矩陣線性互補問題誤差界的新估計式

趙 英 霞 王 峰

（貴州民族大學數據科學與信息工程學院，貴州 貴陽 550025）

1 引言

M-矩陣是應用廣泛的一類重要矩陣，與許多學科領域有著密切的關聯，經濟學、生物學及社會科學中有大量問題和M-矩陣有著必不可少的聯系. 且嚴格對角占優M-矩陣A的逆矩陣的‖A-1‖∞上界估計在數值代數中有著重要的應用，在代數方程組的收斂性條件及條件數需計算‖A-1‖∞，可當M-矩陣的階較大時，其逆矩陣求解復雜，因此對‖A-1‖∞上界進行估計是十分重要的.近年來，許多學者對M-矩陣的逆矩陣的無窮大范數上界進行了估計，得到了很多好的結果［1-12］.另外，特殊結構矩陣線性互補問題是一類在工程學、經濟學、控制論等領域具有重要應用價值的優化問題［13-16］.對于給定的n階矩陣A=(aij)∈Rn×n，n維實向量q∈Rn，用LCP(A,q)來表示矩陣A的線性互補問題，尋找x∈Rn，使其滿足

2 預備知識

為敘述方便，給出一些記號.設A=(aij)∈Rn×n，aii≠0，m≤i,j,k≤n，ε＞0，且

定義1［2］設A=(aij)∈Rn×n，如果對任意的j,i∈N,i≠j，都有aij≤0，則稱A為Z-矩陣，記A∈Zn.設A∈Zn，則A可表示為A=sI-B，其中B≥0.當s≥ρ(B)時，稱A為M-矩陣；當s＞ρ(B)時，稱A為非奇異M-矩陣.

定義2［3］設A=(aij)∈Rn×n，如果滿足下面條件

（c）對于任意i∈N，i?J(A)，存在i1，i2，…，ik，使得aii1ai1i2,...,aik-1ik≠0，ik∈J(A).則稱A為弱鏈對角占優矩陣.

定義3［3］設A=(aij)∈Rn×n，若J(A)=N，則稱A為嚴格對角占優矩陣.

定義4［25］設A=(aij)∈Rn×n，若

則稱A為B-矩陣.

3 主要結果

首先給出一些引理.

故定理4改進了文獻［8］中的定理3.4，進而優于文獻［2］中的定理3.3和文獻［7］的定理3.2.

2009年García-Esnaola等［13］給出如下結果：設A=(aij)∈Rn×n為B-矩陣，將A表示為A=B++C的形式，其中

綜合上述知（14）式成立.

下面對估計式（11）式與（14）式進行比較.

定理7 設A=(aij)∈Rn×n是B-矩陣，令A=B++C且B+=(bij)形如式（9），則

綜上可得（14）式優于（11）式.

4 數值算例

下面用數值例子說明新估計式比已有的一些結果更加精確.

例1 設

顯然A是嚴格對角占優的M-矩陣.應用文獻［2］中的定理3.3，文獻［7］中的定理3.4及文獻［8］中的定理3.2，分別得

表1 的上界

表1 的上界

n（11）式（12）式（13）式（14）式10 104.9084 90.8111 83.6275 78.5563 20 415.8320 361.6667 332.8539 306.0755 50 2.8859e+3 2.1573e+3 1.9584e+3 1.1876e+3 100 9.5301e+3 7.1042e+3 5.3078e+3 3.2824e+3

5 結語

本文給出了嚴格對角占優M-矩陣及逆矩陣之間的元素關系式，通過迭代法獲得了嚴格對角占優M-矩陣的逆矩陣的無窮大范數的新上界.同時，利用新上界與兩個重要不等式放縮技巧得出B-矩陣線性互補問題誤差界的新估計式，理論證明及數值算例表明了新估計式的有效性.