一個基于憶阻器的混沌系統動力學研究

錢 錦，宋 曉

(安徽理工大學 電子與信息工程學院，安徽 淮南 232001)

1 引言

混沌理論是近年來的熱門研究，而混沌電路是混沌在信息科學中能夠廣泛應用的核心，諸如超混沌系統[1]、混沌同步[2]、保密通信[3]等領域。隨著混沌電路受重視程度的提高，越來越多的人開始對混沌電路進行進一步的改進，利用憶阻器對混沌電路進行改進便是其中之一。

作為電網絡理論的第四種電路元件，憶阻器有著天然的非線性與可塑性，這與人們對混沌電路的需求不謀而合。將憶阻器與混沌相結合很容易構建出混沌振蕩電路和神經形態電路，例如多維憶阻混沌[4]、二極管憶阻器[5]、不平衡憶阻混沌[6]等。這些憶阻應用電路可以展現豐富且復雜的動力學行為，能為工程應用提供更多的靈活度[7～9]。盡管對于憶阻混沌電路的設計、搭建以及系統特性分析等問題，相關學者都已經進行了大量的討論研究，且成果矚目，但是電路設計中都包含電感元件，這樣就存在著不利于集成、占用面積大和魯棒性差等一系列問題。所以，對于憶阻混沌電路的建模還有進一步的完善空間。可以說，目前憶阻混沌系統的相關研究還處于初期階段，簡單小巧的磁控憶阻器具有極大的研究價值[10～13]。

在這樣一個信息化的時代，對混沌信息科學的研究是必不可少的，本文的研究也因此產生。通過改進一個經典混沌系統，構建出了一個新的憶阻混沌模型，并分析了系統的動力學行為，最后基于Multisim的電路仿真模擬了系統的混沌特性，結果與數值分析相同。

2 理論分析

本文擬改進的Ma系統[14]混沌模型如下：

(1)

式(1)中，a,b≥0是可調參數，x,y,z為狀態變量。

本文選用一個簡易的非線性絕對值磁控憶阻器，其等式模型為：

(2)

在系統(1)的基礎上，將磁控憶阻器的W(w)=c+d|w|替換第一個等式中的狀態變量y的耦合系數，并增加了第四維方程作為憶阻器的內部狀態變量，這個新的四維無量綱憶阻混沌系統表示為：

(3)

式(3)中，a,b,c,d≥ 0是可調參數，x,y,z,w為狀態變量。

為分析方程(3)的耗散性，計算其指數約束率，給出方程(4)：

(4)

若要使方程(4)的耗散率為負，則a>-1，這是系統能產生混沌吸引子的必要條件。

當參數a=3,b=2.5,c=1,d=5，初始條件設置為(0.2, 0.2, 0.2, 0.2)時，可以得到一個典型的憶阻混沌隱藏吸引子如圖1所示。

圖1 憶阻混沌吸引子的相

3 數值研究

首先，對敏感參數c的動態行為進行分析，利用MATLAB的四階Runge-Kutta積分算法，計算了系統的Lyapunov指數譜和相應的分岔圖如圖2、圖3所示。設置時間步長Δt=0.01，并計算足夠長的運行時間，以忽略瞬態誤差。參數c在區域[0，50]中變化，其他參數固定為a=3，b=2.5，d=5，初始條件設置為(0.2，0.2，0.2，0.2)。通過Wolf算法[15]對Lyapunov指數進行數值計算，并根據Lyapunov指數來對系統的行為進行分類。從圖3中可以看出，混沌系統狀態的變化由最大Lyapunov指數的符號決定，且分岔圖變換與Lyapunov指數同步。

圖2 分岔圖

圖3 Lyapunov指數譜

由圖2、圖3分析可得，當控制參數c的范圍處于(0，17.57)時，系統處于混沌狀態并產生混沌吸引子；而在[17.57，19.12]時又變為周期態；當參數c進入(19.12，28.63)時，系統再次出現隱藏混沌吸引子；隨著b的繼續增加，混沌衰減為多周期振蕩。由此可以得知，系統隨著敏感參數c的變化在周期狀態和混沌狀態之間來回切換。

4 模擬仿真

基于基爾霍夫定律對系統(3)進行物理轉換，為符合實際電子元件工作需求，進行時間尺度的變換，由此得到電路的動力學方程(5)表征如下：

(5)

依據方程(5)，可以搭建出憶阻混沌系統的電路模擬圖如圖4，其中左邊的部分為憶阻器模塊。電路元件參數為：R1=R4=R6=R7=100 kΩ，R2=3 kΩ，R3=R8=R9=10 kΩ，R5=5 kΩ，R10=400 kΩ，R11=R13=50 kΩ，R12=40 kΩ，C=4.7 μF，直流電源V=-1 V。模型的非線性項由模擬乘法器芯片AD633JN實現，乘法器的參數設置分別為A1=A2=0.1 V/V，A3=A4=1 V/V。運算放大器AD711AH及其相關電路實現了簡單的加法、減法和積分運算，使用時需提供±15V直流電源。

圖4 憶阻混沌系統的電路設計

仿真產生的憶阻混沌吸引子如圖5所示，與圖1中的數值模擬結果很好的吻合，驗證了所提出的憶阻混沌系統的正確性，從而在電學上證明了該混沌模型可以物理實現。

圖5 Multisim中模擬電路的仿真憶阻混沌吸引子的二維相圖

5 結論與討論

本文提出了一種新憶阻混沌系統，詳細討論了該系統模型的特點，并利用分岔圖和Lyapunov指數譜分析了其復雜動力學特性。系統多次在周期態與混沌態轉變，且在混沌態時產生了一個特殊的隱藏吸引子，對于參數變化的擾動十分敏感。基于Multisim的仿真數據也證實了系統的動態行為以及物理可行性，同時也為憶阻混沌系統的實際應用提供了一個新的思路。憶阻器結合混沌系統是學術界持續的研究熱點，該系統的混沌特性在混沌同步、保密通信等領域中有著廣闊的應用潛力。