復合P-G風險下最優投資組合便宜再保閾值分紅問題

孫宗岐， 楊鵬， 吳靜， 楊陽

1. 西京學院 醫學院， 西安 710123； 2. 西京學院 理學院， 西安 710123；3. 西安交通大學 數學與統計學院， 西安 710048

復合Poisson-Geometric過程作為對復合Poisson過程的一種稀疏化推廣， 在國外亦被稱為Polya-Aeppli過程， 其相關理論可參考文獻[1-2]． 它作為描述帶免賠機制和無賠款保費優待制度的保險賠付模型， 更加準確地刻畫了保險事故中的賠付過程． 自該過程被提出， 就普遍受到了國內外研究者的關注． 在該風險模型下， 文獻[3]討論了保險公司的破產概率問題； 文獻[4]又研究了破產時刻的分布； 文獻[5]利用鞅方法再一次研究了破產概率問題； 文獻[6]考慮了隨機初始值約束的線性生滅過程； 文獻[7]討論了具有退保和投資依賴的保險風險模型， 利用鞅方法得到了破產概率的上界， 破產概率的顯式表達等； 文獻[8-9]還討論過雙復合Poisson-Geometric風險的破產概率問題； 文獻[10]考慮了該風險下均值-方差準則的投資-再保問題； 文獻[11-12]討論了復合Poisson-Geometric過程的破產時刻、 破產概率問題． 但是以上研究主要針對復合Poisson-Geometric風險下的破產概率問題， 而對該風險下的分紅問題研究較少．

分紅策略一般分為障礙分紅和閾值分紅． 文獻[13]研究了保險公司的閾值分紅問題， 但只是在復合Poisson過程下討論問題， 同時也沒有考慮保險事務中普遍存在的再保和投資的事實； 文獻[14]研究了保險公司的障礙分紅問題， 也只在復合Poisson過程下討論問題， 而沒有考慮再保與投資問題； 文獻[15]討論了雙復合Poisson風險的有界分紅； 文獻[16-18]雖然在復合Poisson-Geometric過程下考慮過帶初始注資、 風險資本投資和比例再保險的最大分紅問題， 但是沒有考慮無風險資本投資， 這也與保險實務的運作不符．

為了彌補在復合Poisson-Geometric風險下對保險分紅問題研究的不足， 文章考慮了帶無風險資本投資、 風險資本投資、 比例再保險的最優閾值分紅問題． 通過分析模型參數對最優投資-再保策略以及最優紅利的影響， 給保險公司的管理提出了建議．

1 建立模型

文章所假設的隨機過程和隨機變量都定義在完備概率空間(Ω，F，Ft，P)上， 產生的σ-域流{Ft：t>0}完備且右連續． 允許連續交易且資產可任意分割， 無摩擦、 自融資且無套利．

1.1 賠付過程、 盈余過程、 財富過程和分紅策略的模型

本節先給出賠付過程、 盈余過程、 財富過程和閾值分紅策略的數學描述， 最后再給出保險公司的最優控制問題．

1.1.1 賠付過程

文獻[1-2]分別提出了復合Poisson-Geometric分布與過程． 關于復合Poisson-Geometric分布的定義也可參考文獻[16]， 下面只給出復合Poisson-Geometric過程的定義．

定義1[2]設λ>0， 0≤γ<1， 稱隨機過程{N(t)}是服從參數λ，γ的復合Poisson-Geometric過程， 如果滿足

1)N(0)=0；

2)N(t)具有獨立平穩增量；

3) 對任意t≥0，N(t)服從參數為λ，γ的復合Poisson-Geometric分布， 且

注1當γ=0時， 復合Poisson-Geometric過程退化為一般的Poisson過程， 常稱γ為偏離系數．

1.1.2 盈余過程

復合Poisson-Geometric風險(簡稱復合P-G風險)下， Cramer-Ludberg盈余模型被推廣為

R(t)=x+ct-S(t)

(1)

其中：x表示初始盈余，c表示保費率，S(t)表示到時刻t為止的累積賠付．

(2)

1.1.3 財富過程

在破產前， 保險公司將部分財富π(t，x)投資到一個價格P(t)滿足

dP(t)=P(t)(μ0dt+σ0dB2(t))，P(0)=p0

的風險資產(比如股票)上． 這里μ0是風險資產的單位風險資產的期望收益率，σ0是單位風險資產的期望波動率，B2(t)是一維標準布朗運動， 設B2(t)與B1(t)的相關系數為ρ． 最后將剩余財富投資于價格P0(t)滿足

dP0(t)=P0(t)r0dt

的無風險資產上， 其中單位無風險資產的收益率為r0(<μ0)． 則財富過程X(t)滿足

這里進一步考慮再保業務， 并假設再保的自留比例(風險暴露)為q(t，x)， 再保的負載系數為η(≥θ)， 則財富過程可進一步表示為

也即

(3)

1.1.4 閾值分紅策略的描述

保險公司對股東或投保人按閾值分紅策略進行紅利分配． 設b>0， 當修正財富低于b時， 不分紅； 修正財富超過b時， 將超出的部分按一個有界的比例l進行分紅， 其中0≤l≤α； 這種分紅策略常被稱為閾值分紅．

1.2 最優控制問題

稱滿足

1) 0≤q(t，x)≤1；

的控制策略(π(t，x)，q(t，x))為允許策略， 又稱允許策略的集合為可行集， 記作Π．

稱其為最優分紅函數． 為此， 可構建如下的最優控制問題

(4)

滿足

V′(x；b)>0，V″(x；b)<0，V(0；b)=0，V′(0；b)=∞，V′(b；b)=1，V(b-；b)=V(b+；b)

(5)

為了能得到最優控制問題的解， 先給出以下檢驗性定理．

引理1[20]設W(x；b)為定義在[0， +∞)上的二次連續可微的函數， 且W′(x；b)>0，W″(x；b)<0． 如果W(x；b)，V(x；b)分別是上述方程(4)與下述方程(6)和(7)的經典解， 那么W(x；b)與V(x；b)一致， 且滿足HJB方程的(π*(x)，q*(x))就是最優投資策略， 即V(x；b)=W(x；b)=Jπ*， q*(x；b)．

2 閾值分紅策略下模型的求解

運用最優控制原理把本文的隨機最優控制問題轉化為Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程， 再求解最優控制策略．

2.1 閾值分紅策略下的Hamilton-Jacobi-Bellman方程

依文獻[13]中2.5.1節的結論， 閾值分紅策略下的最優分紅函數V(x；b)滿足如下HJB方程． 當0≤x≤b時，

(6)

當x>b時，

(7)

2.2 閾值分紅策略下最優投資再保策略與最優分紅函數

定理1當x≥b時， 便宜再保險下的最優投資-再保策略為

最優閾值分紅函數為

其中

證當x≥b時， 對HJB方程(7)利用一階最優性條件， 可得

代入HJB方程(7)， 有

(8)

其中， 當0≤ρ<1，η≥θ，μ0>r0時，

很難得到方程(8)滿足條件(5)的顯式解． 而在η=θ的情形下， 能得到方程的顯式解， 此時， 再保險常被稱為便宜再保險．

且有

此時， 方程(8)不難化為

r0k2-(A+δ+r0)k+δ=0

顯然

Δ=(A+δ+r0)2-4r0δ=(δ-r0)2+A2+2A(δ+r0)>0

解得

不難證明0

滿足邊界條件(5)， 故最優投資-再保策略為

定理2當0≤x≤b時， 便宜再保險下， 最優投資-再保策略為

最優閾值分紅函數為

其中

證與定理1證明類似， 這里不再贅述． 顯然在δ=kr0時， 該解滿足邊界條件(5)．

2.3 允許策略的等價條件

3 便宜再保情形下的參數分析與經濟解釋

下面， 首先將模型中涉及的保險參數x，m，λ，γ， 投資參數r0，μ0，σ0，α， 保險風險與投資風險之間的相關系數ρ， 結合文章中的結果， 通過數值算例， 對參數做數值分析， 并作經濟解釋．

例1先給出幾個參數，λ=3，m=1，γ=0.3，η=θ=0.3，ρ=0.3，μ0=0.1，σ0=1，δ=0.2，α=0.02，b=3． 利用Matlab軟件得到最優閾值分紅函數與初始盈余和無風險利率之間的關系圖(圖1)、 最優投資策略與初始盈余和無風險利率之間的關系圖(圖2)、 最優再保策略與初始盈余和無風險收益率之間的關系圖(圖3)．

圖1 最優閾值分紅函數V(x； b)與初始盈余x和無風險利率r0之間的關系

從圖1可以看出： 最優閾值分紅函數V(x)是初始盈余x的增函數， 也是無風險利率r0的增函數． 這是因為初始準備金越高， 財富水平也越高， 分紅就越多； 無風險利率越大， 無風險資本收益越多， 財富水平越高， 分紅自然越多．

從圖2可以看出： 初始盈余越大， 即初始準備金越充足， 此時為了追求更高的盈余水平， 保險公司應該增加風險資本投資． 無風險利率越大， 最優投資策略越小． 這是因為無風險資本投資能帶來更多收益的情況下， 保險公司當然會趨利避害， 增加無風險資本的投資， 降低風險資本的投資． 同時在分紅界右側， 風險投資減少． 這是因為有分紅的存在， 財富減少， 財富水平降低， 減少風險資本投資有利于降低保險公司整體風險水平．

圖2 最優投資策略π*(x)與初始盈余x和無風險利率r0之間的關系

從圖3可以看出： 最優再保策略是初始盈余的減函數， 這是因為初始準備金越充足， 整體風險水平越低， 再保險的比例自然會下降． 在分紅界的右側， 無風險資本利率增大． 由于風險資本投資減少， 整體風險水平降低， 保險公司的償付能力提高， 因此再保比例自然降低． 但在分紅界左側， 為增強償付能力， 提高財富水平， 應隨無風險利率的提高繼續增加再保險， 以持續降低整體風險， 盡快實現分紅．

圖3 最優再保策略1-q*(x)與初始盈余x和無風險收益率r0之間的關系

例2先給出幾個參數，λ=3，m=1，γ=0.3，η=θ=0.3，ρ=0.3，x=3.5，σ0=0.5，δ=0.2，α=0.02，b=3． 利用Matlab軟件得到最優閾值分紅函數與無風險利率和資本風險收益率之間的關系圖(圖4)、 最優投資策略與無風險利率和風險資本收益率之間的關系圖(圖5)、 最優再保策略與無風險利率和風險收益率之間的關系圖(圖6)．

從圖4可以看出： 最優閾值分紅是無風險利率與風險利率的增函數． 這與資本收益率越高， 投資回報越大， 財富水平越高， 分紅越多的一般性認識一致．

圖4 最優閾值分紅函數V(x； b)與無風險利率r0和資本風險收益率μ0之間的關系

從圖5可以看出： 最優投資策略是無風險利率的減函數， 是風險資本收益率的增函數． 這是因為無風險利率較高時， 保險公司更愿意轉投沒有任何風險的無風險資產． 若風險資產收益率較高， 則保險公司更愿意投資到風險資產， 以取得更加可觀的收益回報， 來提高財富水平， 增加分紅．

圖5 最優投資策略π*(x)與無風險利率r0和風險資本收益率μ0之間的關系

從圖6可以看出： 無風險利率越高， 最優再保比例越小； 資本風險收益率越高， 最優再保比例也越高． 這是因為無風險利率越高， 轉投無風險資產越多， 回報會越多， 財富水平提高， 償付能力提高， 再保比例自然可以降低， 此時更能增加分紅， 風險資本收益率增大． 由于風險投資增加， 整體風險水平提高， 此時自然需要提高再保比例， 轉移風險．

圖6 最優再保策略1-q*(x)與無風險利率r0和風險收益率μ0之間的關系

例3先給出幾個參數，λ=3，m=1，γ=0.3，η=θ=0.3，r0=0.03，x=3.5，μ0=0.16，δ=0.2，α=0.02，b=3． 利用Matlab軟件得到最優閾值分紅函數與資本風險波動率和相關系數之間的關系圖(圖7)、 最優投資策略與資本風險波動率和相關系數之間的關系圖(圖8)、 最優再保策略與資本風險波動率和相關系數之間的關系圖(圖9)．

從圖7可以看出： 最優閾值分紅函數V(x；b)是資本風險波動率σ0和相關系數ρ的減函數， 顯然這與風險水平越高， 分紅越少的一般性認識一致．

圖7 最優閾值分紅函數V(x； b)與資本風險波動率σ0和相關系數ρ之間的關系

從圖8可以看出： 最優投資策略π*(x)是資本風險波動率σ0和相關系數ρ的減函數， 這也與風險越大， 風險投資應該減少的一般認識相一致．

圖8 最優投資策略π*(x)與資本風險波動率σ0和相關系數ρ之間的關系

從圖9可以看出： 最優再保策略1-q*(x)是風險資本波動率σ0和相關系數ρ的減函數． 這是因為風險資本波動率越大， 且相關性風險也越大時， 整體風險增加， 風險投資隨之減少， 整體投資風險降低， 保險公司的賠付能力有所提高， 所以降低再保比例反而更有利于分紅．

圖9 最優再保策略1-q*(x)與資本風險波動率σ0和相關系數ρ之間的關系

4 結論

文章考慮了無風險資本投資， 完善了復合Poisson-Geometric風險下保險風險模型的研究． 從激發投保熱情， 增加投保人分紅的角度看， 投資收益率高的無風險資產顯然更利于分紅； 從風險控制的角度看， 投資較高收益率的無風險資產顯然能夠降低風險資產投資所帶來的風險； 從風險轉移的角度看， 投資高收益率的無風險資本時， 則需要降低再保， 此時反而更有利于分紅．

在實際的金融市場中， 無風險收益率并非始終是常數， 而是跳躍的． 因此， 考慮隨機市場環境中的保險公司最優投資-再保-分紅問題應該更能接近目前保險金融的實際運行狀態． 探討復合Poisson-Geometric風險下具有隨機情形的分紅問題將是一個值得研究的問題．