磨礦動力學研究現狀及應用

田鵬程，王澤紅，毛 勇

(東北大學資源與土木工程學院，遼寧 沈陽 110819)

磨礦作業在冶金、陶瓷、建筑、水泥、化工、醫學甚至國防工業領域都占據極其重要的地位，尤其是礦物加工工程領域。有用礦物實現有效分選的前提是其與脈石礦物得到充分的單體解離，而這主要通過粉磨作業完成[1-3]。值得注意的是，粉磨過程是一個能耗和鋼耗很高、效率偏低的作業，特別是在細磨和超細磨時表現得更加突出，因此，磨礦作業在選礦廠的基建投資和生產費用中占比很大[4-5]。為節約能耗、降低磨礦鋼耗、提高磨礦效率，相關研究者一方面通過數學工具(數學模型)分析磨礦過程顆粒粒度及其組成的變化規律，另一方面從物理化學角度探究影響磨礦過程的因素(礦物界面性質和礦漿性質)，不斷尋求改善磨礦工藝的有效手段[6]。

磨礦動力學模型是描述被磨物料的磨碎速率與磨礦時間之間關系規律的一種模型。通過磨礦動力學能夠研究粒度減小的規律，計算磨機的效率和生產率，并對實際磨礦過程做出理論分析。隨著選礦生產過程最優化、模擬計算及自動控制技術的應用和推廣，磨礦動力學已逐漸成為礦物加工領域，特別是粉磨領域的重點研究方向之一[7-8]。為進一步推動磨礦動力學模型在礦物加工領域的研究與應用，本文系統綜述了磨礦動力學的兩個經典模型：m階磨礦動力學模型(m≥0)及磨礦總體平衡動力學模型，以及影響磨礦動力學的主要因素，指出了磨礦動力學模型的應用現狀及發展趨勢，并據此提出展望。

1 m階磨礦動力學模型

在礦物加工過程中，存在兩大類動態模型：①模擬自動控制技術調節的正常工藝過程(存在外界干擾)的動態模型；②工藝過程正常進行時各項指標隨時間變化的動態模型，即動力學模型[9]。在磨礦過程中，磨礦產品粒度分布隨時間變化的關系可用m階磨礦動力學模型來描述[10]。

Ri(t)=Ri(0)e-ktm,i=1,2,3,…,j

(1)

式中：t為磨礦時間，min；Ri(0)、Ri(t)分別為給料和產品中大于粒級i的顆粒的累積產率，%；j為給料或產品的窄粒級數目；k、m為與物料性質和磨礦條件有關的參數，k、m與粒度d的函數關系分別見式(2)和式(3)。

k(d)=A0+A1dX1

(2)

m(d)=C0+C1dX2

(3)

式中，A0、A1、C0、C1、X1、X2為待定的參數。

對式(1)而言，當m=0時，為零階動力學模型；當m=1時，為一階動力學模型。

對于參數k和m的理論意義，段希祥[11]曾用石英、方解石和重晶石分別進行粗磨和細磨試驗，建立了m階磨礦動力學方程，指出了動力學參數k、n的數值在不同磨礦階段(即物料粒度不同時)的變化能反映磨礦過程的實際情況，對早期蘇聯學者的解釋進行了修正，并結合試驗與模型對參數的意義和相互關系進行了解釋：m主要反映物料性質的均勻性，而與物料的強度幾乎無關；k與磨礦粒度、物料性質以及磨礦條件有關。侯英等[12]在段希祥[11]的研究基礎上，采用解析幾何和偏導數的方法對m階磨礦動力學參數k和m進行研究，分析了k和m與磨礦時間t的關系以及對磨礦速度的影響規律：當磨礦時間t?e1/k時，k對篩上累積產率R起主要影響作用，k越大，R越小，R減少的越多，磨礦速度越快；當t?e1/k時，m對R起主要影響作用，m越大，R越小，R減少的越多，磨礦速度越快；當t在e1/k附近時，k和m共同影響R的減少和磨礦速度。LIU等[13]對石英進行分批球磨試驗，推導得出了石英粉磨動力學方程，結果表明：該磨礦動力學方程與理論的一階動力學方程不一致，其動力學參數k并非常數，而是與時間有關的變量，且變化規律與物料性質、磨礦條件和產品粒度分布有關。

因此，關于m階磨礦動力學模型參數k、m的研究，段希祥[11]和侯英等[12]的試驗結果分別適用于參數與被磨物料粒度和磨礦時間的關系研究，LIU等[13]的研究結果只適用于參數k與物料性質和磨礦時間的關系研究。

2 磨礦總體平衡動力學模型

2.1 磨礦總體平衡動力學模型

1954年SEDLATSCHEK等[14]提出了物料研磨過程的數學理論，首次采用積分微分方程的形式表示批量研磨的基本質量平衡。該動力學模型根據物料平衡原理建立，在分批磨礦過程中，既沒有物料加入也沒有物料排出，這時某個指定粒級在磨機內的變化速率等于生成速率減去消失速率，綜合矩陣模型和磨礦動力學，即可得到分批磨礦時間連續、粒度離散的總體平衡動力學模型[15]，見式(4)。

(4)

總體平衡動力學模型的矩陣形式見式(5)。

(5)

式中：γi(t)為t時刻第i粒級的含量(產率)，%；Si為破碎速率函數(選擇函數)，min-1；bij為破裂分布函數，%，表示從給料第j粒級粉碎至產品中第i粒級的產率，i=1，2，3，…，n；j=1，2，3，…，n(i>j)。為便于表述和計算，總體平衡動力學模型中的破碎分布函數bij常用累積破碎分布函數Bij(破裂函數)表示，見式(6)。

(6)

式中，Bij為給料中第j粒級破碎后形成的產品中小于i粒級的累積產率。

2.2 模型的分析解

1965年REID[16]在一定假設的前提下，以試驗為基礎，通過積分微分方程方法，結合總體平衡方程推導出了物料破碎速率函數Si(選擇函數)和破碎粒度分布函數Bij(破裂函數)，并給出了式(4)的分析解。

當式(4)中i=1時，總體平衡動力學方程變為微分方程，見式(7)。

(7)

對式(7)進行求解，其結果見式(8)。

lnγ1(t)=-S1t+C

(8)

當式(8)中t=0時，可求得參數C=lnγ1(0)，則式(8)存在唯一確定解，見式(9)。

lnγ1(t)=-S1t+lnγ1(0)

(9)

對式(9)等號兩邊同時求指數，其結果見式(10)，表示在t時間磨礦產品中第1粒級的產率γ1(t)與給料中第1粒級產率γ1(0)之間的關系。

γ1(t)=γ1(0)×e-S1t

(10)

式中：S1為第1粒級的選擇函數，min-1；t為磨礦時間，min。

當式(4)中i=2時，總體平衡動力學方程可轉化為微分形式，見式(11)。

(11)

式(11)為一階微分方程式，其通解見式(12)。

(12)

令式(12)中t=0時，可得參數C的表達式，見式(13)。

(13)

將式(13)代入式(12)，可得到微分方程解的表達式，見式(14)。

(14)

當式(4)中i=2時，總體平衡動力學方程變為一階微分方程，見式(15)。

(15)

同樣利用一階微分方程的公式對式(15)進行求解，可得到γ3(t)的通解，即式(4)或式(5)的通解，見式(16)。

(16)

將式(16)的矩陣形式用求和符號表示，見式(17)。

(17)

式(17)中系數Aij的計算見式(18)。

(18)

式中，γi(0)為磨機給料中第i粒級的含量，%。對于最粗粒級物料或者窄粒級別單粒級物料磨碎時，即第一粒級物料i=1，式(4)或式(5)的簡化形式見式(19)。

(19)

式中：γ1(t)為t時刻第一粒級的質量分數(產率)，%；S1(t)為第一粒級的破碎速率函數(選擇函數)，min-1。當破碎速率函數S1與磨礦時間無關，即物料的磨礦過程符合一階線性動力學模型時，對于單粒級物料可知γ1(0)=1，將式(19)積分求解，可得到常見的一階磨礦動力學方程，見式(20)。

(20)

由式(20)可知，磨礦t時刻的試驗結果γ1(t)的對數值與時間t為直線關系，該直線的斜率即為破碎速率函數S1。

2.3 選擇函數和破裂函數

求解式(4)或式(5)時，必須先求得選擇函數Si和破裂函數bij。Si和bij的求法有很多，一般需要根據具體礦物和作業條件進行試驗，然后根據試驗數據計算。常用方法有零階產出率法、奧-勒(Austin和Luckie)理論簡算法(又稱預估-反算法)、卡普爾(Kapur)的G-H算法、經驗公式法以及理想混合器模擬算法等[17-19]。

2.3.1 零階產出率法

零階產出率法由赫爾伯斯特和富爾斯坦諾(Herbst &Fuerstenau)提出，其出發點是假定磨礦速率為常數，見式(21)。

(21)

假定速度常數的表達式見式(22)。

(22)

(23)

式中，i=1,2,…,n(n為物料粒級數)。

將每個速度常數表達式依次列出，見式(24)。

……………

(24)

將yi(t)離散化，即以窄級別產率yi(t)之和表示，見式(25)和式(26)。

(25)

…+bn1S1y1(t)+b32S2y2(t)+b42S2y2(t)+

…bn2S2y2(t)+b43S3y3(t)+b53S3y3(t)+

(26)

當磨礦時間較短時，細粒級產品符合的關系見式(27)。

(27)

將式(27)代入式(26)可得Yi(t)與t的微分關系，見式(28)。

(28)

(29)

由式(22)和式(27)可得最粗粒級的破碎分布函數，見式(30)。

(30)

由式(27)可得最粗粒級的破碎速率函數和破碎分布函數的關系，見式(31)。

(31)

將式(31)進行整理，見式(32)。

(32)

由式(30)和式(32)得到破碎分布函數與物料粒級關系，見式(33)。

(33)

若破裂函數是規范化的，則可求得破碎分布函數和破碎速率函數的表達式，見式(34)和式(35)。

(34)

(35)

2.3.2 奧-勒法

奧-勒法[20-21]又稱預估-反算法，這種算法1972年由AUSTIN等提出，以單粒級物料短時間磨礦試驗的數據為基礎來推導選擇函數和破裂函數。進行單粒級不同磨礦時間試驗后，根據一階動力學方程求不同粒度的Si；求出S值后反算B的值。求B值有三種方法，即BⅠ法、BⅡ法、BⅢ法，其中BⅡ法使用最為廣泛。具體方法如下所述。

原物料為單粒級，將其進行再次篩分得到篩下產率，見式(36)。

γ2(0)=σ

(36)

式中，σ為篩分誤差，即原單粒級物料未篩分完全的剩余細級別含量，小數。

與零階產出率法的假設相同，破碎分布函數與破碎速率函數的乘積為累積產率速度常數，見式(37)。

(37)

由一階動力學方程得到i粒級的篩下累積產率表達式，見式(38)。

[1-pi(0)]exp(-SjBijt)

(38)

式中，pi(t)為產品中小于i粒級的累積產率，小數。

同樣假設磨礦時間很短，無重復破裂，則原單粒級物料破裂后產物的篩下累積產率可表示為式(39)。

1-pi(t)=[1-pi(0)]exp(-SjBijt)

(39)

假定t=0時，原給料單粒級分布為(1-σ)，即產率為1減去少量的細粒級別σ，即p2(0)=σ。對于第2粒級(i=2)，篩下累積產率的表達式見式(40)。

1-p2(t)=[1-σ]exp(-S1t)

(40)

對式(40)等號兩邊取對數整理后得到對數表達形式，見式(41)。

(41)

由式(38)可得到i粒級的破碎分布函數、破碎速率函數與篩下累積產率的關系，見式(42)和式(43)。

(42)

(43)

將式(41)代入式(43)得到i粒級的破碎分布函數表達式，見式(44)。

(44)

若假定破裂函數值是規范的，則求出Bi1后即可得出(i=1，2，3，…，n；j=1，2，3，…，i-1)。根據Bi1求解Bij的過程見式(45)。

Bij=Bi+1，j+1=B(i-j+1),1

(45)

式中，根據Bij的定義可知B11=1，B21=1。

2.3.3 G-H算法

該算法于1982年由卡普爾提出[22]，其基本指導思想是將總體平衡動力學方程式轉換成G、H兩個函數，使之能迭代運算，以便于計算機求解參數S、B的數值。該方程的推導過程較繁瑣，本文給出主要求解步驟如下所述。

G-H算法方程見式(46)。

(46)

當原料為單粒級時，由式(46)得到系數函數Hi與破碎分布函數、破碎速率函數的關系，見式(49)。

(49)

通過式(49)進行線性回歸分析求得Bi1值，從而根據式(45)求得Bij值。

2.3.4 經驗公式法

關于求解選擇函數S、破裂函數B的經驗公式較多，AUSTIN[23]和JIHOE等[24]提出的經驗公式應用最為廣泛，其是根據提純礦物或均質物料試驗結果所計算的，例如石英、石灰石、白云石、赤鐵礦、無煙煤、金礦石、水泥熟料等。

對于干式磨礦，破碎速率函數表達式見式(50)。

(50)

對于濕式磨礦，破碎速率函數表達式見式(51)。

(51)

式中，A、α為參數。對于規范化的破裂函數B中的元素可用經驗公式(式(52))求得。

(52)

式中，φ、γ、β均為參數，其中，γ、β分別為Bij=f(x)曲線的兩個斜率，φ為斜率為γ的直線與最大相對粒度的交點相應的Bij值。一般來說，這些參數與礦物粒度、磨礦時間等磨礦條件無關，對磨機礦漿充填率、球徑或磨機內徑也不敏感。

2.3.5 總體平衡動力學求解方法分析

總體平衡動力學方程是動力學模型與矩陣模型相結合的模型，通過對相關學者前期試驗的研究，總結了其破碎速率函數和破碎分布函數的幾種求解方法的特點和適用性，見表1。

表1 各求解方法特點與適應性Table 1 Characteristics and adaptability of solution methods

3 影響磨礦動力學的因素

磨礦是一個十分復雜的物理化學變化過程，磨礦效率受許多因素影響，這些因素在磨礦過程中使礦物顆粒性質和礦漿性質發生不同的變化，從而影響磨礦動力學模型參數[25-26]，各影響因素見表2。

表2 磨礦動力學影響因素Table 2 Effecting factors of grinding kinetics

3.1 物料性質

3.2 磨礦介質及配比

磨礦介質對磨礦動力學的影響也十分重要。在磨礦過程中，介質與物料、介質與介質、介質與襯板之間的相互作用會影響產品粒度。磨礦介質的材質比較多，主要包括鋼材、陶瓷、鵝卵石等材質；介質的形狀主要包括球形、棒形、短圓柱形、短截頭錐形等[32]。QIAN等[33]在實驗室規模球磨機中，利用直徑為20 mm的鋼球和20 mm×20 mm的圓柱形介質對水泥熟料進行粉磨試驗，并比較了兩種介質下的破碎速率函數和破碎分布函數后發現：兩種介質下水泥熟料產品粒級均符合一階磨礦動力學模型，并且圓柱形介質的破碎函數Si大于鋼球，得出了這兩種介質下的最佳給料尺寸為-2.00+1.77 mm，即此情況下破碎函數Si最大。李同清等[34]在三種研磨介質(鋼球、鋼段和立方體)下對四個單粒級的鐵礦石進行磨礦試驗，建立了m階磨礦動力學模型，探究了磨礦動力學參數k和m，比較了三種磨礦介質下的比破碎速率：磨礦動力學參數k和m在鋼球介質下始終最大，在鋼段介質下始終最小；隨著給料尺寸的增大，三種磨礦介質下的比破碎率先增大后減小，而且鋼球介質下的比破碎率最大，立方體介質下的比破碎率最小。吳桂義等[35]采用直徑為40 mm、30 mm和20 mm的三種鋼球研究了介質配比對鐵礦石磨礦動力學的影響研究得出：鐵礦石不符合一階磨礦動力學，比破碎率隨著磨礦時間的增加而減小，介質配比(質量比)為Φ40∶Φ30∶Φ20=1∶1∶1時，對各種給料粒度的礦石磨礦效果均較差；對于-13.2+9.5 mm和-6.70+4.75 mm粒級礦石，配比為3∶1∶1時的磨礦效果優于其他配比。

3.3 磨礦方式及參數

磨礦方式、磨機轉速、磨礦濃度等都是影響磨礦動力學行為的重要因素[36]。OZKAN等[37]利用實驗室球磨機對沸石進行了濕磨和干磨試驗，建立了單粒級的m階磨礦動力學方程和累積分布函數表達式，并分析比較了干磨和濕磨的破碎函數S和分布函數B的差異：單粒級沸石濕磨和干磨均符合一階磨礦動力學模型，在正常研磨區域濕磨的S值比干磨的S值高1.7倍，濕磨的Bi,1值與干磨近似相同，這充分說明了沸石在濕磨條件下能夠產生更多的細粒級產物。葉賢東等[38]研究了球磨機在不同轉速下的m階磨礦動力學模型，并求出當磨機轉速分別為120 r/min、150 r/min、180 r/min、200 r/min、240 r/min，磨礦時間分別為3 min、6 min、9 min、12 min時，待磨粒級(d=+74 μm)在t時刻的篩上累積產率R(t)。結果表明：當磨礦時間相同時，R(t)隨磨機轉速的增大而迅速下降，轉速越大，這一趨勢越明顯；當磨機轉速相同時，R(t)隨磨礦時間的增大而減小，時間越長趨勢越緩慢。周意超等[39]對湖南柿竹園某礦石進行了60%、65%、70%、75%和80%磨礦濃度下的兩段磨礦試驗，通過建立m階磨礦動力學模型表示了磨礦產品粒級分布情況：當第一段和第二段磨礦濃度分別為75%和65%時，磨礦產品的粒度特性和能耗綜合指標為最佳。

3.4 化學添加劑

在磨礦過程中，為了改善磨礦環境或物料表面的物理化學等方面特性，往往會加入助磨劑、分散劑等化學添加劑，從而導致磨礦動力學參數發生變化[40]。王力等[41]研究了煤瀝青在MC(萘系磺酸鹽)、AZMN(自制的改性α-甲基萘磺酸鹽甲醛縮合物)兩種助磨劑作用下的磨礦動力學方程式，分析了其研磨特性，確定了煤瀝青水漿制備的磨礦工藝參數，并得出了兩種助磨劑作用下任意時刻任一粒級的分布率。HEEKYU等[42]采用攪拌球磨機對方解石進行超細粉碎試驗，研究了助磨劑添加對物料比表面積、研磨效率、粉碎系數k的影響，發現添加助磨劑的物料比表面積和粉碎系數k相對于不添加藥劑分別增加了16%和34%，充分說明了助磨劑對磨礦的優化效果。黃勇等[43]研究了水泥在TEA和TIPA兩種單體助磨劑作用下的磨礦動力學，發現水泥的比表面積與粉磨時間的平方根符合很好的線性關系，且加入TEA或TIPA后，水泥的比表面積大幅提高；高摻量TIPA對表面積和粒級分布的改善效果優于TEA。謝冬冬等[44]研究了NM-3、油酸鈉、六偏磷酸鈉、氟硅酸鈉、乙酸銨和羧甲基纖維素鈉對氧化鐵礦石的磨礦動力學，通過建立m階磨礦動力學方程，應用均勻實驗設計方法確定了助磨劑最佳用量和配比并比較了不同種類助磨劑作用下各個粒級的磨礦效果。研究發現：添加乙酸銨和NM-3既增加了粗粒級顆粒的可磨性，又改善了礦漿流變性，從而顯著提高粗粒級和細粒級的磨礦速度。

4 磨礦動力學的應用及發展趨勢

目前，磨礦動力學的研究成果主要應用于以下幾方面。一是改進、更新破碎設備及工藝。通過不同破碎方式及其產品的差異研究磨礦動力學及其參數的變化規律，從而確定適宜的破碎設備和工藝[45]。二是確定磨礦設備及磨礦方式。通過不同磨礦設備及磨礦方式對磨礦動力學的影響，為磨礦工藝提供指導[46]。三是確定磨機規格。通過計算機模擬不同規格磨機的磨礦過程，利用磨礦動力學模型分析其產品質量，為確定適宜磨機規格提供依據[47]。四是磨礦產品粒度的模擬計算，預測磨礦產品的粒度特性。五是確定適宜的磨礦條件，如磨機轉速、介質尺寸及配比、磨礦濃度等。通過分析不同磨礦條件下的磨礦動力學參數的變化規律，確定適宜的磨礦條件[48]。六是分析磨機生產率與磨礦細度的關系。通過研究物料細度對磨礦動力學模型中與磨機生產率相關參數的影響規律，確定適宜的進料細度[49]。七是分析磨礦過程機理。通過將磨礦效率、磨機做功、受力分布等因素與磨礦動力學模型相結合，從粒度分布、能耗和受力等角度分析磨礦機理[50]。

磨礦動力學模型研究發展趨勢主要有以下幾方面。一是新型的參數求解方法。磨礦動力學模型參數的求解方法有多種，但隨著經濟社會的發展，步驟冗長、精確度低的計算方法越來越難以滿足試驗研究與實際生產，更加精確快速的求解方法需要被挖掘。二是化學添加劑的影響研究。物料性質、磨礦介質、方式及參數等因素對磨礦動力學的影響規律已得到很好的揭示，而化學添加劑對物料表面特性和礦漿性質會產生不同的作用，從而對磨礦動力學模型參數的影響規律存在差異，因此，化學添加劑與磨礦動力學模型的結合應當被予以重視。三是更加深入地研究磨礦參數對磨礦動力學的影響規律，進而明晰磨礦機理、改善磨礦產品、節約能耗鋼耗。目前針對不同影響因素下的磨礦動力學參數變化規律已進行了大量的試驗研究，但仍未建立適用于大多數磨礦過程的較為完整的磨礦動力學模型體系，因此，需要進一步探究磨礦參數對磨礦動力學模型的影響規律，為改善磨礦工藝提供理論基礎。四是應用范圍拓展。將磨礦動力學模型應用于可可豆、紅葡萄籽、黑胡椒籽、玉米秸稈等食品的研磨加工過程中，并達到了預期的結果，可以預測，磨礦動力學模型將在生活、農業、工業生產中得到更加廣泛的應用。

5 結論及展望

1) m階磨礦動力學模型是粒度分布與時間及其相關量的動力學方程，該模型中存在參數m和k，m主要反映物料性質的均勻性，與物料的強度幾乎無關，k與磨礦粒度、物料性質以及磨礦條件有關；在粗磨和細磨情況下，m和k分別有不同的變化規律。

2) 總體平衡磨礦動力學模型中包含破碎速率函數S和破碎分布函數B。關于S和B常用的求解方法主要有零階產出特征法、G-H算法等。零階產出特征法和BⅡ法作為G-H算法的特殊情況，使用條件是單粒級礦物短時間內的磨礦速率為常數，經驗公式法對于不同礦物求解的誤差較大。

3) 磨礦過程中，物料性質、磨礦介質、磨礦方式及參數和化學添加劑等因素對磨礦動力學的影響十分明顯。通過研究這些影響因素，能夠探究建立更加切合實際磨礦的動力學模型，改善磨礦產品，尤其是化學添加劑與磨礦動力學的結合，值得被關注研究。

4) 磨礦動力學模型在礦物加工領域已開展了許多相關試驗研究且有廣泛應用，今后在磨礦動力學參數求解、磨礦參數對磨礦動力學的影響以及化學添加劑對磨礦動力學參數影響等方面仍需加大研究力度。