壓頻響圖如圖9所示。

圖9 不同阻尼比下的開(kāi)路電壓頻響圖

由圖9可知，相較于ξ1=0.015，ξ1=0.007 5時(shí)開(kāi)路電壓幅值由13.83 V增大至27.67 V，在阻尼比降低50%的情況下開(kāi)路電壓幅值提高了100%，同時(shí)結(jié)合式(28)可知，在結(jié)構(gòu)其它參數(shù)保持不變的情況下，開(kāi)路電壓幅值與阻尼比成反比，表明降低阻尼比是提高開(kāi)路電壓幅值的有效途徑。

2.2.7 阻尼比對(duì)最優(yōu)輸出功率和最優(yōu)電阻的影響

取W0=9.8，Mt=0.1 g，p=0 N，不同阻尼比(分別取0.005 0、0.007 5、0.010 0、0.012 5、0.015 0)下的最優(yōu)輸出功率和最優(yōu)電阻如圖10所示。

圖10 不同阻尼比下的最優(yōu)輸出功率和最優(yōu)電阻

圖10表明，隨著阻尼比的增加，最優(yōu)輸出功率不斷減小，最優(yōu)電阻不斷增大。進(jìn)一步分析可知，當(dāng)阻尼比取0.005 0、0.007 5、0.010 0、0.012 5、0.015 0時(shí)，相應(yīng)的最優(yōu)輸出功率分別為0.301、0.201、0.150、0.120和0.100 mW，同時(shí)結(jié)合式(30)可知，最優(yōu)輸出功率與阻尼比成反比，故降低阻尼比是提高最優(yōu)輸出功率的有效途徑。

2.2.8 端部質(zhì)量對(duì)開(kāi)路電壓的影響

取W0=9.8，ξ1=0.01，p=0 N，不同端部質(zhì)量下的開(kāi)路電壓頻響圖如圖11所示。

圖11 不同端部質(zhì)量下的開(kāi)路電壓頻響圖

從圖11中可以看到，隨著端部質(zhì)量的增加，結(jié)構(gòu)諧振頻率不斷減小，開(kāi)路電壓幅值不斷增大，相較于無(wú)端部質(zhì)量，端部質(zhì)量Mt=0.2 g時(shí)，諧振頻率由483.22 Hz減小至349.10 Hz，降低了28.4%，開(kāi)路電壓幅值由15.51 V增大至25.89 V，提高了67.1%。表明增大端部質(zhì)量有利于降低結(jié)構(gòu)諧振頻率，同時(shí)提高結(jié)構(gòu)開(kāi)路電壓幅值。

2.2.9 端部質(zhì)量對(duì)最優(yōu)輸出功率和最優(yōu)電阻的影響

取W0=9.8，ξ1=0.01，p=0 N，不同端部質(zhì)量下的最優(yōu)輸出功率和最優(yōu)電阻如圖12所示。

由圖12可知，當(dāng)端部質(zhì)量分別取0.00、0.05、0.10、0.15和0.20 g時(shí)，相應(yīng)的最優(yōu)輸出功率分別為0.109、0.129、0.150、0.173和0.191 mW，最優(yōu)電阻分別為26.33、27.65、29.13、30.63和32.12 kΩ，即最優(yōu)輸出功率和最優(yōu)電阻均隨著端部質(zhì)量的增大而增大，表明可以通過(guò)增大端部質(zhì)量提高結(jié)構(gòu)的最優(yōu)輸出功率。

圖12 不同端部質(zhì)量下的最優(yōu)輸出功率和最優(yōu)電阻

3 結(jié)論

本研究基于多尺度法對(duì)預(yù)載壓電梁的俘能特性進(jìn)行了系統(tǒng)論證，針對(duì)懸臂梁模型，結(jié)合COMSOL Multiphysics仿真并通過(guò)理論分析和參數(shù)分析，得到的主要結(jié)論如下：

(1)主共振峰值與電阻尼項(xiàng)有關(guān)，與非線(xiàn)性項(xiàng)無(wú)關(guān)；出現(xiàn)峰值時(shí)的調(diào)諧參數(shù)與非線(xiàn)性項(xiàng)和力電耦合項(xiàng)有關(guān)。短路、開(kāi)路兩種情況下的諧振頻率偏移量與機(jī)電耦合系數(shù)的平方成正比，與等效電容和無(wú)阻尼固有頻率成反比。開(kāi)路電壓幅值與機(jī)電耦合系數(shù)和外激勵(lì)幅值成正比，與等效電容、阻尼比、無(wú)阻尼固有頻率的平方成反比。最優(yōu)輸出功率與外激勵(lì)幅值的平方成正比，與阻尼比和無(wú)阻尼固有頻率成反比。

(2)軸向預(yù)載可以改善俘能結(jié)構(gòu)的俘能效率。相較于無(wú)預(yù)載情況，預(yù)載為20 N時(shí)，主共振諧振頻率降低31.6%，開(kāi)路電壓幅值增加120.8%，最優(yōu)輸出功率增加40%。端部質(zhì)量也可以改善俘能結(jié)構(gòu)的俘能效率，相較于無(wú)端部質(zhì)量情況，端部質(zhì)量為0.20 g時(shí)，諧振頻率降低28.4%，開(kāi)路電壓幅值增加67.1%，最優(yōu)輸出功率增加75.2%。