基于幾何畫板實(shí)現(xiàn)大自然中分形圖形的繪制

李 鈺，李曉穎，吳曉紫，許紹元

（韓山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 潮州 521041）

分形幾何，就是研究無限復(fù)雜但具有一定意義的自相似圖形和結(jié)構(gòu)的幾何學(xué)［1］.一般地說，分形具有五個(gè)基本特征或性質(zhì)：形態(tài)的不規(guī)則性；結(jié)構(gòu)的精細(xì)性；局部與整體的自相似性；維數(shù)的非整數(shù)性；生成的迭代性.具有如上性質(zhì)的圖形就被稱做分形，如大自然中的山、樹、云、海岸線［2］.因此，分形在自然界中可以說無處不在.

分形圖形有個(gè)很重要的性質(zhì)就是自相似性，即部分和整體嚴(yán)格的相似，部分又可以無限小，這樣的圖形給人造成視覺上的強(qiáng)烈沖擊體驗(yàn).之所以選擇幾何畫板作為分形圖形的繪制工具，是因?yàn)樗菙?shù)學(xué)教學(xué)中必不可少的教育軟件，以數(shù)學(xué)為根本，以“動(dòng)態(tài)幾何”為特色來動(dòng)態(tài)表現(xiàn)設(shè)計(jì)者的思想［3］.另外，它還擁有強(qiáng)大的迭代功能與圖形處理能力，所以通過幾何畫板可以靈活實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)中大自然之美——分形圖形的繪制.在幾何畫板軟件作圖中，繪制的主要思路是從一個(gè)基本圖形（稱其為原像圖）開始進(jìn)行迭代操作，利用自相似原理，得到下一層自相似的構(gòu)造圖形（稱其為初像圖），再把當(dāng)前構(gòu)造圖形作為基本圖形，利用迭代操作得到下下一層自相似的構(gòu)造圖形，無限迭代操作就得到分形圖形［4］.本文通過基礎(chǔ)圖形尤其是三角形的迭代效果研究，制作了大自然中有趣的分形圖形如海螺、花紋刺繡、蓮花、五角星.分形幾何本意是用來描述自然界中傳統(tǒng)歐氏幾何無法描述的不規(guī)則的復(fù)雜的幾何對(duì)象，如蜿蜒曲折的海岸線，起伏不定的山脈，粗糙不堪的斷面，變幻無常的浮云［5］.通過繪制分形圖形，可以聯(lián)想到將分形幾何和自然界的事物聯(lián)系起來，從而使圖形更具有實(shí)際意義進(jìn)而探討對(duì)初等數(shù)學(xué)教學(xué)研究的意義.

1 海螺

1.1 制作步驟

（1）在水平方向上構(gòu)造線段AB，鼠標(biāo)單擊線段AB并執(zhí)行“構(gòu)造-中點(diǎn)”命令構(gòu)造AB中點(diǎn)C.

（2）鼠標(biāo)單擊點(diǎn)B雙擊點(diǎn)C并執(zhí)行“變換-縮放1/5”命令得到點(diǎn)B'，再用同樣命令鼠標(biāo)單擊點(diǎn)A雙擊點(diǎn)C并執(zhí)行“變換-縮放1/5”命令得到點(diǎn)A'，鼠標(biāo)單擊線段A'A并執(zhí)行“構(gòu)造-中點(diǎn)”命令構(gòu)造A'A中點(diǎn)A''.

（3）依次單擊點(diǎn)C、B'、A'執(zhí)行“構(gòu)造-圓上的弧”命令得到弧A'B'，依次單擊點(diǎn)A、A''、A'執(zhí)行“構(gòu)造-圓上的弧”命令得到弧A'A.

（4）鼠標(biāo)單擊點(diǎn)B'雙擊點(diǎn)C并執(zhí)行“變換-旋轉(zhuǎn)68°”命令得到點(diǎn)E，鼠標(biāo)單擊點(diǎn)A'雙擊點(diǎn)C并執(zhí)行“變換-旋轉(zhuǎn)-68°”命令得到點(diǎn)F.

（5）鼠標(biāo)單擊點(diǎn)E、F執(zhí)行“構(gòu)造-線段”得到線段EF，鼠標(biāo)單擊線段EF并執(zhí)行“構(gòu)造-中點(diǎn)”命令構(gòu)造EF中點(diǎn)D，再依次單擊點(diǎn)E、D、F執(zhí)行“構(gòu)造-圓上的弧”命令得到弧EF.

（6）鼠標(biāo)分別單擊弧EF、弧A'B'雙擊點(diǎn)C并執(zhí)行“變換-旋轉(zhuǎn)180°”命令，結(jié)果如圖1所示.

圖1 海螺原始圖像

（7）利用工具欄上數(shù)據(jù)中的新建參數(shù)功能，建立參數(shù)n=3.依次單擊點(diǎn)A、B和參數(shù)n，按住Shift鍵不動(dòng)并選擇“變換-深度迭代”命令，在迭代窗口A→A'、B→B，再選擇結(jié)構(gòu)中添加新的映射A→A'、B→A，最后按迭代選項(xiàng)，結(jié)果如圖2所示.

圖2 海螺參數(shù)n=3

改變參數(shù)n的數(shù)值，海螺結(jié)構(gòu)數(shù)量會(huì)變化.n=4的海螺如圖3所示.

圖3 海螺參數(shù)n=4

1.2 圖形意義

海螺是大自然中的實(shí)物，從原始圖像到最后呈現(xiàn)的海螺，它的迭代過程比較靈活，在幾何畫板的創(chuàng)作過程中可以讓學(xué)生直觀地感受分形迭代的運(yùn)算過程，給予學(xué)習(xí)者充分的想象空間和創(chuàng)造空間；在教學(xué)中引入這種“大自然的幾何”，可以給課堂帶來更多生動(dòng)性，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，為拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)面打下良好的基礎(chǔ).另外，大自然中的數(shù)學(xué)魅力，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，使學(xué)生對(duì)分形幾何產(chǎn)生濃厚的興趣.用幾何畫板繪制的成果（圖2、圖3）還可以用作網(wǎng)絡(luò)圖標(biāo)、宣傳圖案等，充分體現(xiàn)了分形圖形應(yīng)用的多元性以及實(shí)用性.

2 花紋刺繡

2.1 制作步驟

（1）在畫板上構(gòu)造線段AB，鼠標(biāo)單擊點(diǎn)A雙擊點(diǎn)B并執(zhí)行“變換-旋轉(zhuǎn)-60°”命令得到點(diǎn)A'，再分別單擊點(diǎn)A、A'、B執(zhí)行“構(gòu)造-線段”命令（ctrl+L）得到三角形AA'B.

（2）鼠標(biāo)分別單擊線段AB和A'B并執(zhí)行“構(gòu)造-中點(diǎn)”命令構(gòu)造AB中點(diǎn)C和A'B中點(diǎn)D.

（3）鼠標(biāo)單擊點(diǎn)A、C雙擊點(diǎn)B并執(zhí)行“變換-旋轉(zhuǎn)60°”命令得到點(diǎn)A1、C1，再將點(diǎn)A1、C1用同樣方式得到點(diǎn)A2、C2（以此類推得到點(diǎn)A3、C3、A4、C4），結(jié)果如圖4所示.

圖4 花紋刺繡原始圖像

（4）利用工具欄上數(shù)據(jù)中的新建參數(shù)功能，建立參數(shù)n= 4.依次單擊點(diǎn)A、B和參數(shù)n，按住Shift鍵不動(dòng)并選擇“變換-深度迭代”命令，在迭代窗口A→A'、B→B，再選擇結(jié)構(gòu)中添加新的映射A→D、B→A'，以此類推重復(fù)上面操作（A→C、B→A）；（A→C1、B→A1）；（A→C2、B→A2）；（A→C3、B→A3）；（A→C4、B→A4），最后按迭代選項(xiàng)，結(jié)果如圖5所示.

圖5 花紋刺繡參數(shù)n=4

（5）改變參數(shù)n的數(shù)值，花紋結(jié)構(gòu)數(shù)量會(huì)變化.n=5的花紋如圖6所示.

圖6 花紋刺繡參數(shù)n=5

2.2 圖形意義

刺繡是中國古老的手工技藝之一，制作花紋刺繡，將這些大自然中的元素融合到一起，形成獨(dú)特的美感，創(chuàng)造出奇異的視覺效果.所以分形圖形的美學(xué)可以與生活中的許多元素掛鉤，比如中國刺繡繡品在圖案的結(jié)構(gòu)上非常嚴(yán)謹(jǐn)，并且有著非常明確的幾何布局，可以將花紋刺繡與分形幾何的教學(xué)相結(jié)合.

3 蓮花

3.1 制作步驟

（1）在畫板上構(gòu)造點(diǎn)O、點(diǎn)A，鼠標(biāo)單擊點(diǎn)A并執(zhí)行“變換-平移0°；2cm”命令得到點(diǎn)B.

（2）鼠標(biāo)單擊點(diǎn)A、B雙擊點(diǎn)O并執(zhí)行“變換-旋轉(zhuǎn)90°”命令得到點(diǎn)A'、點(diǎn)B'，再分別單擊點(diǎn)A、O、A'執(zhí)行“構(gòu)造-過三點(diǎn)弧”命令得到弧AOA'.

（3）鼠標(biāo)單擊點(diǎn)A、B雙擊點(diǎn)O并執(zhí)行“變換-旋轉(zhuǎn)45°”命令得到點(diǎn)A1、B1，再將點(diǎn)A'、B'執(zhí)行“變換-旋轉(zhuǎn)90°”命令得到點(diǎn)A2、B2，再用同樣的方式得到點(diǎn)A3、B3，結(jié)果如圖7所示.

圖7 蓮花原始圖像

（4）利用工具欄上數(shù)據(jù)中的新建參數(shù)功能，建立參數(shù)n=2.依次單擊點(diǎn)A、O和參數(shù)n，按住Shift鍵不動(dòng)并選擇“變換-深度迭代”命令，在迭代窗口A→A'、B→O，再選擇結(jié)構(gòu)中添加新的映射A→A3、B→O，以此類推重復(fù)上面操作（A→B1、B→O）；（A→B'、B→O）；（A→B2、B→O）；（A→B3、B→O），最后按迭代選項(xiàng)，結(jié)果如圖8所示.

圖8 蓮花參數(shù)n=2

（5）改變參數(shù)n的數(shù)值，蓮花花瓣結(jié)構(gòu)數(shù)量會(huì)變化.n=3的蓮花如圖9所示.

圖9 蓮花參數(shù)n=3

3.2 圖形意義

蓮花也是大自然中的自然風(fēng)光，具有數(shù)學(xué)之美，將自然中的花與分形圖形的自相似性結(jié)合起來，可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)世界與真實(shí)世界之間深?yuàn)W的關(guān)系，利用幾何畫板這樣優(yōu)秀的教學(xué)軟件，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知產(chǎn)生一個(gè)更深層面的理解.繪制成果（圖2、圖8）可以用來作網(wǎng)絡(luò)圖標(biāo)、宣傳圖案等，也可以用來當(dāng)作教學(xué)分形圖形中的自然例子，從而吸引學(xué)習(xí)者對(duì)數(shù)學(xué)的興趣.

4 五角星

4.1 “星”連“星”制作步驟

（1）利用線段工具，任取線段AB，選中線段及點(diǎn)A，雙擊點(diǎn)B，利用變換中的旋轉(zhuǎn)功能，旋轉(zhuǎn)參數(shù)為固定角度36°，將新產(chǎn)生的點(diǎn)命名為C.用同樣的方法，依次繞C、D、E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到五角星圖形如圖10所示.

圖10 五角星原始圖像

（2）利用移動(dòng)箭頭工具，鼠標(biāo)在各線段交叉點(diǎn)處點(diǎn)擊下，出現(xiàn)交點(diǎn)，分別命名為F、G、H、I、J點(diǎn).

（3）新建參數(shù)n=2，順次選擇A、B兩點(diǎn)和參數(shù)n，按下shift鍵不放，作深度迭代（A，B）→（F，J）→（J，I）→（I，H）→（H，G）→（G，F(xiàn)），結(jié)果如圖11所示.

圖11 “星”連“星”參數(shù)n=2

（4）改變參數(shù)n，觀察圖形變化，結(jié)果如圖12所示.

圖12 “星”連“星”參數(shù)n=3

4.2 五“星”鑲嵌制作步驟

（1）操作與4.1一樣，如圖10所示.

（2）利用移動(dòng)箭頭工具，鼠標(biāo)在各線段交叉點(diǎn)處點(diǎn)擊下，出現(xiàn)交點(diǎn)，分別命名為F、G、H、I、J點(diǎn).選中F、G、H、I、J點(diǎn)，構(gòu)造五邊形內(nèi)部，度量其面積，然后選中五邊形內(nèi)部和度量結(jié)果，點(diǎn)擊【顯示】【顏色】【參數(shù)】.

（3）新建參數(shù)n= 3，順次選擇A、B兩點(diǎn)和參數(shù)n，按下shift 鍵不放，作深度迭代（A，B）→（J，I）→（I，H）→（H，G）→（G，F(xiàn)）→（F，J），結(jié)果如圖13所示.

圖13 五“星”鑲嵌參數(shù)n=3

（4）改變參數(shù)n，觀察圖形變化，結(jié)果如圖14所示.

圖14 五“星”鑲嵌參數(shù)n=4

4.3 圖形意義

五角星的創(chuàng)意來源于我國的五星紅旗，它的迭代結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)緊密聯(lián)系，利用現(xiàn)代計(jì)算機(jī)信息技術(shù)，可以將其引入教學(xué)課堂中，最大限度幫助學(xué)生更好地理解所學(xué)的知識(shí)，五角星中還有一個(gè)五角星這樣清晰的圖片展示能有效激發(fā)學(xué)生的想象力，調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)探索科學(xué)知識(shí)的興趣，同時(shí)，賦予原本令人枯燥無味的數(shù)學(xué)生機(jī)活力，使學(xué)生在趣味學(xué)習(xí)中認(rèn)識(shí)分形.該分形圖形（圖11、圖13）可以應(yīng)用于廣告封面、logo制作等宣傳工作，在弘揚(yáng)愛國之心的同時(shí)彰顯著數(shù)學(xué)的魅力.

5 結(jié) 語

文中給了來自大自然的分形圖形，它們都與現(xiàn)實(shí)世界緊緊聯(lián)系.加上“幾何畫板”的動(dòng)態(tài)幾何功能，可以形象生動(dòng)地展現(xiàn)幾何圖形之間的內(nèi)在關(guān)系，使學(xué)生非常直觀地了解分形幾何，能在觀察中進(jìn)行積極的思考，并探索其存在的規(guī)律，從而培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，提高其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣［6］.其實(shí)生活中還有很多的分形，它們都存在于大自然中，這也很好應(yīng)證了“數(shù)學(xué)來源于生活”的說法.在圖形的完善方面我們還存在不足，后續(xù)我們將繼續(xù)優(yōu)化圖形的繪制步驟，增強(qiáng)圖象的展示效果，同時(shí)還會(huì)對(duì)大自然中的分形有更多研究，發(fā)現(xiàn)更多存在于大自然中的有趣分形.