含單裂紋帶圓孔板單軸破壞試驗及仿真

經來旺，彭紹馳，李學帥，李樹文，嚴 悅，經 緯

(安徽理工大學土木建筑學院，安徽 淮南 232001)

自然界中的巖石內部不均勻地分布著各種類型的裂紋與空腔，這些裂紋與空腔使得巖石受載時產生高度應力集中現象，導致巖石的峰值強度有所降低，而由于空腔和裂紋的存在，巖石的破壞形態也可能發生改變。在地下工程中，巖石的強度及破壞形態是巷道支護、切頂卸壓等支護方法的重要指標，所以，研究帶空腔與裂紋的巖石強度與破壞形態有著重要的工程意義。

由于空腔與裂紋的應力集中，含裂紋試件的位移解析解的研究很難取得突破，因此目前研究裂紋的主要方法是試驗和仿真。在試驗方面，研究巖石受載過程中裂紋擴展速率、裂紋種類以及能量損耗的試驗主要為聲發射試驗[1-3]，如張志婷等[1]研究了開放性裂隙巖石三軸加載破壞前兆信息；張玉良等[2]研究構建了巖石熱損失演化模型。光彈性試驗主要用于研究裂紋尖端應力分布狀態[4-6]，如周慧穎等[4]開展了V形裂隙類巖石材料單軸壓縮光彈性試驗；REN等[5]研究了不同孔隙結構的應力應變分布。定量化巖石破碎中裂紋擴展的主要方法是CT掃描[7-9]，如劉樹新等[7]利用CT圖像灰度曲線定量分析砂巖損傷規律；張艷博等[8]通過全程CT觀測掃描定量化表征裂紋擴展情況。在數值仿真方面，擴展有限元(extended finite element method，XFEM)使用最為廣泛，但XFEM在進行閉合型裂紋擴展計算時誤差較大，這是由于XFEM在裂紋擴展時難以定義新生裂紋面之間的接觸，且XFEM進行裂紋擴展計算時受裂紋擴展準則影響較大，所以目前裂紋擴展仿真主要針對張開型裂紋，而工程中巖石多處于壓剪應力狀態，針對XFEM對閉合型裂紋計算存在先天性不足，學者們提出了兩種解決方案，即二次開發XFEM[10-11]和顆粒流離散元軟件[12-13]。對于二次開發XFEM，唐世斌等[10]自研軟件FACT(Failure Analysis and Computing Toolkit)集成的MTS準則(最大周向應力準則)成功地預測了巴西圓盤裂紋擴展過程；對于顆粒流離散元軟件，武東陽等[12]利用PFC3D軟件研究了不同錨固角對裂紋擴展的影響。

隨著試驗設備和求解方法的更新，學者們逐漸從單裂紋分析過渡到多裂紋、空腔+裂紋的研究[14-18]，力求研究成果更貼近工程實際，多裂紋方面如MEI等[15]研究了水壓力作用下的平行裂紋和非平行裂紋擴展特征；空腔+裂紋方面如壓縮單裂紋圓孔板(single cleavage drilled compression，SCDC)，SCDC是較為新穎的脆性材料斷裂實驗方法，被廣泛應用于動態裂紋擴展與止裂分析，但其在靜態領域或準靜態領域的研究偏少，尤其是在不同裂紋傾角下的圓孔板破壞特征。針對單裂紋帶圓孔板在不同裂紋傾角下的準靜態破壞研究較少的問題，本文研究了不同裂紋長度、傾角下的類巖石強度及破壞特征，利用顆粒流離散元軟件PFC進行數值仿真，得到各裂紋狀態下類巖石試件的力鏈圖和應力強度因子變化曲線，以及試件破壞強度與裂紋長度和傾角的關系，為地下工程中的巷道支護和切頂卸壓提供參考。

1 類巖石試件制備

水泥和石膏是制備類巖石試件的兩種常用材料，但水泥具有一定的干燥收縮性，水泥干燥后極易產生微小裂紋，給試件的裂紋擴展研究造成較大的誤差，所以本次類巖石試件制備材料選用石膏，但純石膏遇水后迅速凝固，甚至在攪拌過程中就開始硬化，使得震動和裂紋抽拔的時間被極限壓縮，經多次配比試驗發現：當石膏∶水∶減水劑∶消泡劑∶緩凝劑為0.8∶0.2∶0.2%∶0.05%∶0.5%質量比時能較好地解決石膏硬化過快的不足。試件制備如圖1所示，帶圓孔板尺寸為100 mm×100 mm×100 mm，圓孔直徑為15 mm，裂紋采用鍍鋅板替代，厚度0.5 mm，長度分別取7.5 mm、12.5 mm、17.5 mm，取少量膠水，在石膏澆筑之前將鍍鋅板粘貼在模具底部，使鍍鋅板的一端點落在圓孔邊上，且鍍鋅板延長線經過圓孔圓心并與水平線的夾角分別呈0°、15°、30°、45°、60°、75°、90°。將石膏和添加劑充分攪拌后倒入模具中澆筑，放置在振動臺上震動3 min，以排出澆筑過程中產生的氣泡，靜置20 min后，將鍍鋅板輕輕拔出，當石膏表面溫度恢復至室溫時拆除模具，將試件輕輕取下，放入恒溫箱中養護28 d。每組試件各制作3個，本試驗共制備類巖石試件66個。將制備好的試件進行編號見表1。

圖1 類巖石試件制備Fig.1 Preparations for rock-like specimens

2 試驗結果分析

2.1 裂紋擴展規律

本次試驗采用DDL-200型電子萬能試驗機進行單軸壓縮實驗，加載方式選取加載速率為0.1 mm/s的位移控制方式，由于石膏較高的黏性容易造成端部效應，所以在實驗前將試件表面以及試驗機上下夾具表面均勻涂抹凡士林以減小摩擦。在試驗機正前方放置手機支架，用以拍攝試件壓縮過程中的裂紋擴展情況，手機照片采集速度為3幀/s，分辨率為1 080 p，照片連續采集直至試件破碎。

利用照片采集研究試件單軸壓縮時裂紋尖端以及圓孔處裂紋起裂和擴展的過程，單軸壓縮狀態下，帶圓孔板在圓孔兩幫處有應力集中，在無預制裂紋作用下，剪切裂紋從圓孔兩幫發育，隨后呈一定夾角向外擴散；在有預制裂紋作用下，剪切裂紋的發展與裂紋傾角和裂紋長度相關，且由于泊松效應，圓孔頂、底處產生拉伸裂紋，拉伸裂紋萌生速率與預制裂紋的長度和傾角相關，以裂紋長度17.5 mm，裂紋傾角0°分析試件單軸壓縮作用下裂紋起裂、擴展過程。隨著單軸壓縮試驗的進行，圓孔頂、底靠近裂紋部位首先出現拉伸裂紋，隨后裂紋逐步向試件頂、底處擴展；當拉伸裂紋擴展十分明顯后，預制裂紋尖端的剪切裂紋開始萌生并逐步發展；在預制裂紋與剪切裂紋的拐角處，試件表皮逐漸脫落，圓孔左側也開始萌生剪切裂紋，圓孔可觀察到微小的錯動，由于試件位錯的影響，先前在圓孔底部產生的拉伸裂紋逐漸閉合，而孔邊剪切裂紋在拉應力的作用下產生翼型裂紋并向試件頂部擴展；當加載繼續，底部拉伸裂紋完全閉合后，孔邊剪切裂紋發育新的次生共面裂紋，該裂紋屬于剪切型裂紋，并引發新一輪的試件錯動，使得圓孔上方的拉伸型裂紋(包括頂部拉伸裂紋和剪切裂紋誘發的翼型裂紋)逐漸閉合；試驗繼續，由于剪切型裂紋的擴展，試件位錯效應的影響力逐漸下降，各拉伸裂紋重新出現并迅速擴展，直至試件完全破壞。從上述裂紋演化過程可知，含單裂紋的帶圓孔板在單軸狀態下，首先在頂、底部出現拉伸裂紋，隨后在裂紋尖端或孔邊萌生剪切裂紋并造成試件的位錯，試件的位錯效應抑制拉伸裂紋的擴展，隨著剪切裂紋的擴展，位錯效應逐漸降低，拉伸裂紋重新出現，直至試件完全破壞。試件隨加載過程裂紋擴展如圖2所示。

圖2 類巖石單軸壓縮裂紋擴展Fig.2 Crack propagation of rock-like under uniaxial compression

圖3是不同預制裂紋長度、傾角下的類巖石試件單軸破壞圖。其中，圖3(a)是無裂紋破壞實拍圖，裂紋從圓孔兩側出萌生，以剪切裂紋為主進行擴展；圖3(b)～圖3(g)為裂紋長度為7.5 mm，裂紋傾角為15°、30°、45°、60°、75°、90°的試件破壞實拍圖，圖中試件左側裂紋擴展差距不大，但隨著預制裂紋傾角的增大，試件右側裂紋的萌生逐漸從裂紋尖端轉移到圓孔處，這說明裂紋傾角對試件應力狀態有著較大的影響，傾角增大，應力向孔邊處集中；圖3(h)～圖3(o)分別為其對應編號下的破壞實拍圖，隨著裂紋長度的變化，類巖石試件的裂紋萌生位置也隨之改變，裂紋長度越長，應力越容易在裂紋尖端處集中。綜上所述，含單裂紋帶圓孔板的裂紋擴展規律包括以下兩點。

圖3 各編號類巖石試件裂紋擴展Fig.3 Crack propagation of rock-like specimens with different number

1) 拉伸裂紋先剪切裂紋出現，但隨著試驗的進行，由剪切裂紋擴展造成的位錯效應抑制拉伸裂紋的擴展，使得拉伸裂紋逐漸閉合；試驗繼續，位錯效應隨著剪切裂紋的擴展反之減弱，拉伸裂紋得以重新出現并由于泊松效應迅速擴展，直至試件完全破壞。

2) 裂紋傾角與長度對試件的應力狀態有很大的影響，隨著裂紋長度的增加，應力逐漸向裂紋尖端轉移，使得新生裂紋的萌生與擴展也轉向裂紋尖端；隨著裂紋傾角的增加，應力逐漸轉移至孔邊，使得試件右側的新生裂紋萌生與擴展逐漸向孔邊轉移。

2.2 強度分析

預制裂紋能夠有效地改變試件的應力狀態，一方面，預制裂紋的傾角與長度直接影響試件的實際承載截面面積；另一方面，應力在圓孔邊與裂紋尖端的轉移能夠將應力較好地分散，從而減小應力集中系數，使得裂紋的萌生更加困難。研究預制裂紋對試件極限強度的影響，一方面是提高試件的極限強度，尤其是在地下工程中，提高巖體的極限強度對整個工程的穩定性有至關重要的作用；另一方面是降低試件極限強度，尤其是在煤礦采空區切頂卸壓方面的應用，使裂紋向指定方向擴展，讓工程結構的破壞變得可控，各編號類巖石試件的極限強度見表2。

表2 各編號類巖石試件強度Table 2 Strength of rock-like specimens with different numbers

整體而言，類巖石試件的極限抗壓強度隨著預制裂紋長度的增加而減小，隨著預制裂紋傾角的增大而增大，當預制裂紋傾角為75°，預制裂紋長度為7.5 mm、17.5 mm時的類巖石試件的極限抗壓強度甚至超過無裂隙的類巖石試件，這說明合理的裂紋傾角、長度搭配可以獲得更高的極限強度；此外，當預制裂紋傾角為90°時，預制裂紋長度對類巖石試件的強度影響較小，此時的類巖石試件強度十分接近無裂紋的類巖石試件強度，由于摩爾庫倫準則在類巖石材料破壞中被廣泛接受，所以認為剪切破壞是類巖石試件破壞的主要因素，圖3(a)也佐證了這一觀點，這說明預制裂紋傾角為90°時，預制裂紋對剪切裂紋的萌生與擴展沒有實際作用。綜上所述，含單裂紋帶圓孔板的類巖石試件強度規律包括以下兩點。

1) 預制裂紋長度越長，類巖石試件極限抗壓強度越低；預制裂紋傾角越大，類巖石試件極限抗壓強度越高，合理的裂紋長度及傾角搭配，能使試件的極限抗壓強度強度得到提高。

2) 預制裂紋傾角為90°時，試件的抗壓強度幾乎不受影響，預制裂紋對剪切裂紋的萌生與擴展沒有實際作用，但對于拉伸裂紋有促進作用，此時的裂紋從閉合型轉變為張開型。

3 PFC數值仿真

PFC作為一款被巖土工程領域廣泛使用的顆粒流離散元軟件，能夠較為精確地模擬試件單軸壓縮破壞的全過程，PFC仿真一方面能夠重現實驗中不能被直接觀察到的應力分布場景；另一方面可以計算得到試驗中無法獲取的裂紋尖端應力強度因子，為裂紋擴展的進一步分析提供依據。本文利用PFC2D軟件對含單裂紋帶圓孔板類巖石試件進行單軸壓縮試驗，接觸選用線性平行黏結模型(linear parallel bond model，PB)，顆粒半徑0.2～0.3 mm，顆粒數44 461個，預制裂紋直接采用刪除命令制作，PFC模擬黏結參數見表3。

表3 PFC3D模擬黏結參數Table 3 Bonding parameters of PFC3D simulation

對各編號對應的仿真模型進行單軸壓縮試驗，得到各模型破壞云圖、力鏈圖以及裂紋尖端應力強度因子，以無預制裂紋以及預制裂紋長度為7.5 mm為例，得到不同傾角下的模型破壞云圖如圖4所示。

相較于實拍圖，仿真圖中的裂紋擴展分區情況更加清晰，由圖4(b)～圖4(d)可以明顯看出新生裂紋的萌生是從裂紋尖端開始的，由圖4(f)～圖4(h)可以看出新生裂紋從孔邊萌生，再次驗證了裂紋擴展演化規律。但裂紋萌生位置的改變只能定性地驗證應力的轉移，很難對應力轉移進行定量化分析，為了定量化分析應力轉移，本文對實驗中的力鏈變化進行監測，得到軸向應變為0.1%時的類巖石試件力鏈圖如圖5所示。此外，本文在圓孔兩側距圓心8 mm處設置有半徑為2 mm的測量圓，測量圓可以測量實驗中的圓內顆粒平均應力，孔邊平均應力變化曲線圖如圖6所示。

圖4 破壞仿真云圖Fig.4 Failure simulation cloud chart

圖5 顆粒接觸應力Fig.5 Particle contact stress

圖6 孔邊平均應力Fig.6 Average stress at hole edge

圖5中白色稀疏區域為受拉區，隨著裂紋傾角的增大，受拉區的面積逐漸減小；隨著裂紋長度的增加，受拉區的面積逐漸增大。此外，隨著裂紋傾角的增大，應力逐漸從預制裂紋尖端轉移至孔邊，同時，試件整體的受力更加均勻，有利于抗壓強度的提高。從圖6中可以定量化分析應力轉移情況，隨著裂紋傾角的增加，右側孔邊顆粒平均應力不斷攀升，左側孔邊顆粒平均應力先下降后上升，當兩邊平均應力都低于無裂紋應力曲線時，試件的抗壓強度有所提高，如裂紋傾角為75°時，裂紋長度為12.5 mm的右側曲線高于無裂紋，故編號為B-6的試件抗壓強度低于無裂紋時的強度；而裂紋長度為7.5 mm、17.5 mm兩側曲線均低于無裂紋曲線，故編號為A-6、C-6的試件的抗壓強度高于無裂紋時的抗壓強度。綜上所述，數值仿真所得規律可總結以下兩點。

1) 傾角越小、長度越大的預制裂紋會對試件造成更大的受拉區，并且應力更容易在預制裂紋尖端集中，試件整體受力更不均勻。

2) 預制裂紋傾角對孔邊應力的影響大于預制裂紋長度對孔邊應力的影響；隨著裂紋傾角的增加，左側孔邊應力先減小后增大，右側孔邊應力持續增大，當試件圓孔兩側應力曲線均在無裂紋曲線下方時，試件抗壓強度有所提高。

4 應力強度因子

應力強度因子是目前各裂紋擴展準則中的重要參數，如類巖石中常用的MTS準則[19]、MSS準則等。通過研究應力強度因子的變化，可以對工程結構的可靠性與安全性進行評估，在SCDC試驗中，倪敏等[16]推導擬合得出半解析公式，使得SCDC試驗得到進一步的分析，但該公式的適用性僅限于裂紋傾角為90°，且寬徑比小于6的類巖石試件，針對目前不同裂紋傾角下裂紋應力強度因子研究不足的問題，本文首先利用PFC求得裂紋尖端的應力強度因子，其次結合復合型裂紋應力強度因子計算公式，通過四項sin和函數擬合的方法，得到適用于本類巖石試件的擬合型應力強度因子計算公式。圖7為單位軸向壓縮應力下PFC計算得出的裂紋尖端應力強度因子變化曲線，應力強度因子的整體變化規律是隨著裂紋傾角的增大先降低接近至0，而后逐漸升高，裂紋逐漸從閉合型轉變為張開型；并且裂紋長度越大，逼近0所需傾角也越大。函數擬合曲線如圖8所示，擬合參數見表4。

圖7 裂紋尖端應力強度因子Fig.7 Stress intensity factor at crack tip

表4 擬合參數Table 4 Fitting parameters

圖8 函數擬合曲線Fig.8 Fitting curve of function

擬合得到的應力強度因子計算公式見式(1)。

a3sin(b3x+c3)+a4sin(b4x+c4))

(1)

式中：K為應力強度因子；σ為軸向荷載；a為預制裂紋長度。

擬合曲線能夠較好地反映應力強度因子的變化規律如下所述。

1) 隨著預制裂紋傾角的增大，裂紋尖端應力強度因子不斷減小，此時裂紋仍屬于閉合型裂紋；當裂紋傾角達到一定值時，應力強度因子達到最小值，隨后以較大的速度上升，此時裂紋屬于張開型裂紋。

2) 隨著裂紋長度的增加，閉合型裂紋所屬的裂紋傾角范圍越廣，即應力強度因子曲線中最小值所對應的裂紋傾角越大。

5 結 論

本文對含不同裂紋傾角的帶圓孔板進行單軸壓縮試驗，并利用PFC進行數值仿真計算，得到如下結論。

1) 拉伸裂紋先剪切裂紋出現，但隨著試驗的進行，由剪切裂紋擴展造成的位錯效應抑制拉伸裂紋的擴展，使得拉伸裂紋逐漸閉合；試驗繼續，位錯效應隨著剪切裂紋的擴展，反之減弱，拉伸裂紋得以重新出現并由于泊松效應迅速擴展，直至試件完全破壞。

2) 隨著預制裂紋傾角的增大，試件應力集中逐漸從裂紋尖端轉移至孔邊，使得新生裂紋的萌生與擴展向孔邊轉移，同時，試件受拉區域面積逐漸減小，試件的極限抗壓強度逐漸提高；預制裂紋長度增加，試件受拉區域面積顯著上升，且應力集中從裂紋尖端向孔邊過渡更加緩慢，試件的極限抗壓強度降低。

3) 圓孔左側平均應力隨裂紋傾角的增大呈先減小后增大變化規律，圓孔右側平均應力隨裂紋傾角的增大呈逐漸上升趨勢，當同一裂紋長度及傾角下的圓孔兩側平均應力均在無裂紋平均應力之下時，試件的極限抗壓強度比無裂紋時更高，此時的預制裂紋有提高試件強度的作用。

4) 隨著裂紋傾角的增加，裂紋尖端應力強度因子先逐漸降低，此時預制裂紋屬于閉合型裂紋；當預制裂紋傾角達到一定角度時，應力強度因子逐漸上升，此時預制裂紋屬于張開型裂紋；預制裂紋長度的增加可以提高這一角度，并降低張開型裂紋的應力強度因子。

本文試驗僅針對預制裂紋的傾角、長度和單軸應力狀態下的類巖石試件進行研究，而在實際情況中，巖石處于三軸壓縮應力狀態，中間主應力和最小主應力會對裂紋的演化產生抑制作用；并且裂紋大多不垂直分布，在Z軸方向上也存在轉角，故對于含單裂紋的帶圓孔板在復雜應力狀態下的三維裂紋擴展演化分析有待進一步研究。