奇完全數素因子指數的下界和相異素因子個數

李妍玲，陳慧嬌，吳曉玲，譚嘉欣

（韓山師范學院 數學與統計學院，廣東 潮州 521041）

完全數（Perfect number），又稱完美數或完備數，是一些特殊的自然數.它所有的真因子（即除了自身以外的約數）的和恰好等于它本身.例如6是最小的完全數，因6=3+2+1.

尋找更多完全數并不是容易的事.古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》中指出，如果2p-1是素數（這樣的素數成為梅森素數，其中指數p也是素數），則2(p-1)(2p- 1)是完全數.這指出了梅森素數與完全數的關聯，即找到一個梅森素數也就找到了一個完全數.但梅森素數也不好找，截止目前，共找到了51 個梅森素數，其中第51 個為2018 年12 月21 日找到的.這也意味著目前一共找到了51 個完全數.顯然，通過梅森素數找到的完全數都是偶數.那么有沒有奇完全數呢?至今，許多數學家都在嘗試解決這個著名的問題.盡管暫時沒有發現奇完全數，但是當代數學家奧斯丁歐爾證明，若有奇完全數，則其形式必然是12p+1或36p+9的形式，其中p是素數.對于奇完全數的性質以及某些正整數是否是奇完全數的問題已有大量文獻，如侯漢生的《奇完全數每個素因子的指數≥8及推論》［1］.

設N=表示整數N的標準分解式，K為N含不同素因子的個數.設n為正整數，σ(n)表示n的所有正因子之和.例如：σ(4)= 4 + 2 + 1 = 7，σ(6)= 6 + 3 + 2 + 1 = 12，σ(12)= 12 + 6 +4 + 3+ 2 + 1= 28.顯然n是一個完全數，當且僅當σ(n)= 2n.當σ(n)>2n，稱n是過剩數.例如12就是一個過剩數.σ(n)為研究奇完全數的重要工具，它有一個常用的性質［2］：p，q是兩個互質的正整數，則σ(pq)=σ(p)σ(q).這個性質將在下文的證明中多次用到.下面三個結論與本文要證明的主要結果關系密切.

結論1［3］：奇完全數必形如P4t+1θ2，t為整數，P是4T+ 1形素數，(P,θ)= 1.結論2［4］：以ω(n)表示為奇完全數n相異素因數的個數，ω(n)≥9.

結論3［5］：若3不整除n，則ω(n)≥40.

本文將證明如下兩個定理：

定理1如果正整數n是既不被3整除也不被5整除的奇完全數，則ω(n) ≥221.

定理2設N=，其中pi均為素數且α1≡p1≡1(mod4)，α2,…,αk為偶數，若N為奇完全數，則對任意i≤k，有αi≥k- 1.

由上述兩個定理可得如下推論：

推論1如果正整數n是既不被3 整除也不被5 整除的奇完全數，則n的每個素因數的指數不小于220.

1 定理1的證明

定理1如果正整數n是既不被3整除也不被5整除的奇完全數，則ω(n)≥221.

證明將n寫成標準分解式n=，其中p1,p2…ps是相異的奇素數，α1,α2,…,αs∈N+，由于n是奇完全數，根據完全數的定義，有σ(n)= 2n，而σ是積性函數，進而有如下關系式

進而有

構造函數f(x)=，當x1,x2∈[3,+∞)，且x1

則函數f(x)=在區間[3,+∞)是單調遞減的，又x≥3,f(x)>1.那么，在討論奇完全數n=的奇素因數pi(i= 1,2,…,s)時，只需考慮最小奇素數的情況，而根據文獻［6-7］，可知，在奇完全數n=的奇素因數pi(i= 1,2,…,s)中，n的最大質因數大于108，第二個大質因數大于104.而在素數序列中，100000007是大于108且滿足100000007 ≡3(mod4)的第一個素數，10007是大于104且滿足10007 ≡3(mod4)的第一個素數.

現假設ω(n)= 220，13 是第一個繼5 之后滿足13 ≡1(mod4)的奇素數，根據文獻［8-9］的結論，以及上面的分析，可令

2 定理2的證明

定理2設N=，其中pi均為素數且α1≡p1≡1(mod4)，α2,…,αk為偶數，若N為奇完全數，則對任意i≤k，有αi≥k- 1.

此前有文獻［9］對定理2曾用非數論專業的語言給出證明，下文用數論專業語言證明定理2.為此，先證明下述兩個引理：

引理1對任意的i≥2,pi|σ().

證明N=為N的標準分解式 K為N的不同素因子個數，

令N=·θ2=，其中α1= 4t+ 1，αi為偶數，2 ≤i≤k，pi為奇素數.

下面用反證法證對任意i≥2，pi|σ(pα).

假設此結論不成立，則存在一些pt不整除σ(pα)(t≥2).

不妨設p2p3…pj都整除σ(pα)，而pj+1pj+2…pk都不整除σ(pα).

引理2對任意1 ≤i≤k,2 ≤j≤k且i≠j，都有Pi|σ().

證明選取σ()為研究對象，令

所以σ(θ2)=.

下面用反證法證?1≤i≤k,2≤j≤k且i≠j，都有Pi|σ().

假設此結論不成立，則存在一些Pt不整除σ()(t≠2 ).

不妨設P1,P3,…,Pj都整除σ()而P2,Pj+1,…,Pk都不整除σ().

這與過剩數不能充當奇完全數N的因數矛盾，故P1P3…Pk|σ().

以此類推，有?1≤i≤k,2 ≤j≤k且i≠j，都有Pi|σ().

由引理1和引理2得：?正整數t1,t2,…,tk使得對任意1 ≤j≤k，

（致謝：本文在韓山師范學院大學生創新創業訓練計劃項目（編號2020221）的支持下完成.感謝項目組黃琪、詹曉燕、黃麗萍、林芷晴等同學對完成本文的支持與幫助.）