高頻變壓器漏感參數對繞組形變的全局靈敏度分析

陳健， 萬妮娜， 郭昊， 徐溧， 付焱燚， 陳彬*

(1.三峽大學電氣與新能源學院， 宜昌 443002； 2.國網湖北省電力公司宜昌供電公司， 宜昌 443000；3.智能帶電作業技術及裝備(機器人)湖南省重點實驗室， 長沙 410100； 4.帶電巡檢與智能作業技術國網公司實驗室， 長沙 410100； 5.國網湖南省電力有限公司技術技能培訓中心， 長沙 410100)

基于大功率高頻變壓器的磁耦合DC/DC變換器是實現大規模直流源互聯、兆瓦級直流電壓變換的核心設備[1-3]。由于其工作電流較大，當高頻變壓器發生短路故障時繞組電流激增，致使高頻變壓器繞組受力變形。此外，隨著繞組結構發生改變，其空間磁場強度分布也會隨之改變，從而導致高頻變壓器漏感參數發生改變。漏感參數過大將會降低變換器的輸出效率，漏感參數過小則不能實現零電壓開關[4-5]。因此，研究繞組形變對漏感參數的影響，分析其對不同形變種類的靈敏度，對高頻變壓器的可靠穩定運行具有重要意義。

在計算高頻變壓器漏感參數的方法中，有限元仿真可以充分地考慮復雜的繞組結構，對于分析復雜的繞組形變具有很高的精度[6-8]。然而有限元仿真計算效率低且不能給出漏感參數與繞組結構的具體函數形式，難以對其進行全局靈敏度分析。響應面法將數理統計與試驗設計相結合，擬合出設計變量與響應變量之間的函數關系式，是進行靈敏度分析的有效方法，已廣泛應用于各個領域[9-10]。漏感參數對于繞組形變的靈敏度分析包括了局部靈敏度分析和全局靈敏度分析。局部靈敏度主要體現了單個變量對漏感參數的影響，不能體現出各變量之間的交互作用。在全局靈敏度分析中，Sobol’靈敏度分析方法是一種基于方差的蒙特卡羅法，其形式簡單、計算簡便，已廣泛應用于生物、物理、化學等各個領域之中[11-12]。文獻[13]通過對比Sobol’靈敏度分析方法和其它靈敏度分析方法，認為Sobol’法是最有效的靈敏度分析方法之一，其不僅可以考察單個變量對函數的影響，還考慮了各變量之間的相互作用。文獻[14]采用Sobol’靈敏度分析方法分析了高、低壓繞組對地自電容、互電容以及高低壓繞組自感、互感對繞組變形的靈敏度，揭示了各電氣參數與繞組變形種類的內在聯系。

針對高頻變壓器漏感參數對繞組形變的全局靈敏度分析問題，以一臺額定容量為200 kVA，額定工作頻率為10 kHz的高頻變壓器為研究對象，首先通過響應面法、中心復合試驗設計以及有限元仿真構建了漏感參數的二階和三階響應面模型。其次，基于Sobol’靈敏度分析方法和蒙特卡羅抽樣方法，對高頻變壓漏感參數進行靈敏度分析，揭示出不同形變種類對漏感參數的影響關系，為高頻變壓器的結構設計以及繞組形變檢測提供了指導。

1 響應面模型及試驗設計方法

1.1 響應面模型基本理論

響應面法(response surface methodology, RSM)是一種有效的參數靈敏度分析方法，該方法將數理統計與試驗設計相結合，擬合出設計變量(因素)與響應變量(目標值)之間的函數關系式。響應面模型的階數越高，其精度就越高，但表達式則越復雜。基于選定的響應面模型，對指定的設計參數進行試驗設計采樣并獲取樣本值，最后通過最小二乘法確定待定系數，最終得到實際模型的顯式函數。響應面模型可以代替真實模型進行參數靈敏度分析。

二階和三階響應面模型的表達式分別為[14]

(1)

(2)

式中：y(x)為響應變量；xi、xj、xk為設計變量；n為設計變量的數量；a0、ai、aji、aij、aiii、aiij、aijk為待定系數，其個數N與響應面模型階數和設計變量個數n有關。

以三階響應面模型為例，其個數為

(3)

對指定的設計參數進行M次試驗設計采樣，得到樣本值為y′=(y′(1),y′(2),…,y′(M))T，則響應面模型可用矩陣表示為

y′=Φα+ε

(4)

式(4)中：α為待定系數矩陣；ε為誤差矩陣；Φ為樣本點設計參數數據矩陣，可表示為[15]

(5)

通常采用最小二乘法來估計回歸系數的值，因此待定系數α可以通過最小二乘法擬合得到，即

α=(ΦTΦ)-1(ΦTy′)

(6)

1.2 CCD試驗設計

采樣點的選取直接決定了響應面模型的擬合精度，因此需要通過試驗設計生成合理的采樣點。響應面分析的試驗設計方法中，中心復合設計(central composite design, CCD)和Box-Behnken設計(Box-Behnken design, BBD)是最為經典的試驗設計方法，此外還可以采用二次飽和設計、均勻設計、田口設計等方法。目前，CCD是運用最為廣泛的試驗設計方法，原因在于：①通過恰當地選擇軸點坐標，可以使CCD為可旋轉設計，從而可以在各個方向上提供同等精度的估計；②通過恰當地選擇CCD試驗設計的中心試驗次數，可以使CCD是正交的或者是一致精度的設計，進而確定最優點位置[16]。因此，選擇CCD試驗設計方法確定繞組形變變量對漏感參數影響的試驗方案。

CCD試驗設計的二維和三維分布如圖1所示，其中，1為設計變量的上水平，-1為設計變量的下水平。此外，由于軸向點a值的存在，使CCD獲得最優解過程的搜索范圍較BBD獲得的搜索范圍更廣[17]。

Z1、Z2、Z3為三維坐標軸的坐標名稱

1.3 響應面模型誤差分析

由于通過試驗設計確定的樣本點的分布具有隨機性，且少量樣本不能完全代表全局變量。為了驗證響應面模型是否具有足夠的精確性和魯棒性，借助式(7)計算擬合優度指標R2，對響應面模型進行精度分析。擬合優度指標系數越接近于1，則響應面模型的精度越高、擬合誤差越小。

(7)

(8)

(9)

基于上述分析，響應面建模流程如圖2所示，其中要求擬合優度指標大于0.99，擬合最大相對誤差不大于1%。

圖2 響應面模型建立流程

2 高頻變壓器模型及響應面模型的建立

2.1 高頻變壓器模型幾何參數

所研究的高頻變壓器額定容量為200 kVA，額定工作頻率為10 kHz，原、副邊繞組額定電壓為1 kV。高頻變壓器結構示意圖如圖3所示，樣機實物如圖4所示，具體參數如表1所示。原邊繞組和副邊繞組的層數均為1層，每層繞組包含有7匝方形利茲線。利茲線的尺寸為11.35 mm×11.35 mm，股數為2 128股，單股直徑為0.2 mm，絞合方式為同心絞。

表1 高頻變壓器模型主要參數

r1為副邊繞組內半徑為；r2為原邊繞組內半徑；v1為副邊繞組匝間距離；v2為原邊繞組匝間距離

2 128為所使用的變壓器繞組每匝利茲線導體的總股數，采用的利茲線為方形利茲線，19和112表示方形利茲線共包含19個子束、每個子束由112股絕緣細導線組成

采用ANSYS/Maxwell電磁場分析軟件建立了高頻變壓器二維仿真模型。高頻變壓器繞組導體為利茲線，其單股直徑小、股數多、絞合結構復雜。

為了降低建模難度、減少仿真時間同時保證計算精度，引入填充系數將利茲線等效為等面積的方形導體，等效后方形導體電導率seff=1.85×107S/m[18]。

由于變壓器鐵心窗口內外漏磁場的分布存在一些差異，為了更加精確地計算變壓器鐵心內外漏磁能量。將圖3所示的變壓器模型總的漏磁能量劃分為鐵心內部和鐵心外部。圖5給出了未發生繞組形變時，高頻變壓器的磁場強度和電流密度分布。

圖5 磁場強度和電流密度分布

根據上述仿真計算獲取的單位長度的漏磁能量，高頻變壓器的漏感參數的計算公式為

Lσ=2(WinMLTin+WoutMLTout)/I2

(10)

式(10)中：Lσ為漏感參數；Win、Wout分別為鐵心內部區域和外部區域的單位長度的漏磁能量；MLTin、MLTout分別為鐵心內部區域和外部區域的平均匝長；I為電流有效值。

當高頻變壓器繞組發生形變后，空間中的磁場強度分布將發生改變，高頻變壓器漏感參數也會隨之改變，因此將建立高頻變壓器漏感參數的響應面模型。在高頻變壓器發生短路故障時，繞組會受到較大的徑向和軸向電磁力作用，徑向力使副邊繞組內徑縮短、原邊繞組內徑增加，軸向力使兩繞組高度縮短[19]。因此，選取副邊繞組內半徑r1、原邊繞組內半徑r2、副邊繞組匝間距離v1、原邊繞組匝間距離v2作為響應面模型的輸入變量。為了便于對各種形變類型進行定量分析，將整個繞組的形變程度分別量化為輸入變量的不同取值。各輸入變量的取值范圍由變壓器模型的實際幾何尺寸和形變程度確定，如表2所示。

表2 輸入變量取值范圍

2.2 建立響應面模型

考慮到響應面模型的計算精度和復雜程度，選擇二階響應面模型作為初始模型，并通過有限元仿真對CCD試驗設計獲得的25個樣本點數據進行仿真分析，得到樣本值，進一步得到響應面模型并校驗該模型的擬合度，結果如表3所示。

由表3可知，二階響應面模型的擬合優度指標及最大誤差均不滿足精度要求，因此將響應面模型階數進一步增加到三階、中心點試驗重復次數設置為16，此時采樣點數增加到40個(表3)，此時擬合優度指標及擬合精度均滿足要求。高頻變壓器漏感參數隨繞組形變的響應面模型為

表3 響應面模型擬合度及誤差分析

(11)

2.3 響應面模型精度分析

為了更直觀地體現出響應面模型在整個取值范圍內的擬合效果，假定只有其中一個輸入參數發生變化，并在輸入變量取值范圍區間內隨機取值，通過參數化有限元仿真得到漏感參數的仿真值和響應面模型計算值隨該變量變化的曲線，如圖6所示。可以看出：①以參數化有限元仿真結果為參照，三階響應面模型的計算精度高于二階響應面模型，其最大誤差分別為0.26%、0.36%、0.32%和 0.17%；②實際中，副邊繞組受到的是向內壓縮的徑向力和軸向壓力，而原邊繞組是受到向外擴張的徑向力和軸向壓力，繞組產生相應變形后都會使高頻變壓器的漏感參數增大，這將影響高頻變壓器兩端變換器的輸出效率；③在這4種類型的繞組形變中，原邊繞組發生徑向形變時，對高頻變壓器的漏感參數的影響最大。

圖6 響應面模型擬合精度對比

3 全局靈敏度分析

3.1 Sobol’法基本原理

基于上述分析得到的三階響應面模型，選擇采用Sobol’法對其進行全局靈敏度分析。該方法是一種基于方差的蒙特卡洛法[20]，其核心思想是：在輸入變量域In={x|0≤xi≤1;i=1,2,…,n}內，將函數f(x)分解成2n項之和，如式(12)所示，再通過隨機采樣計算函數f(x)的總方差及各分項的偏方差，進而計算出響應面模型的靈敏度系數。

(12)

式(13)中：f0為常數項；fi(xi)和fi,j(xi,xj)分別為一元函數子項和二元函數子項。各子項對其所包含任意一變量的積分為零，可表示為

(13)

式(13)中：fi1,i2,…,is(xi1,xi2,…,xis)為is元函數子項；xk為is元函數子項的其中一個變量，s=1,2,…,n。

由式(12)、式(13)可知，式(12)中的所有子項之間都是正交的，即

(14)

因此函數f(x)的各子項通過多重積分計算得到，可表示為

(15)

(16)

fij(xi,xj)=-f0-fi(xi)-fj(xj)+

(17)

同理，即可求得函數f(x)的其他高階項。將式(12)兩邊平方并在整個變量域In內積分得

(18)

函數f(x)的總方差D為

(19)

s階偏方差為

(20)

由式(18)～式(20)可得

(21)

因此，函數f(x)的全局靈敏度系數可表示為

Si1,i2,…,is=Di1,i2,…,is/D

(22)

Sobol’法的一階靈敏度系數反映的是單個變量發生變化時，對函數f(x)輸出結果產生的影響；而全局靈敏度不但反映了單個變量發生變化時產生的影響，還考慮了各個變量交互作用后對函數f(x)輸出結果的影響。若某變量靈敏度系數越接近于1，則表示函數f(x)對該變量的靈敏度越高。

3.2 全局靈敏度分析結果

基于上述得到的三階響應面模型，將響應面模型與Sobol’全局靈敏分析方法相結合，在表2的基礎上，利用蒙特卡羅法抽樣方法對各個變量進行隨機采樣。分別從0～3 000范圍取了17個不同數量的采樣點。結果表明：對于一階靈敏度系數，當采樣點個數2 500時，結果基本趨于穩定；對于全局靈敏度系數，當采樣點個數達到超過600時，結果基本趨于穩定，如圖7、圖8所示。

圖7 一階靈敏度系數

圖8 全局靈敏度系數

因此為了分析結果的正確性和合理性，選擇在各變量的取值范圍內，采用蒙特卡羅抽樣方法對各參數進行隨機采樣，采樣點個數為3 000，計算得到各采樣點的漏感參數大小，最后利用Sobol’法計算各變量的一階靈敏度系數、全局靈敏度系數以及各變量的貢獻度，計算結果如表4所示。

表4 靈敏度分析結果

為了更加直觀地說明各變量變化對高頻變壓器漏感參數的影響程度，繪制了各變量的靈敏度系數柱狀圖和貢獻度餅狀圖分別如圖9、圖10所示。

圖9 各參數的一階靈敏度和全局靈敏度

圖10 各參數的貢獻度

分析可知，高頻變壓器漏感參數對4個輸入變量的靈敏度不同，且差異較大。其中該參數對原邊繞組內半徑r2的靈敏度最高，為0.696 3；其次是副邊繞組內半徑r1，其靈敏度為0.163 5；而對副邊繞組匝間距離v1和原邊繞組匝間距離v2的靈敏度較低，分別為0.107 7和0.102 6。分析結果可知：①繞組發生徑向形變對高頻變壓器漏感參數產生的影響比縱向形變大；②高頻變壓器漏感參數對原邊繞組徑向形變最靈敏。

綜上所述，應用Sobol’法計算可以得到不同形變類型對漏感參數影響程度的定量結果，且同時考慮了繞組發生復雜形變時各變量間交互作用對漏感參數的影響。此外，由分析計算結果可知，原邊繞組徑向形變對高頻變壓器漏感參數的影響最大，且遠高于其他類型的形變。因此，在對高頻變壓器進行結構設計時，應重點關注原邊繞組的徑向穩定性。同時，可將漏感參數引入繞組形變的檢測判據中，為高頻變壓器的形變檢測提供依據。

4 結論

結合響應面法和Sobol’靈敏度分析算法，分析了高頻變壓器漏感參數對不同繞組形變種類的靈敏度，得出如下結論。

(1)基于響應面法、CCD試驗設計以及有限元仿真，構建了高頻變壓器漏感參數的二階和三階響應面模型，并證明三階響應面模型的計算精度高于二階響應面模型，其最大誤差分別為0.26%、0.36%、0.32%和 0.17%。

(2)利用Sobol’靈敏度分析算法和蒙特卡羅抽樣方法，分析了各輸入變量的一階靈敏度系數、全局靈敏度系數以及各變量的貢獻度。其中漏感參數對原邊繞組發生徑向形變最為敏感，其一階靈敏度為0.659 1、全局靈敏度為0.696 3、貢獻度為65.0%。

(3)通過上述分析證明了漏感參數與繞組形變類型的內在關系，為高頻變壓器的繞組結構設計提供了指導，同時也進一步為繞組形變的檢測提供的理論依據和新思路。