基于問題解決感悟“模型”思想

錢里兵

數學思想作為數學學科的一般原理的重要組成部分，在教學中有意滲透能幫助學生更好地理解和掌握數學內容。當學生掌握了一些數學思想和方法，再去學習相關的數學知識，就能使新知識較順利地納入學生已有的認知結構中去。因此，筆者努力用比較寬廣的視野看待小學數學教學，不僅考慮顯性的數學知識，更要充分挖掘教學內容蘊涵的數學思想。在數學問題解決的教學中，加強數學思想和方法的滲透，用數學思想、方法來指導和帶動具體知識內容的教學，從而讓學生不斷形成解決問題的意識。

一、將數學問題“化繁為簡”，感悟“模型”思想

數學教學不能只停留在知識和方法的層面，而要深入數學的“腹地”。優化作為一種重要的數學思想方法，運用它可有效地分析和解決問題。在教學中，我通過層層推進，將數學思考引向深入。在反饋和交流的過程中，學生學會把復雜的問題納入已有模式之中，使原有的模型成為構建和解決新問題的工具。在數學思考中，學生的思維由“混沌”逐漸走向“清晰”，慢慢感悟著“優化策略”的價值，體驗著“模型”思想的無限魅力。

案例：“找次品”教學片段

師：老師想考驗一下咱們班同學的數學感覺如何，看看誰的反應快？如果是27瓶中有1瓶次品，用天平稱稱，至少幾次保證找到？

生：3次。

師：（故作驚訝！）別亂說，不可能吧？27瓶呀蠻多的，3次怎么可以保證找到？

生：我把27瓶平均分成3份，每份9瓶;稱1次就可以推斷次品在哪個9瓶里。然后9瓶就像剛才那位同學那樣再均分3份來稱，2次就夠了。我這里只增加了1次，所以3次就找到了。

師：如果不是27瓶，而是81瓶呢？

生：4次就夠了。

在提出問題后，教師注重引導學生自己先思考和探究解決問題的策略，通過引導學生“猜測”，逐步脫離實物操作，在頭腦中進行“數學實驗”。在此基礎上，通過歸納、推理的方法體會運用優化策略解決問題的有效性，感受數學的魅力。找次品的基本數學模型跟3的次冪相關，小學生不易理解。我通過將瓶子的數量逐漸變大，給學生較強的沖擊力，它立刻讓學生處于欲言不能的“憤”“悱”狀態，問題解決了，規律找到了，學生對優化的價值認識更深刻了。通過這樣的教學，學生在富有挑戰性的思維活動中掌握了優化的策略，感悟“模型”思想。

二、將數學問題“一以貫之”，感悟“模型”思想

古人云：“大道至簡，萬法歸一。”自古以來，無數的先賢哲人不斷思索：世界千變萬化的背后，有沒有一個一以貫之的“一”存在？對于數學問題而言，能夠一以貫之的又是什么呢？數學思想是數學的精髓，是課堂教學的主線。我在教學中努力尋找那根串起知識的“線”。在教學“植樹問題”中，有些學生雖然會解決這一問題，但這些學生尚不能把植樹問題的解決方法與生活中相似的現象進行知識鏈接，這就導致了能找到規律但不會熟練應用規律，反映出學生只是在“機械應用”，思維的靈活性卻明顯不夠。在教學中，我另辟蹊徑，讓學生掌握知識背后蘊含的“一一對應”的數學思想和以問題為原型建構的“普適”的數學模型。這樣學生能夠“以不變應萬變”，靈活解決各類問題。

案例：“植樹問題”教學片段

師：想一想，生活中還有什么事情跟擺花盆這樣的問題類似，可以用“一一對應”的方法來解決？

師生交流，逐步出示：植樹問題、路燈問題、鋸木問題、排隊問題、爬樓問題等。

師：想一想，在這些問題中誰和誰是“一一對應”的？同桌互相說一說。

小組討論，然后全班交流，師借助圖示幫助學生理解。

生1：我們討論的是路燈問題，路燈數和間隔數一一對應。

生2：鋸木問題里，鋸的次數和鋸的段數一一對應。

師：鋸的段數也就是間隔數，鋸的次數也和間隔數一一對應。

生3：排隊問題里，人數和間隔數一一對應。

生4：植樹問題里，樹的棵數和間隔數一一對應。

生5：爬樓問題里，爬的樓梯數和樓層數一一對應。

師：大家想一想，這些問題有什么共同特點？

生：它們都與“間隔”有關。

讓學生帶著剛剛明確的“一一對應”重返生活，有意識地關注過去沒有注意的現象，經歷從諸多實際問題中抽取出植樹問題模型的過程，使學生清楚地認識到所有這些具體問題事實上都有著相同的數學結構，即可以被歸結為同一個數學模式，鞏固、深化對“一一對應”的理性認識，發展學生的數學思維。它們都有著相同的數學結構，即可以被歸結為同一個數學模式，可以統稱為“數學模型”。我引導學生用數學的眼光敏銳地觀察生活，讓學生給生活中的數學卸下情境的“外妝”，以最本真、最簡單的方式納入原有知識結構，能夠調動學生的已有經驗，又能成為植樹問題模型的生活原型。如此一來，紛繁變化的一一間隔排列規律用“模型”這一數學思想統領起來。

三、將數學問題“觸類旁通”，感悟“模型”思想

將數學問題進一步提煉，出示變式問題，讓學生去理解，識別模型，從而達到同化的作用。再讓學生自己去編制同類的問題，這既可以讓學生更進一步明確問題的結構、模型，能讓學生很好地經歷數學化的過程。這樣的教學過程，會讓學生感受到模型的力量和數學的魅力。在教學“雞兔同籠”問題時，我給予學生充足的時間和空間，讓學生自主探究，從而使學生的思維真正活起來，有利于學生舉一反三、觸類旁通，學會多角度思考問題。

案例：“雞兔同籠”教學片段：

（出示：一隊獵人一隊狗，兩列并成一隊走。數頭一共五十五，數腳共有一百九。）

師：我們研究了雞兔同籠，也來給這首兒歌取個名字？

生：人狗同行。

師：看了“人狗同行”的兒歌，和“雞兔同籠”比較，你有什么話想說？

生：我覺得它和雞兔同籠的問題仍然是一樣的。獵人相當于雞，狗相當于兔。

師：他的這個理解可以嗎？

生：可以。

師：雖然把獵人看作雞有些不雅，但是從研究的角度看，你們能找到它們數量上的聯系嗎？

生：獵人和雞都有兩只腳;狗和兔都有四只腳。

師：回想一下，從“雞兔同籠”到“人狗同行”，你發現了什么呢？

（再次顯示：“雞兔同籠”有什么獨特的魅力？）

生1：雞兔同籠是多方面的。

生2：“雞兔同籠”可以表示好多種和“雞兔同籠”相同的情況。

在教學中，我注意把握題目的類型、結構和類比應用，用系統的眼光來看待它的教學價值。從一個具體的數學問題出發，研究解法，并上升到一種模型，最后進行廣泛的應用，數學就是這樣發展起來的。同樣，如果學生在學習各種數學問題時能有“模型”的意識，舉一反三，能觸類旁通，那么必將會走向數學學習的自由王國。

日本數學教育家米山國藏曾說過：“作為知識的數學出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘刻在頭腦中的數學的精神、數學的思想、研究的方法和著眼點等，這些隨時隨地地發生作用，使人終身受益。”筆者通過創造性地使用教材，在教學內容的廣度和深度上進行拓展，著力培養學生解決問題的能力，從中逐步感悟數學思想，不斷形成數學素養。