以“關系”為徑，整體認識運算意義

林紅

摘 要：以“關系”為路徑學習數學知識，可以從數學結構、數學思想的高度審視小學數學。培養數學中聯系起來分析問題，找條件和問題相互間的關系，對數學學習有提綱挈領的作用。“四則運算的意義與關系”一課，從“找關系”入手進行深度學習，有利于建構知識網絡，減輕學生記憶知識的負擔，提升思維水平。

關鍵詞：找關系;整體認識;提升思維

大百科全書（數學卷）對數學的定義是：研究現實世界數量關系和空間形式的科學，它包括了數的關系、量的關系、形的關系。因此，以“關系”為路徑學習數學知識，可以從數學結構、數學思想的高度審視小學數學。培養數學中聯系起來分析問題，找條件和問題相互間的關系，對數學學習有提綱挈領的作用。

為了準確把握學生對知識的理解程度，并有效利用學生的學習資源，在“找關系”為學習路徑的理念指導下，筆者設計了課前導學單。

筆者把學生答題情況分為三個層次。第一層次：100%的學生六道題能正確列式解答。第二層次：80%的學生能試著用圖示或自己的語言表示每一種運算的意義，能寫出每一種運算各部分的關系，但由于缺少對運算內部關系的深入思考，所以難以寫全各部分所有的關系。第三層次：最后一題，找四則運算相互關系中僅20%的學生能用自己語言表述對加減或乘除之間相反關系的感悟，沒有學生對四則運算關系有整體認識。因此，筆者把這節課教學提升點設定為：通過“找關系”能讓學生把四則運算的意義聯通起來進行整體認識，充分感悟四則運算的內部的關系和相互關系，并能通過實際問題的解決，提高“關系”靈活運用的能力，從中感悟“逆”和“簡”兩種數學思維方法。

一、題組的對比教學，體驗“逆”關系

（一）找“題—圖—式”的縱向關系，概括加法意義

從數學邏輯上來分析，建構加減法以及乘法的定義必須從加法切入，所以加法意義的理解是基礎。筆者通過對學生課前導學單中第1題作品的收集，整理了圖1，引導學生在讀清題中的條件和問題的基礎上，遷移到與直觀圖建立聯系，數形結合理解圖示中每一部分的意思。再比較4個圖示的共同點，聯系加法算式，學生很自然地感悟到：把兩個數合并成一個數的運算叫加法。“逆”向理解：這“一個數”是一個整體，“兩個數”是一個整體的兩個部分。這樣就得出加法算式中各部分的名稱和關系：和=加數+加數。“逆”向理解得出另一個關系式：一個加數=和-另一個加數。從整體和部分的關系深入理解加法的意義，還從“逆”的關系角度完整列出加法各部分關系式。

（二）找題組中“條件問題”的橫向關系，逆向定義減法意義

通過題組中3道題條件和問題的對比，減法算式中每個數與加法算式中每個數位置的對比，學生概括出減法的意義和內部各部分關系。觀察加法算式中的和就是減法中的被減數，加法中的一個加數就是減法中的減數，加法中的另一個加數就是減法中的差。學生深入分析：原來不僅減法各部分之間有聯系，加減法各部分之間也能聯系起來。看到學生已經有了聯系地分析問題的思想與能力，筆者出示學生在導學單中概括出的“從一個數中去掉一部分，求另一部分是多少，叫減法”，讓學生辨析：這樣概括減法的意義，你們認為可以嗎？學生分析：從部分與整體的關系角度來看，也完全是正確的。還有學生分析：一個數其實就是已知兩個數的和，一部分就是其中一個加數，另一部分就是另一個加數。書中的定義是從加法逆向思考得到的，這個同學的定義是從減法本身的意義得到的。能從這些角度分析，說明這時學生對加減的意義與關系不僅能互推，而且能融合，對加減法的整體認識很深入。

二、升級運算等級，體驗“簡”關系

（一）從“加”升級到“乘”，感悟乘法是相同加數連加的簡便運算

加減是一級運算，乘除是二級運算，它的優先級比加減高一級，怎樣體現進階的關系呢？在導學單中學生第二組題第一題的解題策略都是乘法，引導學生思考，這道題還能用別的方法解決嗎？學生回答：也能用加法，五百五百地數。追問：為什么所有的同學都用乘法做呢？學生回答：因為求4個500的和是多少，用乘法更簡便。所以乘法的意義就是求幾個相同加數和的簡便運算。

數學的發展就是不斷地用更有效、更高級的方法代替原有方法的過程。“數—加—乘”算法提升的過程，使解決問題的過程越來越簡單。從數學運算的發展來看，乘法比加法高一級，計算效率也提高一步，歸根結底是緣于計算的簡便。學生搞清楚乘法與加法的聯系，就形象類比：就像走臺階一樣，有了下面的第一級，才能有上面的第二級，所以乘法是比加法更高級的運算。

導學單中學生出現對乘法意義的另一種歸納：求一個數的幾倍是多少，用乘法。怎樣把這個學習資源同化到乘法意義中呢？學生分析道：書中的定義是以加法為基礎的，更體現了加法到乘法的進階關系。學生概括的意義就是從乘法的倍數角度，也是對的。還有學生分析：求2的3倍是多少，就是求3個2是多少，也是求幾個相同加數和的簡便運算，能聯系起來的。這樣，點聯系成了一條線，就把對乘法零散的認識串聯起來，對乘法意義的理解更深刻。

（二）從“減”升級到“除”，感悟除法是遞減相同減數的簡便運算

根據“逆”思維遷移，類推除法意義與各部分關系。除法的“簡”也是學生利用“加和乘”的聯系推出來的：一個數，如果不斷地減相同的數后，沒有剩余，就是整除;如果還有剩余，就是有余數的除法。通過“找關系”，聯系地分析，有了前面的引導，學生能夠沿著這個路徑，自己發現和創造出新的結論。

三、關系圖是四則運算整體認識的精準表達

整節課開辟了“關系”路徑，最后讓學生再次嘗試導學單的最后一題，用圖示表示四則運算的聯系。通過學生不斷討論改進后的關系圖（圖2），全面總結本節課的內容，建立四種運算相互關系路徑，溝通思維渠道，為知識建構提供新的視角。

四、“關系”路徑的綜合應用，感悟價值

（一）課內練習，方法靈活適用

數學書和《作業本》里的練習題思考性很強，只有把所學知識融會貫通，培養學生有聯系地分析問題的能力，才能更好解決問題。

1. 關系運用要整體性和熟練性

如：猜猜水果后面藏著幾，填一填。

要解決這種題，先要判斷各圖形在原題里是什么數，應該使用該運算內部的什么關系。在計算過程中最后兩小題既有運用運算內部關系，又有“有余數除法”中求被除數要除數乘商還要加余數;還有求除數，用被除數減余數的差才是除數與商的積，強調等號左右“對應”的思想方法，為五年級的方程學習打下基礎。

又如：已知★-▲=◆，☆÷◇=△，下面哪些算式是正確的？正確的畫“√”，錯誤的畫“×”

（1）★-◆=▲（? ）

（2）▲-◆=★（? ）

（3）◇+△=☆（? ）

（4）☆÷△=◇（? ）

這道題把兩種運算放在一起辨析，信息干擾性比較大。其中1、2、4小題直接用運算的內部關系判斷，第3題要用到除法和加法的相互關系。解決問題時，關系運用要熟練，對關系的整體認識要強，這樣的題符合四年級下冊學生的思維水平。

2. 感悟方法的靈活性和適用性

解決看似相同的題，方法的運用可能是不同的，在學生實際解題過程中，不斷讓學生總結自己的思考方法，選擇更合適的方法。

例如：琳琳想了一個數，按下面的指令進行計算，得到的結果是25，琳琳想的數是（? ）。

這道題用“逆推”能高效解題。

又如：進入知識宮的密碼是○□○□，請先破譯密碼。

14+82-○=87

□×6+10=58，

密碼是（? ? ）。

關于○的解法，有的學生用了“被減數=差+減數”的關系，有的學生用了“減數=被減數-差”的關系，這兩種方法僅僅是觀察角度不同，其本質都可以歸結為減法算式內部的各部分關系，○的解法不適用逆推。而□的解法，有的學生回答：我用了“逆”的思考方法，58-10=48 48÷6=8。有的學生回答：我用了“加法各部分的關系”思考。學生不僅會選用合適的方法，而且能清晰地表達自己選用的思考方法，能反映學生頭腦內部知識網的建構在應用中體現價值。

（二）拓展數域，知識整體建構向課外延伸

小數、分數的四則運算的運算意義與關系，與整數四則運算的運算意義與關系是完全相同的。打通它們之間的“隔斷墻”，為整體性、系統性學習再深入一步。根據學生在導學單里提出的“我想提出的問題：整數的四則運算方法和小數、分數的方法一樣嗎？”可以讓學生猜想，并帶著問題進行課后探索，把課堂內的學習向課堂外延伸。

一節概念定義和已有知識梳理的課，通過單元整體架構，挖掘內在聯系，滲透數學思維方法，使學生得到深度學習，提升思維水平和語言、圖示的多元化表達能力。