3X+1迭代數(shù)列的幾個性質(zhì)

吳拿達

（韓山師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣東 潮州 521041）

洛塔爾·科拉茨在20世紀30年代提出“科拉茨（Collatz）猜想”，它有多個不同的名稱：3X+1猜想、角谷猜想、西拉古斯（Syracuse）猜想、冰雹猜想.這個猜想的內(nèi)容是：給定任何一個正整數(shù)，若它是偶數(shù)則除以2，若它是奇數(shù)則讓它乘3再加上1，按照這種規(guī)則不斷地重復計算下去，最終會得到1.例如考慮奇數(shù)7，按上述規(guī)則變換依次如下：數(shù)學家已利用計算機驗算到很大的數(shù)都滿足猜想，但3X+1 猜想至今仍未被完成證明，吸引著眾多的數(shù)學家和數(shù)學愛好者去攻克它.雖然直接攻克它很難，但是長期以來，學者們還是圍繞它做了不少相關研究，這些研究大致可分三種類型.第一種類型就是給出接近的證明，在這方面最有代表性的工作是菲爾茲獎獲得者陶哲軒于2019 年在ArXiv 和其博客上發(fā)表的結果［1］，證明3X+1 猜想對幾乎所有的正整數(shù)都成立，但陶哲軒自己也承認把“幾乎所有”變成“所有”還有巨大的鴻溝要跨越.第二種類型的工作是針對猜想的一些算法與計算研究，例如文獻［2］就是這方面的代表作，文獻［3］則進一步考慮計算需要的一些硬件條件的改進.第三種類型的工作就是對3X+1 猜想進行各種轉化，獲得與猜想密切相關的一些概念，然后對這些相關內(nèi)容做進一步的研究，以期獲得解決猜想的契機，例如文獻［4］定義了3X+1 猜想的等價集，并以此給出3X+1 猜想的一個等價命題，文獻［5］則對與3X+1 猜想密切相關的一些代數(shù)概念進行深入研究.本文的研究也屬于第三種類型，為此，先介紹相關的一些概念.

對任意一個正奇數(shù)x0，設

其中k0，k1，...，ki，...，x1，x2，...，xi，...都為正整數(shù).稱上述數(shù)列{xn}n>=0為x0的3X+1 迭代數(shù)列.若存在正整數(shù)N，使得對任意i>N，都有xi=1，則稱x0回歸于1，否則稱x0不回歸1.例如，

所以，7回歸于1，其3X+1迭代數(shù)列是{7，11，17，13，5，1，1，....，1，...}.

根據(jù)上面的概念，顯然“3X+1猜想”與下面兩種表述等價［6］：

（1）所有的正奇數(shù)都回歸于1;

（2）任意正奇數(shù)的3X+1迭代數(shù)列從某項開始恒等于1.

探尋正奇數(shù)的3X+1 迭代數(shù)列性質(zhì)對最終解決該猜想可能會有積極的意義，而這正是本文要重點研究的內(nèi)容.

首先利用組合數(shù)學中一類非齊次線性遞推關系的求解理論來證明本文的主要結論之一定理1.為此，下面先列出幾個相關引理.

特別當t=k,e1=e2= …=ek= 1, 此時遞推關系的通解是un=++…+.

1.10 Western blot檢測心臟組織中 IL-17、RORrt、IL-10、Foxp3蛋白表達 取出保存好小鼠心臟組織添加蛋白裂解液研磨，離心后收集上清液，采用蛋白提取試劑盒提取總蛋白，BCA試劑盒測定蛋白總濃度，SDS-PAGE電泳結束后，凝膠轉移至PVDF膜上行轉膜反應，添加5%脫脂牛奶室溫下封閉1 h清洗后，加入一抗，4℃過夜，TBST清洗后滴加羊抗鼠IgG二抗，TBST清洗后ECL發(fā)光，置于凝膠成像儀中觀察蛋白表達情況。

引理2（［7，定理3.16］）.若un=Bn是常系數(shù)線性齊次遞推關系un=a1un?1+a2un?2+ …+akun?k(n≥k)的 通 解，un=bn是 常 系 數(shù) 線 性 非 齊 次 遞 推 關 系un=a1un?1+a2un?2+ …+akun?k+f(n)(n≥k)的一個解（其中f(n)是以非負整數(shù)n為自變量的實函數(shù)），則un=Bn+bn(n為非負整數(shù))是該常系數(shù)線性非齊次遞推關系的通解.

引理3（［7，定理3.17］）.若1 是常系數(shù)線性齊次遞推關系un=a1un?1+a2un?2+ …+akun?k(n≥k)的i重特征根（i為非負整數(shù)），f(n)是非負整數(shù)n的m次多項式，則常系數(shù)線性非齊次遞推關系un=a1un?1+a2un?2+ …+akun?k+f(n) (n≥k)有形如un=nig(n)的特解，其中g(n)是n的一個m次多項式.

下面給出定理1并利用上述幾個引理加以證明.

推論1若y0是正奇數(shù)，{yn}n≥0是y0的3X+1迭代數(shù)列，則{yn}n≥0不是嚴格單調(diào)遞增數(shù)列.

推論2若y0是正奇數(shù)，{yn}n≥0是y0的3X+1 迭代數(shù)列，則對任意非負整數(shù)N，{yn}n≥N不是嚴格單調(diào)數(shù)列.

注意到關于y的一元方程3y+ 1 = 2ky（k為正整數(shù)）僅當k=2時有正整數(shù)解，此時唯一的正整數(shù)解y= 1.所以若{yn}n≥0是正奇數(shù)y0的3X+1迭代數(shù)列，則僅yi= 1時，才可能成立3yi+ 1 = 2kyi+1，此時k=2.若y0是不回歸于1 的正奇數(shù)，則對任意非負整數(shù)i，yi>1，所以不回歸于1 的正奇數(shù)的迭代數(shù)列不可能是最終常值數(shù)列，故下列推論成立.

推論3若y0是不回歸于1的正奇數(shù)，{yn}n≥0是y0的3X+1迭代數(shù)列，則對任意非負整數(shù)N，{yn}n≥N既不是嚴格單調(diào)數(shù)列，也不是最終常值數(shù)列.

證明根據(jù)定義，3yi+ 1 = 2kiyi+1（i≥0），下用反證法證明，假設存在某個正整數(shù)n，使得yn≡0(mod3 )，則3yn?1+ 1 = 2kiyn，從而3yn?1+ 1 ≡2kiyn(mod3 )，進而1 ≡0(mod3 )，矛盾.所以假設不成立，命題得證.注：這個定理表明，在一個正奇數(shù)的3X+1迭代數(shù)列中僅首項可能被3整除.

定理3若y0是正奇數(shù)，{yn}n≥0是y0的3X+1迭代數(shù)列，則下列各條件等價：

（i）{yn}n≥1每項恒等于1;

(ii)y1=1;

（iii）為正整數(shù)}.

推論4對任意正整數(shù)k,是一個正奇數(shù)，且它是一個回歸于1的數(shù).

結束語：本文分別應用了初等數(shù)論的同余和組合數(shù)學中的求解遞推關系兩個工具來證明3X+1 迭代數(shù)列的若干性質(zhì).3X+1迭代數(shù)列還有不少性質(zhì)值得我們?nèi)ミM一步探尋.若我們把推論4中給出的那些正奇數(shù)看成“第一層的回歸于1 的數(shù)”，那么所謂的“第二層的回歸于1 的數(shù)”又會有怎樣的特征？“第n層的回歸于1的數(shù)”又如何呢？這都是值得進一步探討的問題.