考慮尺寸效應的典型鉆地彈侵徹混凝土深度分析*

程月華，姜鵬飛，吳 昊，譚可可，方 秦

（1. 同濟大學土木工程學院，上海 200092；2. 中國人民解放軍96911 部隊，北京 100011；3. 陸軍工程大學爆炸沖擊防災減災國家重點實驗室，江蘇 南京 210007）

軍事防護和民防工程面臨鉆地彈打擊的威脅，而混凝土是上述工程廣泛采用的建筑材料。因此，鉆地彈沖擊混凝土的終點彈道效應研究一直是武器研發和防護工程設計人員關注的重點。準確預測鉆地彈以不同速度打擊不同強度等級混凝土的侵徹深度，可為防護結構設計提供重要依據。

目前彈體侵徹混凝土的終點彈道參數研究主要有試驗和數值模擬2 種手段。學者們基于野外開展的中等口徑至大口徑彈體沖擊試驗，擬合出相應的侵徹經驗公式，如修正的Petry 公式、BRL 公式、ACE 公式、修正的NDRC 公式、Ammann-Whitney 公式、Whiffen 公式、Kar 公式、UKAEA 公式、Haldar-Hamieh 公式、Adeli-Amin 公式、Hughes 公式、Healey-Weissman 公式、IRS 公式和Chang 公式等。此外，Forrestal 等、Frew 等和Chen 等分別基于空腔膨脹理論和縮比的小直徑彈體侵徹試驗提出了預測彈體侵徹深度的經典半經驗侵徹公式。Rosenberg 等基于恒阻力侵徹模型提出了剛性彈侵徹和貫穿混凝土靶體的分析方法。數值模擬方法可全面綜合地再現彈體侵徹過程并提供常規試驗觀測手段無法獲得的靶體響應數據。Holmquist 等、Taylor 等、Riedel 等和Kong 等分別選用Holmquist-Johnson-Cook (HJC)、Taylor-Chen-Kuszmaul、Riedel-Hiermaier-Thoma (RHT)、修正的HJC、修正的Karagozian & Case 和Kong-Fang 材料模型來描述混凝土的力學性能，以預測彈體的侵徹深度、殘余速度和靶體的開坑及剝落震塌等。

上述方法對預測原型鉆地彈侵徹混凝土深度主要存在以下不足：(1)野外試驗較多采用侵徹能力較弱的低阻式爆破彈，且混凝土強度較低，因此擬合出的經驗公式對深侵徹鉆地彈和高強混凝土靶體的適用性值得商榷；此外，現有公開發表的彈體直徑大于100 mm 的侵徹試驗中彈體長徑比范圍為1.92～3.30，普遍小于鉆地彈長徑比（＞6），其侵徹能力也與真實鉆地彈存在一定差距。(2)由于彈體侵徹混凝土存在尺寸效應，即利用小尺寸彈體試驗結果預測大尺寸彈體侵徹深度時往往會出現較大的偏差，且尺度比例越大，偏差越大，具體分析見第1 節。因此，上述基于中小口徑彈體侵徹試驗提出的半經驗侵徹公式并不適用于預測新型鉆地彈的侵徹深度，詳見第3 節。(3)數值模擬方法雖可建立新型鉆地彈有限元模型并進行侵徹深度分析，但數值模型中涉及的材料模型和參數具有較強的復雜性和不確定性。此外，由于模型中較常選用的Lagrange 算法具有網格敏感性且在計算過程中需引入刪除準則避免單元過度畸變，在綜合考慮計算效率和計算結果準確性的情況下，原型鉆地彈侵徹效應模擬中的刪除準則需由大口徑彈體侵徹試驗進行標定。

本文中，首先，基于已有試驗數據，分析引起彈體侵徹混凝土尺寸效應的原因；其次，為準確評估大口徑原型鉆地彈的侵徹深度，開展5 發100 和203 mm 口徑縮比鉆地彈侵徹普通和高強混凝土試驗；然后，通過建立二維軸對稱有限元模型進行數值模擬分析并與試驗結果進行對比，驗證有限元模型和算法的可靠性；最后，基于驗證的有限元模型確定美軍5 種鉆地彈在不同打擊速度（100～600 m/s)和不同強度混凝土（C40～C200）中的侵徹深度。

1 鉆地彈侵徹混凝土的尺寸效應及其原因

彈體侵徹混凝土靶體的尺寸效應是指幾何相似的彈體沖擊混凝土靶體時產生不成比例的侵徹深度，即不滿足相似律。吳飚等開展了7 發直徑為10.1～203.0 mm 的幾何相似彈體（見圖1）以450 m/s的速度侵徹C40 和C60 混凝土靶體試驗，試驗結果表明，彈體侵徹混凝土深度有著明顯的尺寸效應，如圖2 所示。

圖1 試驗彈體[28]Fig. 1 Test projectiles[28]

圖2 幾何相似彈體無量綱侵徹深度隨彈徑的變化[28]Fig. 2 Non-dimensional penetration depths of geometrically similar projectiles varying with projectile diameter[28]

Forrestal 等和Frew 等分別開展了彈體直徑為76.2 mm、最大粗骨料粒徑為9.5 mm 的侵徹試驗。通過將試驗數據與文獻[15]中所提出的Forrestal 半經驗公式計算曲線進行對比，發現試驗值均大于按相似律計算得到的結果，即不滿足相似律，如圖3 所示，其中為彈體沖擊速度，ψ 為彈體頭部曲徑比。

圖3 試驗數據[29-30]與Forrestal 公式[15]對比結果Fig. 3 Comparisons of test data[29-30] and Forrestal formula[15]

圖4 Canfield 等[31]侵徹試驗數據Fig. 4 Penetration test data by Canfield, et al[31]

徐建波開展了直徑分別為10 和20 mm 的2 種完全幾何相似彈體侵徹相同砂漿靶（不含粗骨料）的試驗，結果見圖5，可以發現侵徹深度完全滿足相似律，圖中為混凝土的標準立方體抗壓強度。

圖5 徐建波[32]侵徹試驗數據Fig. 5 Penetration test data by Xu Jianbo[32]

此外，為深入探討彈體侵徹混凝土靶體的尺寸效應，Wu 等和彭永等分別建立了三維和二維細觀混凝土有限元模型，模型中保持砂漿強度和骨料粒徑不變，同比例縮放混凝土靶體和彈體尺寸，計算結果表明：在相同沖擊速度下，大直徑彈體的無量綱侵徹深度明顯高于小直徑彈體的。

基于上述對靶體參數一致，僅縮放彈體尺寸的試驗和數值模擬工作、彈體和靶體參數同時縮放的試驗以及幾何相似彈體侵徹砂漿靶體試驗的分析，可以得出，幾何相似彈體侵徹混凝土靶體深度的尺寸效應主要是由于彈體和粗骨料粒徑比值不一致引起的，即粗骨料粒徑未隨彈體尺寸進行同時縮放。采用由小口徑彈體侵徹試驗得到并驗證的半經驗侵徹公式，會高估粗骨料的貢獻，使大口徑彈體侵徹深度預測值明顯低于試驗值，這對防護工程設計偏于危險。如圖2 所示，彈體以450 m/s 速度侵徹C40 混凝土，203.0 mm 直徑彈體的無量綱侵徹深度較10.1 mm 直徑彈體相應值偏大1.86 倍。上述結論也為縮比彈體侵徹試驗中混凝土靶體澆筑時骨料粒徑選取提供了要求和依據。

2 大口徑彈體侵徹試驗及數值模擬分析

考慮到尺寸效應對侵徹深度的影響以及原型侵徹試驗的成本，開展大比尺縮比鉆地彈的侵徹試驗對研究鉆地彈侵徹深度顯得尤為必要。然而，通過對文獻[15-16, 26-30, 32, 35-53] 中389 發侵徹試驗進行總結，直徑大于100 mm 的彈體僅有13 發，且其長徑比（見圖6）普遍小于原型鉆地彈長徑比，相應的混凝土靶體強度標號低于C60。

圖6 試驗彈體[26-27]Fig. 6 Test projectiles[26-27]

因此，本文中針對某原型鉆地彈縮比設計了直徑為100.0、105.0 和203.0 mm 的彈體共計5 發，見圖7，試驗中彈體采用經改裝的制式火炮和自主研發平衡炮進行發射，彈體直徑與炮管內徑一致。靶體為C40 和C100 混凝土，測試得到立方體抗壓強度分別約為40 和100 MPa。3 種尺寸彈體對應的圓柱體靶體尺寸分別為 ? 2 000 mm×1500mm、 ? 2500 mm×2 000 mm 和? 4000 mm×2000 mm。通過在炮口和靶板間放置測速網靶，記錄彈體的發射速度。試驗后對彈體進行回收并測量靶板的破壞情況，結果列于表1。圖8 為試驗布置及試驗后典型的彈靶圖片，可以看出靶體表面為米字形破壞，背面無損傷；彈體僅在頭部發生輕微的磨蝕，整體并未發生明顯變形。

圖7 彈體幾何尺寸（單位：mm）Fig. 7 Geometrical sizes of the projectiles (unit: mm)

圖8 典型的試驗布置及彈靶損傷Fig. 8 Typical test setup, and damaged targets and projectiles

表1 試驗結果Table 1 Test results

彈體侵徹問題的數值模擬中，靶體通常選用Lagrange 算法，其單元尺寸和相應的侵蝕應變對結果影響顯著。下面先基于LS-DYNA 有限元軟件，對表1 中105.0 mm 口徑彈體侵徹C40 混凝土靶體和100.0 mm 口徑彈體以357 m/s 侵徹C100 混凝土靶體的2 發試驗進行數值模擬，確定單元尺寸和相應的侵蝕應變。再通過剩余的3 發試驗數據和文獻[28]中開展的100.0、152.0 和203.0 mm 口徑彈體侵徹C40 混凝土靶體試驗數據，對模型和算法進行充分驗證。

圖9 二維軸對稱有限元模型Fig. 9 Two-dimensional axisymmetric finite element model

基于上述確定的參數，進一步對剩余的3 發試驗和文獻[28]中的試驗進行數值模擬，對比結果如圖10所示。可以看出，預測結果與試驗結果的相對誤差小于9.4%，再次驗證了所確定的混凝土材料模型參數及數值模擬算法的適用性和可靠性。

圖10 數值模擬結果與試驗結果對比Fig. 10 Comparison of the numerical simulation and test results

3 不同速度下典型鉆地彈侵徹深度

3.1 典型鉆地彈參數

本文中主要考慮5 種美軍典型鉆地彈戰斗部：BLU-109B、BLU-113、BLU-122、WDU-43B 和SDB。鑒于戰斗部侵徹混凝土結構時幾乎不發生變形，其內部具體結構和尺寸對侵徹深度結果影響很小，因此，僅將文獻[56-57]中給出的相關參數列于表2，表中為長度，為壁厚，BLU-122 彈頭形狀為雙錐形，半錐角分別為21°和7°。

表2 5 種戰斗部參數Table 2 Parameters of five warheads

3.2 侵徹深度計算公式

現有經典的經驗和半經驗侵徹深度計算公式主要有下列7 種。

(1)美國陸軍工程兵團提出的ACE 公式為：

(2)在ACE 公式的基礎上，美國國家防護研究委員會結合大量試驗數據提出了NDRC 公式：

式中：為彈頭形狀系數，對于平頭、半球、鈍頭和尖頭彈體，分別為0.72、0.84、1.00 和1.14。

(3)Whiffen 公式中以(/)來考慮最大粗骨料粒徑對尺寸效應的影響：

(4)對于半經驗侵徹公式，Forrestal 等提出：

式中：ρ為混凝土密度；為開坑深度，=2基于試驗數據得到；為彈頭形狀系數；ψ =/為彈體頭部曲徑比 ，為彈頭部曲率半徑；為無量綱常數，表示混凝土的抗侵徹性能，由抗壓強度為13.5～ 96.7 MPa的砂漿和混凝土靶侵徹試驗數據擬合得到；為彈體從彈坑開始進入彈道時的速度。(5)進一步考慮彈頭形狀的影響，Chen 等修正的Forrestal 公式為：

式中：=0.707+/，為彈頭長度；為彈頭形狀系數，考慮了尖卵形、錐形、球形、鈍形和平頭。

(6)基于動態空腔膨脹理論，Peng 等提出了一個簡單的統一化侵徹模型，其中靶體阻力項考慮了彈體直徑與最大粗骨料粒徑比值的影響：

式中：為彈體頭部長度。

(7)修正的Rosenberg 公式同樣考慮了彈體直徑和最大粗骨料粒徑對侵徹深度的影響：

式中：ρ為彈體的材料密度。

考慮到表2 中5 種戰斗部均為機/艦載戰斗部，打擊速度約為音速。因此，采用第2 節中驗證的數值模擬算法和模型參數，預測得到了5 種美軍典型戰斗部在100～600 m/s 的侵徹速度下對C40 和C100 混凝土的侵徹深度，見圖11～12。基于第2 節的計算方法，上述計算結果是合理可信的。此外，圖11～12中部分預測結果也得到了原型彈體侵徹試驗的驗證。下面進一步基于預測的結果，對上述6 個經驗和半經驗侵徹深度計算公式的適用性進行評估。

3.3 C40 混凝土侵徹深度

圖11 給出了侵徹速度為100～600 m/s 時由本文方法和侵徹公式得到的5 種典型戰斗部無量綱侵徹深度。可以看出：ACE 公式、Whiffen 公式在所關注的速度范圍內可較好地預測BLU-109B、BLU-113、BLU-122、WDU-43B 等4 種戰斗部的侵徹深度，尤其對于音速附近，即300～400 m/s 時，2 個經驗公式的預測相對誤差最大為?13.7%。NDRC 公式在所關注速度范圍內低估了戰斗部侵徹深度；Peng 公式則在速度接近600 m/s 時對5 種戰斗部的預測結果較好；Forrestal 公式和Chen 公式低估了BLU-109B、BLU-113、BLU-122、WDU-43B 等4 種較大口徑戰斗部的侵徹深度，而對于SDB 戰斗部則預測結果較好。

圖11 C40 混凝土中5 種戰斗部的無量綱侵徹深度Fig. 11 Non-dimensional penetration depths of five warheads into C40 concrete

3.4 C100 混凝土侵徹深度

圖12 C100 混凝土中5 種戰斗部無量綱侵徹深度Fig. 12 Non-dimensional penetration depths of five warheads into C100 concrete

4 鉆地彈對不同強度混凝土的侵徹深度

隨著工程建設技術與材料科學的交互革新，混凝土材料也得到優化升級和快速發展，高強混凝土在防護結構中的應用愈加廣泛。因此，對高強混凝土的抗侵徹性能進行評估顯得尤為重要。

采用由數值模擬方法得到的5 種戰斗部在C40 混凝土中侵徹深度（見圖11）以及考慮侵徹深度隨混凝土強度的衰減規律（見圖13），可進一步預測戰斗部在不同強度等級混凝土中的侵徹深度。圖14 中給出了在所關心的340 m/s 侵徹速度下，采用本文方法預測的5 種戰斗部在C40～C200 混凝土中的侵徹深度。同時，鑒于3.1 和3.2 節中ACE 公式均較好地預測了5 種戰斗部的侵徹深度，圖14 進一步給出了基于ACE 公式中所反映的侵徹深度隨混凝土強度衰減規律得到的預測結果。可以看出，隨著靶體強度的提高，ACE 公式和本文方法預測結果相近，并且對C100 混凝土侵徹深度的預測結果與數值模擬結果吻合較好，最大誤差小于9.0%，驗證了圖13 衰減規律的可靠性。因此，2 種方法均可用于評估高強混凝土的抗侵徹性能。圖11～12 和14 中的預測數據可直接用于確定5 種鉆地彈以不同打擊速度（100～600 m/s）沖擊不同強度混凝土靶體（C40～C200）時的侵徹深度。

圖13 Kq 與之間的關系Fig. 13 Relationship between Kq and

圖14 不同混凝土強度等級下5 種戰斗部的侵徹深度Fig. 14 Penetration depths of five warheads into the concrete of different strengths

5 總 結

采用試驗與數值模擬方法，對美軍5 種典型鉆地彈侵徹混凝土的深度進行了評估，主要工作及結論如下。

(1)通過對幾何相似彈體侵徹相同混凝土靶體試驗和數值模擬、幾何相似彈體侵徹同比縮放混凝土靶體試驗及幾何相似彈體侵徹砂漿靶體試驗進行分析，確定了引起試驗和公式中侵徹深度尺寸效應的主要原因是粗骨料粒徑未隨彈體尺寸進行同比縮放。

(2)考慮到彈體侵徹深度的尺寸效應，開展了5 發大口徑彈體侵徹C40 和C100 混凝土靶體試驗和數值模擬分析，提出并驗證了大口徑彈體侵徹深度的實用化數值模擬方法。

(3) 基于驗證的數值模擬算法和本構模型參數，進一步確定了5 種戰斗部以不同的打擊速度（100～600 m/s）對C40 和C100 混凝土的侵徹深度；通過對7 個經驗和半經驗公式的適用性進行評估，得出ACE 公式預測精度較高。

(4)基于彈體以相同速度沖擊不同強度混凝土靶的試驗數據，確定了彈體侵徹深度隨靶體強度的衰減規律，進一步得到了音速下5 種戰斗部在C40～C200 混凝土中的侵徹深度。

(5) 5 種原型鉆地彈以不同速度打擊不同強度混凝土的侵徹深度計算結果由圖清晰給出，可直接供防護結構設計人員參考。提出的分析方法可推廣應用于其余大口徑鉆地彈侵徹貫穿混凝土靶體分析。