熱環境下彈性地基板屈曲路徑和振動特性研究

薛治國, 張博, 孫寶印, 王迪

(1.山西路橋第五工程有限公司， 太原 030012； 2.長安大學理學院， 西安 710054；3.河海大學土木與交通學院， 南京 210013； 4.長安大學工程機械學院， 西安 710054)

在環境溫度變化較大的地區，道路結構在服役過程中會受到較大的熱應力的作用，一方面，會影響道路結構的強度，甚至由于熱應力擠壓導致屈曲，發生類似于“天然減速帶”的橫向隆起、甚至斷裂的現象[1]；另一方面，熱應力以及熱屈曲后的熱變形對結構的振動特性也會產生復雜影響，給結構的設計帶來困難。因此，相關問題的研究至關重要。

根據道路的結構特點，以往學者多將其簡化為彈性地基梁、板結構。Winkler地基模型是早期發展起來的簡化模型，其將地基簡化為相互無關的彈簧，取得了較好的效果[2]。彈性半空間地基模型考慮了基體的連續性[3]。為了彌補上述兩種方法的不足，相關學者發展了雙參數模型[4]，即在Winkler地基彈簧間引入剪力效應，完善了地基的影響。文獻[1,5- 6]分別以不同形式的彈性地基梁、板為對象，基于壓桿失穩、薄板失穩等理論，分析了道路隆起的臨界溫度載荷，揭示了隆起機理，對道路材料的選擇、設計和施工方法以及隆起病害的防治提出了建議。

道路所受載荷主要來自于行駛車輛的動載荷。魏綱等[7]分析了Winkler彈性地基板梁的自由振動特征，對其適用范圍作了總結。Lü等[8]研究了路面粗糙度對道路結構在移動車輛載荷作用下的響應的影響。Chen等[9]采用虛擬激勵法結合精細積分法計算了隨機移動載荷作用下Pasternak地基上矩形薄板的振動響應。

結構所處的濕熱環境通常會使其內部產生附加應力，甚至使得結構構型發生變化，進而影響其靜、動力學行為[10-11]。因此考慮服役環境下，地基板的動力學行為更具現實意義。吳振強等[12]使用有限元方法，研究了壁板結構在熱屈曲前后固有頻率及振型的演變規律，證實了熱環境對壁板結構動力學特性影響很大。李亞杯等[13]使用Rayleigh-Ritz法研究了熱效應對圓柱殼結構屈曲和模態的影響規律，發現在屈曲溫度附近某些振型將發生躍遷。文獻[14-15]分別報道了復合材料層合板和功能梯度板的熱后屈曲非線性振動，揭示了熱環境對板殼結構的設計具有重要意義。高博等[16]采用近似反演方法推導了黏彈性Winkler地基板溫度翹曲應力的計算公式。

綜上，相關問題已經有了較多積累，但是對于地基板熱屈曲路徑以及熱屈曲前、后振動特性的研究較少。為此，采用理論方法求解地基板振動控制方程，探究相應的理論分析方法，深入分析了地基板屈曲構型、固有頻率和模態形狀隨溫度的演化規律，以期揭示基床系數的影響機理。

1 力學模型

圖1為Winkler地基板示意圖，處于均勻溫升環境中，板長為lx，寬為ly，基床系數為ks，坐標系原點位于板的幾何中面。

圖1 Winkler地基板示意圖

根據三階剪切變形理論，板內任意一點的位移場可表示為[17]

(1)

式(1)中：u、v、w為板中任一點沿x、y、z方向的位移；u0、v0和w0分別為板幾何中面上任意一點沿x、y和z方向的位移；φx和φy分別為截面繞y和x軸的轉角；h為板的厚度；t為時間。

為了研究地基板后屈曲非線性力學行為，采用von Karman非線性位移-應變關系，則x方向的正應變εxx、y方向的正應變εyy、x-y方向的切應變εxy、y-z方向的切應變γyz和x-z方向的切應變γxz表示為

(2)

式(2)中：

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

c2=3c1

(8)

c1=4/3h2

(9)

板為各向同性材料，故本構關系可表示為

(10)

(11)

式中：σxx為x方向的正應力；σyy為y方向的正應力；σxy為x-y方向的切應力；σyz為y-z方向的切應力；σxz為x-z方向的切應力；ΔT為相對于參考環境溫度的均勻溫度變化值；αx、αy和αxy分別為板沿x、y和x-y方向的熱膨脹系數，本研究中為各向同性材料，則可設αx=αy=α，αxy=0，各層的剛度系數Qij可表示為

(12)

式(12)中：E為楊氏模量；ν12為泊松比；G為剪切模量。

振動過程中，板的應變能Up可表示為

(13)

板的動能Tp可表示為

(14)

基于Winkler地基假設，其表面任一點處的位移w(即板在相應點處的橫向位移)與作用在該點的應力p成正比，可表示為[18]

p(x,y)=ksw(x,y)

(15)

式(15)中：ks為基床系數。

則振動過程中地基的勢能Uks為

(16)

假設板受橫向載荷F(x,y,t)作用，則橫向載荷做功Wp為

Wp=?Fwdxdy

(17)

式(17)中：F為板所受橫向載荷。

選取四邊簡支邊界條件[1,7]：

(18)

則根據邊界條件，可將位移假設為

(19)

式(19)中：Mu、Nu、Mv、Nv、Mw、Nw、Mφx、Nφx、Mφy、Nφy為相應位移函數的截斷階數，將式(19)代入式(13)、式(14)、式(16)、式(17)，并引入哈密頓原理：

(20)

則得到考慮溫度效應影響的Winkler地基板幾何非線性振動控制方程為

(21)

式(21)中：M為質量矩陣；KL為線性剛度陣；KT由溫度效應引起的剛度陣；Kks為由地基帶來的剛度陣；KNL2(q,q)為考慮幾何非線性所引起的非線性剛度陣；Qs為由溫度引起的靜態橫向載荷列陣；Qd(t)為由橫向外部動態載荷引起的動態載荷列陣；q為由式(11)中廣義位移組成的廣義位移列陣。

為了得到在穩態熱載作用下板屈曲前后靜力平衡位置處的振動特性，首先將廣義位移表示為熱載作用下的靜態廣義位移qs和動態載荷作用下以靜態平衡位移為參考位置的動態廣義位移qd(t)之和。

q(t)=qs+qd(t)

(22)

則可將式(21)寫為溫度載荷作用下的非線性靜力方程為

[KL+KT+Kks+KNL2(qs,qs)]qs=Qs

(23)

以非線性靜力位移為參考位置的線性振動方程為

(24)

2 實例分析

以一典型地基板結構為對象，對不同基床系數下熱后屈曲路徑、屈曲前后固有頻率和模態進行計算，得到地基板屈曲變形特征和固有特性的演化規律，揭示地基的影響機理。板的長為2.5 m，寬為1.5 m，厚為0.02 m，材料屬性如表1所示。

表1 材料屬性

2.1 結果驗證

取假設位移截斷階數均為5，即Mw=Nw=5,Mu=Nu=5,Mv=Nv=5,Mφx=Nφx=5,Mφy=Nφy=5。基床系數為2×106N/m3，處于常溫環境中。如表 2所示，將理論結果與利用Ansys計算的有限元結果進行對比，發現理論結果與有限元計算結果對比一致，故在接下來的分析中均以此作為截斷階數。

表2 固有頻率對比驗證

2.2 不同基床系數下地基板的熱屈曲路徑

圖2為不同基床系數下地基板屈曲溫度的變化趨勢，可以看出，隨著溫度的升高，地基板的屈曲溫度也隨之升高。地基的存在使得板產生了附加剛度，基床系數越大，地基對板的剛化效應越明顯，進而使得地基板的屈曲溫度不斷升高。

圖2 不同基床系數下地基板的屈曲溫度

所研究的地基板是關于板中面幾何對稱的均質材料板，且溫度均勻分布，故在屈曲前，板不產生橫向位移，而在屈曲后，地基板失去了穩定性，微小的橫向擾動即可使地基板從初始時刻的不穩定位置進入新的穩定位置，即發生了屈曲變形。為了研究基床系數對地基板屈曲路徑的影響，選取了基床系數分別為0、1×106、2×106、5×106N/m3的4種情況，對地基板的屈曲路徑和屈曲變形進行了計算分析。圖 3為4種基床系數下，地基板1/4點(0.062 5、0.037 5 m)處的屈曲位移隨溫度的變化曲線?？梢钥闯?，4種基床系數下，在屈曲后，位移均隨溫度的升高而不斷升高，同時，由于結構和溫度場的對稱性，在屈曲點處位移發生分叉，出現了關于幾何中面對稱而幅值相等的兩條屈曲路徑，而實際沿著哪一條路徑發生屈曲，取決于橫向擾動的方向。從圖3還可以看出，與圖2一致，基床系數的提高使得地基板的屈曲溫度明顯提高，即地基的增強可以抑制地基板的屈曲。

圖3 不同基床系數下地基板1/4點(0.062 5 m，0.037 5 m)的屈曲路徑

在屈曲路徑分析的基礎上，計算并繪制了4種基床系數下，不同屈曲溫度點處地基板的屈曲構型，結果展示在圖4中。可以看出，在每一種基床系數下，熱屈曲后，隨著溫度的升高，地基板的屈曲變形形式基本保持不變，只是幅值隨著溫度的升高而不斷增大。值得注意的是，不同基床系數下，地基板的屈曲構型差異較大，隨著溫度的升高，地基板各階模態順序發生交換，而不同基床系數下，在屈曲溫度附近的第一階模態形狀均與圖4中的屈曲構型形狀保持一致，故可以得出，地基板的屈曲構型形狀，與屈曲溫度附近的第一階模態形狀直接相關。

圖4 不同基床系數下地基板不同屈曲溫度下的屈曲構型

2.3 不同基床系數下地基板的熱屈曲前、后固有特性演化規律

在屈曲路徑分析的基礎上，進一步計算得到了屈曲前、后不同溫度下地基板的固有頻率和模態形狀。圖5為基床系數分別為0、1×106、2×106、5×106N/m3時固有頻率隨溫度的演化規律，結合2.2節關于屈曲溫度的計算結果可以發現，在屈曲溫度之前，隨著溫度的升高，地基板內的熱應力逐漸增大，而熱應力是壓應力，對板的剛度起到軟化效果，故頻率逐漸降低，并在屈曲溫度點處第一階固有頻率降至零點，隨后，地基板不再是平板，而是產生如圖4所示的屈曲構型，而屈曲構型的出現則會增大地基板的剛度，使得固有頻率在屈曲溫度之后開始上升。熱應力的軟化效應與熱屈曲構型的剛化效應對各階固有頻率的影響大小不一樣，使得頻率間發生順序交換，相應地，圖6所示的相應階模態順序也發生了交換。對比發現，地基的存在使得地基板固有頻率整體提高，且基床系數越大，各階固有頻率越聚集，模態間順序發生交換的情況越多。圖6(a)、圖6(b)中，基床系數為0和1×106N/m3時，各階模態順序隨著溫度的升高保持不變，其一階模態形狀與圖4(a)和圖4(b)中屈曲構型形狀一致；圖6(c)中，基床系數為2×106N/m3時，相較于常溫下，在屈曲溫度(50 ℃)附近，一二階模態順序發生了交換，故圖4(c)中的屈曲構型形狀與其常溫時的二階模態形狀一致；圖6(d)中，基床系數為5×106N/m3時，模態交換更為復雜，在屈曲溫度(92 ℃)附近，常溫下的第三階模態變成了第一階模態，其與圖4(d)中的屈曲構型形狀一致。

紅色圓圈標記出的是頻率曲線相交的點

圖6 不同基床系數下地基板熱屈曲前、后模態形狀演化規律

3 結論

以Winkler地基板為對象，考慮熱應力效應，理論推導了其非線性振動控制方程，發展了兩步分析方法。得出如下結論。

(1)基床系數越大，地基板的屈曲溫度就越高，同時，地基板的屈曲構型形狀也會發生較大變化，通過與模態形狀的對比顯示，屈曲構型形狀與地基板在屈曲溫度附近的第一階模態形狀一致。

(2)屈曲前，熱應力對地基板有軟化作用，各階固有頻率不斷降低，基頻在屈曲點降至零點，而后由于屈曲構型的產生，對地基板產生剛化效應，固有頻率開始升高，由于熱應力和熱變形對各階固有頻率和模態的影響大小的不同，會發生頻率和模態順序發生交換的現象，且基床系數越大，交換現象越頻繁。