疫情下考慮疲勞度的可變服務率排隊模型

盧宜玲，李軍祥，齊緣

（上海理工大學 管理學院，上海 200093）

2020 年2 月11 日，世界衛生組織（WHO）正式將造成肺炎疫情的新型冠狀病毒命名為COVID-2019[1]。截至2021 年9 月23 日，全球累計確診病例達22 937 萬人，中國達124 232 人[2]。以中國為例，在疫情爆發達到峰值時，醫生的感染占比達到所有確診患者的2%，并發生多起因醫生堅守工作崗位而疲勞猝死的事件。同時，全球多個國家與地區爆發疫情，造成全球性醫療資源短缺。因此，在公共突發的大規模應急醫療中，為了最大程度地提高患者的救治率，實現科學的醫生資源分配，協同實施快速有效的救治任務顯得尤為重要。

目前，應急醫療資源配置引起了國內外研究者的廣泛關注，比如，Belciug等[3]將排隊系統、分區模型和基于進化的優化方法整合在同一框架下，對醫院科室資源配置進行復雜分析，探討輸入參數的系統性變化對排隊系統的結果和資源利用的影響。Cochran等[4]推導出一個開放排隊網絡模型的急診科設計，實時地用等待時間和溢出概率作為服務質量目標來衡量區域的大小，旨在提高急診室的效率。以上研究主要考慮外界因素對整體服務流程效率的影響，探究疲勞度對醫生的服務效率產生的影響?，F有的醫生疲勞度相關研究中，學者們大多采用主觀分析法（如問卷調查法和定量打分法）進行研究，但這些方法的科學性和嚴謹性存在一定的不足之處。比如，殷雪蓮等[5]采用疲勞評定量表對急診醫生的疲勞情況進行評分，得出資源的優化及合適的培養模式可能是降低醫生疲勞度的有效策略。

疫情期間，醫患矛盾更加突出，這也可能是導致醫生疲勞度增加的一個重要因素。但實際研究中，很少有學者在研究醫生疲勞度的同時，綜合考慮系統中排隊的患者，大量文獻僅限于單獨運用排隊論、生滅過程、馬爾可夫鏈相關的知識來研究排隊系統中各項指標并進行優化。例如，周臻等[6]用排隊論模型計算消化科普通門診患者排隊系統中的各項運行指標，并提出合理的配置方案。

本文將急診科醫生作為研究對象，通過分析疫情下影響急診醫生疲勞度的內外疲勞因子，建立可靠的降低急診醫生疲勞度的數學模型，將主觀式的疲勞度進行定量化分析，并利用熵權-模糊層次分析法計算各疲勞因子對醫生疲勞度的影響權重。其次，運用排隊論相關知識將離散穩態的醫生服務速率根據醫生的工作時間長度分段設置成可變值，建立了多服務臺、服務率可變且考慮醫生座席輪休制度的患者排隊系統生滅模型。最后，建立醫生疲勞度與患者排隊模型之間的聯系，探究急診醫生的最優工作時間段長度。同時，滿足醫生疲勞度最小化和患者的滿意度最大化，實現國家突發公共衛生事件一級響應期間醫生和患者之間的雙方互利。由于現實系統的復雜性及其本身的隨機性，需要使用仿真方法來對系統進行研究。因此，借助ProModel 這一靈活、可靠的離散事件仿真軟件，將醫院面臨的諸多排隊問題可視化，從而對其進行有效合理的分析。

1 影響醫生疲勞度的內外因子

1.1 問題描述

在系統中考慮復雜多變的內外疲勞因子對醫生疲勞度的影響情況，針對不同影響因子制定相應緩解疲勞度的方法。以1 個工作日為單位，研究多名急診醫生1 d 中各疲勞因子的累計值。因醫生在工作間隙需休息調整，設ai為第i次工作(i=1,2,···,Φ)，Φ為醫生工作次數的最大值。Ti為第i次工作中的工作持續時間。bi為第i次休息，休息時長為。急診醫生的疲勞度與其工作時間成正比例關系，假設當總工作時間超過T時，其服務速率將發生變化，將以一個降低的速率進行服務，從而用生滅過程分析在多服務臺可變服務速率的條件下患者的排隊情況。系統要求根據患者需求和實時情況制定合理的醫生排班計劃，降低醫生疲勞度的同時最大化患者的滿意度。

1.2 疲勞因子

調查研究顯示由于疫情的特殊性，醫務工作者出于治病救人的心理特征會忽視更多外在的影響因素，但自身無法控制的因素會直接影響醫生的疲勞狀況。文獻[6]根據美國精神行為科學研究室的疲勞評定量表，結合醫生職業的情況得到醫生的疲勞評定量表排序，選取4 個重要的影響因子進行詳細分析。為了準確地體現各項指標對于醫生疲勞度的影響程度，采用熵權-模糊層次分析法確定各個指標的相對權重。

1.2.1 內疲勞因子

a.年齡。有研究表明疲勞度與年齡有關，例如：尹紹雅等[7]通過單因素方差及多因素Logistic 回歸分析的方法得出結論：年齡大、從業年限長的醫生更容易出現疲勞現象。據統計，40 歲以上的醫生發生疲勞的概率高達64.3%，明顯超過40 歲以下的醫生[8]。工作年限高的醫生在作業疲勞因子的怠倦感和視覺疲勞感上明顯高于工作年限低的醫生。

在考慮年齡對疲勞度的影響情況時，假設醫生的年齡和從業年限成正比。在應急就診過程中，精神高度緊張引起的精神疲勞會影響醫生的工作效率。40 歲以下的年輕醫生單位時間引起的精神疲勞度值為 υ，40 歲以上的年長醫生單位時間引起的精神疲勞度值為 υ′，且υ ＜υ′。醫生因年齡因素產生的疲勞度累計值設為L1，通過兩類年齡段醫生人數分別與ai次工作所有工作時段的疲勞值進行求和來表示，即

式中：cr為年輕醫生人數；co為年長醫生人數。

為了綜合減少疲勞度，在配置醫生比例上要遵從年輕和年長醫生人數的均衡搭配，設 Δ1為配置比例系數，以保證兩類年齡層級醫生在精神層面和經驗層面的互補，即

b.性格特征。醫生不同的性格特征對疲勞度的感受是不一樣的，艾森克用因素分析法提出了神經質、內-外傾性以及精神質三維性格特征的理論[9]。根據內-外傾性理論對醫生的性格特征進行分類，假設內傾性格的醫生數量為cq，在正常條件下，他們的大腦皮層已具有高度的興奮水平，其單位時間引起的疲勞度值為 σ，如果進一步提高他們的興奮水平，那么會增加他們的疲勞效果k1。外傾性格的醫生數量為cp，正常條件下，單位時間內他們大腦皮層興奮水平所引起的疲勞度值 φ相對較低，若提高他們的興奮水平，相反會減少他們的疲勞效果k2。醫生因性格差異所產生的疲勞累計值L2通過兩類性格的醫生人數分別與ai次工作所有工作時段的疲勞值進行求和來表示，即

為了減少醫生的疲勞度，以避免內傾性格的醫生之間進行搭配工作，在實際人員排班中應實行性格互補原則，設 Δ2為配置比例系數，即

1.2.2 外疲勞因子

a.工作壓力。醫院復雜的環境因素會直接影響醫生的疲勞感。急診科醫生在疫情爆發階段，每天需接待成百上千的疑似患者，首先，暴露在嘈雜的物理環境中而導致人體產生的單位急性疲勞值為m1。其次，醫院中仍存在生化有害因子及傳染性病毒，導致醫生產生的單位生化疲勞值為m2[10]。最后，有研究表明[11]，在遇到眾多重癥患者時，醫生精神高度緊張，心理壓力加重，導致其因心理能量耗竭而出現疲勞，醫生因此產生的單位心理壓力疲勞值為m3。以上工作壓力是客觀存在并難以輕易消除的。為了緩解醫生在緊急環境下的工作壓力與疲勞，國家政府單位及醫院管理者頒布和制定了對醫生的相關激勵政策，其所能緩解的單位疲勞效果值設為 ?。醫生因工作壓力影響的疲勞度累計值為L3，通過醫生數量c在ai次工作所有工作時段產生的3 種單位疲勞值與緩解單位疲勞效果值的累差進行求和來表示，即

b.休息制度。休息制度的科學性會影響醫生疲勞狀態。假設以1 個工作日為單位，將醫生一天的工作負荷L4作為評估值，用累計工作階段的疲勞值減去工作間隙休息所減輕的疲勞值，即

式中：c為醫生數量；α為醫生的工作疲勞度權重系數；γ為醫生休息效果的權重系數；A為醫生工作期間疲勞度累積值；B為醫生休息效果的累積值，即

另外，考慮疲勞現象引起惡化效應[12]的現實因素，必須設定一個醫生服務時間的上界Timax，避免患者開始時間較晚或排隊位置靠后導致實際醫生服務時間趨向無窮，即

1.2.3 其他疲勞因子

除了以上分析的4 個內外疲勞因子，醫生的工作疲勞狀況還與一些可控的因素有關，比如：所處崗位及職稱、所承擔的責任大小、工資水平、家庭負擔及支持度、同事之間的相處模式等[13]。假設將以上的s個疲勞因子作為一個整體考慮，每個因子在每次工作時間段的單位時間內產生的疲勞值為Q?(?=1,2,···,s-4)，則各疲勞因子1 個工作日的累計值為L5，通過其他疲勞因子（除上述已分析的4 個以外）與ai次工作所有工作時段的疲勞值進行求和來表示，即

1.3 熵權-模糊層次分析法計算指標權重

在模型研究中，醫生的疲勞度是復雜的多因子系統，模糊性較強，采用傳統的方法進行描述顯得主觀性太強。因此，運用層次分析法結合模糊矩陣[14]的相關性質和理論來計算各內外疲勞影響因子的權重（如圖1 所示），并用熵對準則層的指標權重進行修正。此方法將主觀權重和客觀權重結合使用，不僅可以解決不能夠準確反映指標的模糊性和不確定性等問題，還可以有效減少主觀因素對評價結果的影響，使得評價具有良好的實用效果和可靠性。

圖1 疲勞因子層次結構模型Fig.1 Hierarchical structure model of fatigue factor

1.3.1 構建優先關系矩陣

在構造的層次模型中，因素間的兩兩比較判斷采用對比一個因素比另一個因素的重要程度來定量表示，則得到模糊判斷矩陣E=(uvw)x×x，v,w=1,2,···,x分別表示不同的疲勞因子。利用0.1～0.9標度法給予數量標度，如表1 所示，并使用判斷矩陣，兩兩比較各因素的相對重要程度。

表1 模糊標度及含義Tab.1 Fuzzy scale and its meaning

1.3.2 構建模糊一致矩陣

1.3.3 利用公式求出各疲勞因子的權重

因為E=(uvw)x×x是一個模糊互補判斷矩陣，W=(e1,e2,···,ex)T是E的權重向量，則W滿足

1.3.4 熵權法修正疲勞因子權重

步驟1通過標準化處理后的評價矩陣J=(jvw)x×x計算評價疲勞因子權重的信息熵yv：

步驟2計算疲勞因子v的偏差指數gv：

步驟3利用偏差指數對所求權重進行修正：

綜上，急診科全體醫生1 個工作日中各疲勞因子累計值為

式中，W*=表示修正后的權重向量。

每次工作時間段的平均每時刻疲勞值為

2 考慮疲勞度的可變服務率排隊策略

2.1 排隊系統規則

排隊論是在研究各種排隊系統概率規律性的基礎上，解決相應排隊系統最優設計和最優控制的問題。一般排隊系統都有輸入過程、服務規則和服務臺3 個組成部分[15]。本文結合排隊論的相關知識建立針對新型冠狀病毒患者的急診排隊模型，將每個急診醫生服務點假設為一個服務臺。該模型可描述多服務臺排隊系統，按照排隊論的3 個組成部分進行合理的仿真，如圖2 所示。

圖2 排隊流程圖Fig.2 Flow chart of queuing

2.1.1 輸入來源

輸入來源指新型冠病毒疑似患者到達急診服務臺時的規律。對于每一個時段，患者到達急診服務臺的時間間隔可能是隨機的，可以近似地假設各類患者的到達時間間隔均服從參數為 λ的負指數分布[16]。

2.1.2 患者排隊規則

新型冠狀病毒的疑似患者到達急診服務臺后，一般情況應服從先到先服務（first come first serve）的排隊規則，以免不公平或插隊現象造成不必要的醫患糾紛。但是，由于急診的特殊性，對新冠病毒病癥嚴重的患者實行非強占優先權服務（non-preemptive priorities）[17]，即指當一個重癥患者到達時，也需等醫生正在服務的患者服務結束后，方可接受服務。

2.1.3 醫生服務機構

服務機構指急診服務臺，體現為患者提供服務的數量及規律和每位急診醫生的服務時間及速率。考慮現實情形建立多服務臺并聯式服務，即給定的c個急診服務臺（每個服務臺一位醫生進行工作，即服務臺數量等同于醫生數量）同時為不同患者提供服務，且服務臺每次工作時僅服務1 位患者，每位患者不可重復就診，則設XIΓ為0-1 約束變量，若患者I在服務臺 Γ就診則為1，否則為0，即

式中，c+?為系統可容納最大負載量。

2.2 排隊系統模型建立

在診治患者的過程中，可根據當前的醫生工作時間改變其平均服務強度。當醫生總工作時間未超過T，且此時系統中的患者人數小于c+n時（為了方便后續計算，此時系統總患者閾值用c+n表示），醫生的服務速率為 μ1（表示單位時間診治人數均值），ρ1為患者在快診治速率下的診治強度；反之，醫生的服務速率 μ2因產生疲勞而有所降低，設 ρ2為患者在慢診治速率下的診治強度，其中μ1＞μ2，即

b.因醫生需要輪休，假設每次僅一位醫生進行休息，則

圖3 多服務臺可變服務速率排隊模型流程圖Fig.3 Flow chart of variable service rate queuing model for multiple service stations

當系統中患者人數超過服務臺人數后開始考慮多服務臺輪休制度，其中ι=1,2,···分別表示在系統中狀態時醫生服務臺的服務數量。

對上述情形采用生滅過程進行建模，尋找穩態水平是生滅過程建模的重要問題，現給出生滅過程穩態條件的定理及證明。

定理若ρ1=λ/μ1，ρ2=λ/μ2，且ρi＜1(i=1,2)，即系統是穩定的，則存在服務率可變的排隊系統的穩態分布：

證明由生滅過程平衡狀態的K 氏代數方程[18]（輸入率等于輸出率）得：

利用以上求得的運行指標，根據Little 公式[19]推出，患者等待時間為

在疫情期間，患者對醫生的服務滿意度并不是剛性的，此時等待時間則變成決定患者滿意度的重要因素。類似文獻[20]，假定患者滿意度是其等待時間的指數函數：

式中：S為患者的滿意度；β(β ≥0)為患者滿意度對等待時間的影響系數。由式（19）可知，患者的等待時間越長，則患者的滿意度越低。

充分考慮醫生和患者雙方的需求，以其為出發點，優化目標為急診醫生疲勞度最小化和患者滿意度最大化，則

相關文獻研究表明[21]，對于多目標問題，一般轉換為單目標進行優化。在轉換時，因2 個參數指標的單位不同，故對二者進行無量綱處理，使最小，S最大，得到如下多目標聯合優化模型：

3 ProModel 仿真

3.1 模型仿真步驟

對考慮疲勞度的可變服務速率排隊模型進行仿真優化求解有以下兩個難點：其一，由于考慮醫生疲勞度的模型具有抽象性、動態性等問題，采用一般的優化算法不易求解；其二，基于生滅排隊過程分析有多個運行指標需要經過大量的數據處理，運用現代啟發式優化算法反復迭代不僅復雜，且難以考慮其他因素對各運行指標的影響。

借助ProModel 這個模擬離散系統的仿真軟件，將整個研究過程可視化，并分類整合各運行數據，其時間分辨率可達0.000 1～36 s[22]，可高效和精確地對模型進行求解。具體運行流程如圖4所示。仿真實驗根據現實的場景進行，將實驗組與對照組進行對比分析，實驗組僅增加考慮急診醫生在工作中的內外疲勞因子的影響因素，使服務效率發生變化，其余變量與對照組保持一致，從而判斷緩解醫生的疲勞度是否對減少患者等待時間和提高滿意度有一定的影響。

圖4 模型仿真步驟流程圖Fig.4 Flow chart of model simulation step

3.2 仿真模塊分析

3.2.1 Location（位置）

Location 主要用來表示在醫院對患者進行排隊等待的固定地點或場所、相應的容量及單元數，并設置時間序列（time series）收集基本的數據和追蹤位置的時間序列值，定義位置的優先等級及排隊規則，如表2 所示。

表2 位置界面Tab.2 Location interface

3.2.2 Entities（實體）/Arrivals（到達）

Entities 是仿真要服務的對象，本文指醫院中就診的患者。Arrivals 指新患者進入仿真系統，如表3 所示。表中，P(2)表示患者的到達服從λ=2 的泊松分布。

表3 實體/到達界面Tab.3 Entities/Arrivals interface

3.2.3 Resources（資源）

Resources 是指醫生，一般在位置之間移動并且按照路徑網絡設置的路線運動。仿真配置比例系數 Δ1和 Δ2均為1。資源模塊主要包括詳細參數設置，如醫生分配路徑網絡、醫生速度、服務每個患者的時間。收集統計資源中所有單元的平均利用時間和活動時間。設置每個醫生座席停工時間，考慮模型的可實現性，假設各服務臺醫生每次工作時長近似相等。由于輪休、初始和末尾工作階段時長之和近似相等，依舊取其均值進行分析，休息、輪班如圖5 所示。其中，停工時間設置每個座席停工時間的優先級（包括進入及保持休息的優先等級），目的是為了保證醫生在預設的休息時間結束之前回到座席，運用邏輯節點來定義醫生進入或者離開某個節點的邏輯動作。

圖5 醫生座席輪休圖Fig.5 Rotation of doctors' seats

3.2.4 Processing（處理）

Processing 定義了患者在仿真運行中的路由，也定義了患者進入每個位置上的作業內容。設置各個患者和醫生之間的邏輯關系，通過使用系統函數及數學語句實現醫生的疲勞度約束，利用處理編輯表為系統中每個位置的患者創建操作邏輯及移動邏輯來實現模型約束。

3.3 模糊層次分析法計算各疲勞因子權重

賦值v,w=1,2,3,4,5分別表示年齡特征、性格特征、工作壓力、休息制度、其他疲勞因子。通過相關文獻研究得到各數量標度即疲勞度的相關性系數[13]，得到相關性分析結果，如表4 所示。

表4 相關性分析結果Tab.4 Results of correlation analysis

在計算內外疲勞因子對醫生疲勞度的影響權重過程中，通過式（10）驗證唯一靠人的主觀而給出的模糊互補判斷矩陣已通過一致性檢驗。根據式（11）及熵權法修正權重步驟1～3 計算得出內外疲勞因子對醫生疲勞度的影響權重如表5 所示。

表5 熵權修正后的疲勞因子權重Tab.5 Entropy-weighted corrected fatigue factor weights

在內疲勞因子仿真中分別探析不同年齡和性格醫生的各服務指標，從而創建多條路由，其權重用在選擇路由目標的規則（Rules）模塊中。外疲勞因子各種類醫生均受用，因此不分別討論，其權重用在資源（Resources）模塊的路徑網絡中。熵權-模糊層次分析法所得權重更加細化了仿真的約束條件，增加了仿真結果的精確度。

4 數值分析

優化模型中 ?的取值對P產生影響，不同的 ?可能出現不同的評價結果。由文獻[23]中醫生和患者的演化博弈模型結論得出：在考慮醫生的疲勞度和患者的滿意度處于1∶1 均衡時，預期可達到均衡。因此，在仿真實驗中將 ?取0.5 的固定系數進行求解分析，對二者賦予同等權重。

根據上述仿真輸出結果，可作如下分析：由表6 仿真結果可知，考慮醫生疲勞度的醫生服務模型中，其實際總工作時間明顯降低，控制在8.68 h。與此同時，各項服務指標也發生了變化，傳統醫生服務模型的隊列阻塞率高達57.69%，醫生門診座席的平均空閑率達49.23%。由此，可初步判定，隊列如果長期處于擁堵的狀態，并且門診座席的利用率不高，將造成時間成本和人力成本的浪費。由人因工程學相關經驗，人員工作空閑率一般控制在15%～25%。在考慮醫生疲勞度的醫生服務模型中，隊列阻塞率下降了22.2%，且座席的平均空閑率降低了22.99%，醫生服務率提高了27.54%，總體的利用率達到了優化的效果。

表6 仿真結果Tab.6 Simulation results

如圖6 所示，在考慮醫生疲勞度的模型中，分別研究不同性格、年齡醫生的座席利用率。優化后的各座席利用率明顯高于不考慮醫生疲勞度的座席利用率。由此可見，若醫生產生一定的疲勞度，對其座席的利用率是有一定影響的。其中，外向年長的醫生座席利用率一直處于較高的水平，說明該種類的醫生臨床經驗豐富，心理素質較強，在面對高強度工作時能保持最佳的狀態。相反，內向年長醫生在降低其疲勞度之后，依然有2 個時間段的座席利用率低于優化前，說明在面對高壓高強度的緊急事件時，內向年長的醫生可能會有更高的心理壓力，導致其座席利用率不高。年輕醫生的座席利用率的增速明顯較快，因經驗不足，在適應一段時間后，接受新鮮事物能力較強。因此，在抗疫期間，年輕醫生成為了不可或缺的主力軍。

圖6 醫生座席利用率對比圖Fig.6 Comparison chart of doctors' seat utilization

如圖7 所示，對模型優化前后各醫生座席的服務效率進行對比分析。不考慮醫生疲勞度的座席服務效率呈下降的趨勢，說明醫生的疲勞狀況會影響其服務效率。在考慮了醫生疲勞因素后，對年輕醫生的服務效率有明顯的改善作用，說明本文提出的科學輪休制度等相關方法對改善年輕醫生的身體和心理具有一定的幫助。而年長醫生的服務效率均在一定范圍內進行波動，沒有明顯的下降趨勢。因此，醫生疲勞度的降低對各醫生座席的服務效率均有正向影響。

圖7 醫生服務效率對比圖Fig.7 Comparison chart of doctors' service efficiency

如圖8 所示，可以得出兩點結論：其一，由于重癥疑似患者到達隊列時，有非強制優先權，因此重癥疑似患者的輸出率均大于普通疑似患者，從而保證了高效篩選和檢查重癥患者；其二，在考慮醫生疲勞度的模型里，其患者輸出率均大于不考慮醫生疲勞度模型的患者輸出率，換言之，降低醫生單位時間內的疲勞度后對患者的輸出率有正向影響作用。

圖8 疑似患者輸出率對比圖Fig.8 Comparison of output rates of suspected patients

圖9 描述的是患者等待時間及患者滿意度的一個雙坐標軸圖。無論是在疫情期間還是日常就診，患者的等待時間是評價患者滿意度的一個重要指標。尤其在此次新型冠狀病毒疫情期間，感染者人數眾多，時間尤為緊急，這嚴重影響了患者的滿意度?？紤]醫生疲勞度的優化模型，患者的等待時間明顯低于傳統模型，這說明通過對醫生座席的合理調度和患者排隊的科學安排，能夠有效提高患者的滿意度。

圖9 患者等待時間和滿意度對比圖Fig.9 Comparison of patients' waiting time and satisfaction

5 結論

降低醫生的疲勞度不能僅從政策福利的角度來進行，還需要考慮醫生自身的基本屬性。本文考慮醫生內外疲勞度影響因子，分析疫情下如何將醫生疲勞度和患者的滿意度達到一種動態平衡，優化醫患雙方利益。內外并進地對醫生進行合理搭配排班，科學制定休息時間，加強對醫生的政策保障，是緩解醫生的疲勞度和提高醫療服務工作的重要因素。其優化結果對緊急突發事件中合理調整醫生的日工作量、工作密度、最大負載，以及合理安排休息時間、改善工作條件等提供了科學依據。本文使用ProModel 仿真軟件，通過對實例進行仿真分析，說明了仿真方法對于研究問題的有效性。作為對數學建模及求解方法的一個補充，運用理論方法考慮醫生疲勞度對服務效率的影響具有局限性，仿真研究可以使優化方法更適合現實場景的應用，具有很強的理論及現實意義。