基于響應面法的小孔節流靜壓氣體軸承多目標優化*

邱春雷 尹 洋

(西華大學機械工程學院 四川成都 610039)

氣體軸承以空氣作為潤滑介質，工作時在軸承表面形成氣膜支承載荷，具有摩擦阻力小、轉速高、精度高和使用壽命長等優點[1]。但氣體軸承由于其自身的潤滑特性，也存在許多不足，如承載能力低、穩定性差等[2-3]。很多學者針對這些問題展開了深入的研究[4-8]。研究發現，針對小孔節流式靜壓氣體軸承，其節流器參數對軸承承載性能有很大的影響，因此很多研究集中在優化節流器參數上。楊春梅和曹炳章[9]采用粒子群算法對節流器參數進行了優化，結果表明優化后的節流器參數有效提高了軸承承載性能。COLOMBO等[10]基于遺傳算法對節流孔數量、直徑和位置進行多目標優化，研究表明采用遺傳算法使設計更加自由，但并未深入分析參數間的交互影響。楊光偉等[11]則運用流體仿真軟件，結合正交試驗設計分析節流器相關參數對靜壓止推軸承剛度的影響，尋找因素的敏感性，但并未深入研究承載力、空氣流量等軸承性能。

在優化設計中，一些學者運用設計試驗法[12]、仿真分析法[13]分析節流器參數的特性，并尋找最佳值以求得更好的軸承性能，但都是以單個參數為獨立變量，忽略了參數間的交互作用對軸承產生的影響。本文作者基于響應面設計方法，研究節流器參數對軸承性能影響的顯著性以及參數間的交互作用，結合多目標優化方法全面優化節流器參數，提高軸承性能。

1 數學模型

小孔節流靜壓徑向氣體軸承模型如圖1所示，軸承上分布雙排節流孔，每排8個。由于空氣的黏度極小，且氣體通過節流孔的時間很短，因此假設氣體在軸承間隙中為等溫層流，并忽略黏度的變化。則軸承內氣膜壓力分布可通過求解式(1)所示雷諾方程得到。

(1a)

(1b)

式(1a)為不在節流孔處的氣膜壓力分布；式(1b)為節流孔處的氣膜壓力分布。

圖1 軸承模型

軸承在穩態下運轉時，軸頸偏心率及偏位角保持穩定，考慮軸承與軸頸間無軸向相對運動，則穩態下小孔節流靜壓徑向氣體軸承雷諾方程為

(2a)

(2b)

采用有限差分法和超松弛迭代法很容易求解雷諾方程得到氣膜壓力，通過對氣膜壓力的積分可以得到軸承承載力，用差分公式可以得到剛度。軸承的質量流量可通過對節流孔出口處速度和密度矢量與面積矢量積分得到。計算公式分別為

承載力：

W0=?pdxdy

(3)

剛度：

(4)

質量流量：

M0=?ρvds

(5)

式中：ε為偏心率；c為平均氣膜厚度；s為節流孔面積。

2 響應面法試驗設計

2.1 試驗設計

正交試驗或者其他優化方法能夠分析各因素對目標函數產生的影響，并尋找最佳值，但難以直觀地判別多個因素的交互影響。采用響應面設計方法能夠分析單因素或交叉因素對目標函數的響應，可以直觀地通過響應面尋找優化區域[14-15]。

節流器參數對小孔節流氣體軸承的承載性能影響很大，文中以節流孔直徑、平均氣膜厚度、偏心率、節流孔數量、節流孔位置(節流孔至軸承端面距離與軸承寬度之比)為影響因素，分析各參數影響的顯著性，響應目標函數為承載力、剛度和質量流量。

響應面分析基于DESIGN-EXPERT軟件，采用精度較高的BOX-BEHNKEN設計方法。響應面模型采用二階多項式表達式：

(6)

式中：y(x)為目標函數值；xi為變量，i=1,2，…，k；a0、ai、aij、aii為待定系數。

該試驗共有5個因素，包含6個中心點，共設置了n=46組樣本。并由式(3)、(4)、(5)得到目標函數的計算值。各因素的范圍見表1。

表1 因素范圍

2.2 結果及分析

方差分析結果用F檢驗(見表2)和P檢驗，F值大于檢驗臨界值，參數具有顯著性；P值與F值相關聯，F值越大P值就越小，說明由噪聲因子所引起的變異概率就越低。顯著性水平α=0.05，P值大于顯著性水平說明參數顯著性不高；同時，F值的大小也體現出其顯著性的程度，F值越大顯著性程度越高。對數據進行方差分析，去除不顯著項因素，得到的結果見表3。

表2 F檢驗

表3 方差分析結果

承載力擬合公式：

W=-61.22+51.48A+1.83B+110.25C+68.07D+4.83E+19.46AB-585.5AD-15.68AE+8.42BD-595.68A2-0.15B2-324.18D2

(7)

剛度擬合公式：

K=83.27-244.82A+1.68B-37.38C-31.12D+0.88E-4.78BC+257.75CD+302.76A2-161.74D2

(8)

質量流量擬合公式：

M=5.393-30.794A-0.285B+5.05C+14.079D-0.768E+2.025AB+55.75AC-81.75AD+1.95AE-0.78BC+0.03BE

(9)

單個因素對目標函數產生影響時，響應面為曲線；雙因素對目標函數產生交互影響時，響應面為曲面。圖2所示為雙因素對3個目標函數產生交互影響的響應面，響應面在平面上的投影為等高線圖，從響應面圖中可以直觀地判別參數的優化區域。圖2(a)所示為節流孔直徑和平均氣膜厚度對承載力的交互影響。可以看出，承載力最大處在響應面中心區域，節流孔直徑和平均氣膜厚度同時增大時承載力較大并保持穩定。圖2(b)所示為節流孔直徑和位置對承載力的交互影響?？梢钥闯?，承載力最大處在響應面中心區域，節流孔直徑和位置均存在最佳值使承載力最大。圖2(c)所示為節流孔直徑和數量對承載力的交互影響。可以看出，隨著節流孔直徑的減小和節流孔數量的增大，承載力逐漸增大。圖2(d)所示為節流孔位置和平均氣膜厚度對承載力的交互影響?？梢钥闯觯休d力最大區域在平均氣膜厚度大、節流孔靠近軸承端面處。綜合圖2(a)—(d)可得出，在雙因素交互作用中，大多與節流孔直徑相關，同時，單個因素存在最佳值使承載力最大，但最佳值會隨著另一個因素的變化而變化。

圖2(e)、(f)分別示出了偏心率與平均氣膜厚度、偏心率與節流孔位置對剛度的交互影響。可以看出，偏心率對剛度的影響很大，剛度隨偏心率的增大而減小，隨平均氣膜厚度、節流孔位置的變化較小。

圖2(g)、(h)、(i)分別示出了節流孔直徑與平均氣膜厚度、節流孔直徑與偏心率、節流孔直徑與位置對質量流量的交互影響?？梢钥闯?，隨著平均氣膜厚度、節流孔直徑和位置的變化，質量流量的變化顯著，其中節流孔直徑對質量流量的影響更顯著，偏心率變化時質量流量變化不明顯。

圖2 設計參數對目標函數的交互影響

為進一步驗證擬合公式的可靠性，取平均氣膜厚度c=25 μm、偏心率ε=0.4、節流孔位置l=0.25、節流孔數量N=8，以節流孔直徑d為變量，將計算值與擬合值進行對比，如圖3所示。可以看出，擬合值與計算值結果很接近，只存在微小的誤差，說明擬合公式可靠，可以用來預測目標函數。

圖3 不同節流孔直徑下承載力(a)、剛度(b)、質量流量(c)計算值與擬合值的對比

3 多目標優化

從前文的分析可知，節流器參數對軸承承載性能的影響十分復雜，不僅有單個參數的影響，也有參數間的交互作用，各個參數的最佳值可能會隨著其他參數的變化而變化。因此，小孔節流式靜壓氣體軸承的設計較為復雜，目前的研究也是集中在優化節流器參數以提高軸承性能。文中研究的靜壓氣體軸承參數如表4所示。

表4 軸承參數

軸承性能有很多優化方向，但主要以提高承載力和剛度、減小質量流量為目標。因此文中的優化目標函數為

maxW=f1(d,c,ε,l,N)

maxK=f2(d,c,ε,l,N)

minM=f3(d,c,ε,l,N)

3個目標函數有相互矛盾之處。例如增加節流孔數量會提高承載力，但同時質量流量也會增大；減小平均氣膜厚度會減小質量流量但剛度也會減小，沒有單一的最佳值同時滿足所有目標函數。因此，在設計時應考慮目標函數間的權重。多目標優化方法很多，文中采用帶有精英策略的多目標遺傳算法(NSGA-II)，該算法具有可靠的全局搜索能力，運行速度快，解集收斂性好。選擇的變量范圍取表1中數值。計算得到目標函數的Pareto非劣前沿解如圖4所示。

圖4 非劣前沿解

從圖4中明顯看出3個目標函數間存在沖突，不存在都取到最佳值的情況，因此要對目標函數進行權衡。文中所研究的靜壓氣體軸承為旋杯霧化器氣動渦輪徑向支承軸承，需要高速穩定的工況條件，因此對其承載力和剛度有較高要求。在求得非劣解集后，首先應選擇承載力和剛度較高的設計參數，在此基礎上盡量選擇較低的氣體質量流量。選擇一組設計點并取整后作為優化結果，則優化前后的軸承參數和性能見表5。

表5 優化結果

從表5可以得出，承載力提高了57.1%，剛度提高了50.2%，質量流量減少了40%，優化后的軸承性能有較大的提高。

4 結論

(1)采用響應面設計方法發現，不僅有單個節流器參數對小孔節流靜壓氣體軸承性能產生影響，也有參數間的交互作用；同時由于交互作用，單個參數的最佳值會隨著其他參數的變化而變化。

(2)節流器參數間對承載力和質量流量的交互影響中，節流孔直徑總是與其他參數形成交互作用，說明節流孔直徑對承載力和質量流量影響顯著；而偏心率則對剛度的影響顯著。

(3)在靜壓氣體軸承內徑和寬度不變時建立了軸承性能擬合公式可以近似估計軸承承載性能，簡化計算；在今后工作中，可以引入軸承寬徑參數以及外部供氣參數，建立更加全面的響應面模型，以此縮短軸承設計周期。

(4)采用多目標優化方法對軸承性能進行了優化，優化后使軸承承載力提高了57.1%，剛度提高了50.2%，質量流量減少40%。