帶形狀參數(shù)的n次Bézier曲線

程黃和

（廣東汕頭幼兒師范高等專科學(xué)校，廣東 汕頭 515078）

計算機輔助幾何設(shè)計（CAGD）是隨著航空、汽車等現(xiàn)代工業(yè)的發(fā)展與計算機的出現(xiàn)而產(chǎn)生與發(fā)展起來的一門新學(xué)科，研究對象主要是工業(yè)產(chǎn)品的幾何形狀設(shè)計，其自由型曲線曲面是產(chǎn)品形狀設(shè)計中的一種主要方式.Bézier 曲線曲面有諸多的優(yōu)點，它是自由型曲線曲面設(shè)計中常用的曲線之一.雖然Bézier 曲線具有諸多優(yōu)點，但也存在一些不足.例如：對于Bézier 曲線曲面而言，當選定曲線曲面次數(shù)以后，其形狀便由控制頂點唯一確定，因此在需要調(diào)整曲線的形狀時，只能通過調(diào)整控制多邊形所對應(yīng)的控制頂點來實現(xiàn).但有理Bézier 曲線和有理B-樣條曲線［1-2］中的權(quán)因子以及帶形狀參數(shù)的均勻B樣條曲線［3］中的形狀參數(shù)都具有調(diào)整曲線形狀的作用.為了對此進行改進，近年來學(xué)者們提出了多種帶形狀參數(shù)的Bézier 曲線曲面［4-19］.這些曲線曲面有的定義在多項式函數(shù)空間上［4-14］，有的定義在非多項式函數(shù)空間上［15-19］，如三角函數(shù)空間［15-16］、雙曲函數(shù)空間［17-19］.這些曲線曲面的共同點是構(gòu)造含參數(shù)的調(diào)配函數(shù)，然后用調(diào)配函數(shù)與控制頂點來定義曲線曲面.正是因為調(diào)配函數(shù)中含有參數(shù)，通過選擇不同的參數(shù)值，使得真正參與計算的調(diào)配函數(shù)是不一樣的，這樣一來，即使不改變控制頂點，曲線曲面的形狀依然可以通過改變形狀參數(shù)的取值來進行調(diào)整.

雖然目前有眾多文獻給出了多種帶形狀參數(shù)的Bézier 曲線曲面［4-14］，但多數(shù)都是低次帶形狀參數(shù)Bézier 曲線曲面［4-9］，而提出的n次帶形狀參數(shù)Bézier 曲線曲面［13-14］盡管具有與Bézier 曲線類似的端點性質(zhì)、對稱性、凸包性、幾何不變性等，但沒有分割性.本文提出了一類新的n+1（n≥1）次帶形狀參數(shù)的多項式調(diào)配函數(shù)，并討論了其調(diào)配函數(shù)的性質(zhì)，其具有遞推性、規(guī)范性和非負性等.由給出的多項式調(diào)配函數(shù)，建立了帶形狀參數(shù)的自由曲線生成方法，研究了所生成曲線的性質(zhì)，所生成曲線具有如端點性質(zhì)、對稱性、凸包性、幾何不變性等與Bézier 曲線的類似性質(zhì).研究結(jié)果表明：在控制多邊形不變的情況下，可以通過改變形狀參數(shù)的值來調(diào)整曲線的形狀.

1 調(diào)配函數(shù)的定義及其性質(zhì)

當λ= 0 時，式（3）為第i+ 1 個n次Bernstein 基函數(shù)Bi,n(t).稱函數(shù)組為n次λ-Bernstein調(diào)配函數(shù).圖1給出了形狀參數(shù)λ取不同值的三次λ-Bernstein調(diào)配函數(shù)的圖形.

圖1 不同形狀參數(shù)的bi,3(t),(i = 0,1,2,3)圖形

下面若干命題說明（3）式定義的n次λ-Bernstein調(diào)配函數(shù)符合自由曲線曲面設(shè)計的要求.

命題1λ-Bernstein調(diào)配函數(shù)具有遞推性.即

其中n= 3,4,5…,i= 0,1,2,…,n.并規(guī)定b-1,n-1(t)=bn,n-1(t)≡0.

證明因為Bernstein基函數(shù)Bi,n(t)具有遞推性，即

因此，只需證Ai,n(t)具有遞推性即可，直接計算有

命 題2當t∈[0,1]，λ∈[-2,1]時，對 所 有n≥2，由 式（3） 定 義 的λ-Bernstein調(diào) 配 函 數(shù)具有非負性.

證明取n= 2，由（3）得

式（5）是文獻［4］定義的二次帶形狀參數(shù)λ的調(diào)配函數(shù)，由文獻［4］知

當t∈[0,1]，λ∈[-2,1]時，bi,2(t)≥0,(i= 0,1,2).

再結(jié)合式（4）可證當t∈[0,1],λ∈[-2,1]且n≥3時，有

命題3對所有n≥2，由式（3） 定義的λ-Bernstein調(diào)配函數(shù)具有規(guī)范性，即

證明由文獻［4］或直接計算知，當n= 2時，式（6）成立.

假設(shè)當n=k時，有bi,k(t)≡1成立，則當n=k+ 1時，由式（5）及歸納假設(shè)有

命題4對所有n≥2，由式（3）定義的λ-Bernstein調(diào)配函數(shù)具有對稱性，即

bi,n(1 -t)=bn-i,n(t),i= 0,1,2,…,n

證明先證n≥2時，Ai,n(t)(i= 0,1,…,n)具有對稱性，由式（2）有

又Bernstein基函數(shù)也具有對稱性，再結(jié)合式（3）得命題成立.

命題5當λ∈(-2,1]時，對所有n≥2，由式（3）定義的λ-Bernstein調(diào)配函數(shù)線性無關(guān)的.

證明注意到n次Bernstein基函數(shù)有升階公式，即

從而式（5）可以改寫成

又λ≠2，從而k0=k1=k2= 0，即n= 2時，命題5成立.

假設(shè)n=k時，命題5成立，則當n=k+ 1時，考慮線性組合

根據(jù)歸納假設(shè)得mi= 0(i= 0,1,…,k+ 1).

命題6對所有n≥2,i= 0,1,…,n有

證明由式（3）與式（7）可得，對所有n≥2,i= 0,1,…,n有

即第i+1個n次λ-Bernstein調(diào)配函數(shù)可以表示成2個相鄰的同次Bernstein基函數(shù)的線性組合.又因為Bernstein基函數(shù)具有以下端點性

從而由式（11）、（12）、（13）直接計算可證式（9）、（10）成立.

2 可調(diào)曲線的定義及性質(zhì)

設(shè)給定控制頂點pi∈Rd(d= 2,3,i= 0,1,…,n),n≥2

式（14）對于?λ∈[-2,1]確定了一條多項式曲線，稱該曲線p(t)為帶形狀參數(shù)λ的Bézier曲線.

根據(jù)命題1 到命題6 可知，帶形狀參數(shù)λ的Bézier 曲線p(t)與Bézier 曲線有許多類似的性質(zhì)，包括對稱性、凸包性、幾何不變形、首末端點的插值性以及首末端點處的導(dǎo)矢性等特性.另外帶形狀參數(shù)λ的Bézier 曲線p(t)可以通過調(diào)整形狀參數(shù)的值來改變曲線的形狀.在自由曲線設(shè)計時，復(fù)雜的曲線往往由若干分段曲線拼接而成，只需要求在拼接點處滿足一定的連續(xù)性要求即可.

考慮另一帶形狀參數(shù)?ω∈[-2,1]的m次Bézier曲線

其中pi+n∈Rd(d= 2,3,i= 0,1,…,m),m≥2為控制頂點.

命題7當三控制頂點pn-1,pn,pn+1(n≥2)共線時，式（14）與（15）定義的帶形狀參數(shù)Bézier 曲線是G1連續(xù)的.

證明由式（9）（10）直接計算得

因此式（14）與（15）定義的帶形狀參數(shù)Bézier 曲線在連接點p n處是G1連續(xù)的，且與形狀參數(shù)λ、ω的取值無關(guān)，即對拼接而成的曲線，形狀參數(shù)的選擇是局部的.

3 曲線的應(yīng)用

圖2 給出了具有相同控制頂點，但形狀參數(shù)λ取不同值的帶形狀參數(shù)的三次Bézier 曲線.圖中折線部分為控制多邊形p0p1p2p3，曲線部分依次為λ= -2,-1,0,1,2 時帶形狀參數(shù)的三次Bézier 曲線.可見，λ取值越接近2，曲線越靠近控制多邊形.且當λ= 2時，曲線過線段p1p2的中點，這一點對帶形狀參數(shù)的三次Bézier 曲線來說具有普遍性，圖3 給出了λ= 2 是bi,3(t),(i= 0,1,2,3)的圖形，另一方面當λ= 2時，根據(jù)式（3）直接計算可得

圖2

圖3

圖4 給出了形狀參數(shù)去不同值時的星形圖形的應(yīng)用實例，通過調(diào)整形狀參數(shù)可以很好的對曲線形狀進行微調(diào).后續(xù)將進一步討論帶形狀參數(shù)的Bézier曲線性其它相關(guān)性質(zhì).

圖4

4 結(jié)論及展望

帶形狀參數(shù)的多項式調(diào)配函數(shù)構(gòu)造的曲線具有Bézier 曲線的特征，如端點插值、端邊相切、凸包性、幾何不變性等.但在計算上比同次的Bézier 曲線計算量大，可以利用海納算法計算，另外因為調(diào)配函數(shù)具有遞推性，也可以用德卡斯特里奧（De Casteljau）算法來計算曲線.本文的曲線優(yōu)點在于：對于相同的控制頂點，可以通過調(diào)整形狀參數(shù)來調(diào)整曲線的形狀；運用張量積，可以將曲線情形推廣到曲面情形.篇幅所限本文沒有對形狀參數(shù)的取值范圍以及形狀參數(shù)的選取對曲線的影響進行詳細的探討.這也是將來需要進一步研究和完善的工作.