矩陣Hadamard積與Fan積的特征值新界①

2022-07-09 07:34:52張曉鳳陳付彬羅歡

西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版) 2022年7期

張曉鳳，陳付彬，羅歡

昆明理工大學(xué)津橋?qū)W院理工學(xué)院，昆明 650106

矩陣在眾多科學(xué)領(lǐng)域中有著極其廣泛的應(yīng)用，是研究的重點(diǎn)[1-3]．矩陣的Hadamard積與Fan積是兩種與矩陣的乘法不同的運(yùn)算[4]．非負(fù)矩陣和M-矩陣相關(guān)特征值的研究是一個(gè)熱點(diǎn)問題，其中非負(fù)矩陣Hadamard積的譜半徑上界和非奇異M-矩陣Fan積的特征值下界引起了學(xué)者們的關(guān)注，且相繼給出了許多結(jié)果[5-19]．下面將繼續(xù)針對(duì)這兩個(gè)問題進(jìn)行研究，得到只依賴相關(guān)矩陣元素且更具優(yōu)越性的結(jié)果．

1 預(yù)備知識(shí)

以Rn×n(Cn×n)表示實(shí)(復(fù))矩陣集，N表示集合{1， 2， …，n}．

如果矩陣A=(aij)的元素滿足aij>0(i，j∈N)，則A是正矩陣，記A>0；如果滿足aij≥0(i，j∈N)，則A是非負(fù)矩陣，記A≥0．

設(shè)A=(aij)，B=(bij)∈Rn×n．用A°B表示A和B的對(duì)應(yīng)元素相乘的矩陣，稱為A和B的Hadamard積，如果A≥0，B≥0，則A°B≥0．

如果有置換矩陣P，使得

則稱A可約，否則A不可約．

記

Zn={A=(aij)：aij≤0(i≠j)；i，j=1，…，n}

設(shè)A=αI-P，P≥0，α∈R，若α>ρ(P)，則A為非奇異M-矩陣，記為Mn；否則A是奇異的．

設(shè)A=(aij)，B=(bij)∈Rn×n，A★B=(cij)定義為A與B的Fan積，其中

如果A，B∈Mn，則A★B∈Mn．

本文將用到以下記號(hào)：令A(yù)=(aij)，i，j，k∈N，j≠i，

2 非負(fù)矩陣Hadamard積的譜半徑上界

引理1[18]設(shè)A=(aij)∈Cn×n，則A的特征值位于如下域中：

引理2[18]設(shè)A=(aij)∈Cn×n，則A的特征值位于如下域中：

定理1設(shè)A=(aij)，B=(bij)∈Rn×n，且A，B≥0，則

證當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論明顯成立．當(dāng)n≥2時(shí)，分以下兩種情況討論：

情況1 若A°B不可約．則A和B也不可約．依據(jù)引理1，當(dāng)i∈N時(shí)，有

由于ρ(A°B)≥aiibii，則

情況2 若A°B可約．則有滿足ξ12=ξ23=…=ξn-1，n=ξn，1=1，且其余元素ξij=0的置換陣D=(ξij)，當(dāng)正數(shù)ε充分小時(shí)，A+εD和B+εD非負(fù)不可約．將A，B替換為A+εD，B+εD，同情況1的討論，結(jié)論成立．

定理2設(shè)A=(aij)，B=(bij)∈Rn×n，且A，B≥0，則

證當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論明顯成立．當(dāng)n≥2時(shí)，分以下兩種情況討論：

情況1 若A°B不可約．則A和B也不可約．令ρ(A°B)=λ，依據(jù)引理2，存在(i，j)， 1≤i，j≤n，i≠j，有

由于ρ(A°B)≥aiibii，則

下面比較定理1和定理2的優(yōu)越性．不失一般性，當(dāng)i≠j時(shí)，假設(shè)有

即

則

因此

所以

例1令非負(fù)矩陣

應(yīng)用文獻(xiàn)[8-15]中ρ(A°B)的相關(guān)定理分別得

ρ(A°B)≤50.127 4ρ(A°B)≤25.536 4ρ(A°B)≤31.461 1ρ(A°B)≤23.200 0

ρ(A°B)≤28.446 0ρ(A°B)≤25.364 4ρ(A°B)≤22.163 3ρ(A°B)≤21.887 2

而應(yīng)用所給定理1，得

應(yīng)用定理2，得

3 非奇異M-矩陣Fan積的特征值下界

定理3設(shè)A=(aij)，B=(bij)∈Mn，則

證當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論明顯成立．當(dāng)n≥2時(shí)，分以下兩種情況討論：

情況1 若A★B不可約．則A和B也不可約．依據(jù)引理1，當(dāng)i∈N時(shí)，有

由于0≤τ(A★B)≤aiibii，則

情況2 若A★B可約．因?yàn)閆n中的矩陣滿足主子式皆為正時(shí)為M-矩陣[19]，則有滿足ξ12=ξ23=…=ξn-1，n=ξn，1=1，且其余元素ξij=0的置換陣D=(ξij)，當(dāng)正數(shù)ε充分小時(shí)，A-εD和B-εD為M-矩陣且不可約．將A，B替換為A-εD，B-εD，同情況1的討論，結(jié)論成立．

定理4設(shè)A=(aij)，B=(bij)∈Mn，則