關于“幾何概型”教學的思考

◎張 銀(江蘇省華羅庚中學，江蘇 常州 213000)

“幾何概型”的知識點是新增的數學教學內容，目前的數學課程標準要求學生能夠初步理解幾何概型的概念，并利用概念和公式進行基礎的幾何概率計算，這一要求對學生來說相對不高，但是這并不代表教師的教學可以簡化，不代表教師可以減少對它的重視程度.事實上，目前關于幾何概型的教學存在著一些問題，筆者將在下文中著重分析三個問題，并提出應對策略.

一、情景引入，動態生成，讓學生體會到公式的合理性與正確性

為了更方便地進行計算等應用，概率論在大量試驗數據的基礎上，得出了許多公式及推導公式的方法.概率模型中的古典概型處理的是離散的問題，其公式的推導與計算較易理解，而在幾何概型中，每個基本事件發生的概率雖然也是相等的，但是由于其基本事件的個數是無窮的，我們無法像對古典概型那樣，利用簡單統計的手段得出對應的概率，也因此難以推導出其公式.所以我們在計算幾何概率的時候引入了替代計算的思想方法.數學教材通過若干典型例題引入了常用的測度，并根據這些測度給出了計算幾何概率的公式，但沒有對這些測度替代計算的合理性給出清晰詳細的說明，這個時候如果教師沒有給予足夠的重視，對于這部分內容只是一筆帶過的話，部分學生可能無法深入理解相關知識，進而陷入一種懷疑迷惑和半知半解的狀態中，導致在遇到相關應用題時往往不能靈活轉化計算，只會根據公式生搬硬套.因此，筆者認為，教師應幫助學生分析和梳理教材中的示例情境，并適當地引入新的經典情景，讓學生感受公式生成的過程，從而真正理解它的合理性，也能夠根據具體情境靈活選擇公式進行計算或推導.

教材中給出了如下兩個引入情境：

例1 現有一根3 m長的繩子，如果我們在繩子上的任意一處切一刀，將繩子分成兩部分，試問兩部分繩子的長度都不小于1 m的概率為多少？

例2 射箭是奧運會中一個非常精彩的比賽項目，比賽用的箭靶一共有5個得分環，其中包含靶心，由于其顏色為金色，它又被人們稱為黃心.現已知箭靶的直徑為 122 cm，靶心為12.2 cm，若一個運動員在距離箭靶70 m的地方射出一支箭且一定會中靶，試問該運動員射中靶心的概率是多少？

在上述兩個例題的教學中，教師要注意幫助學生在空間幾何關系和數量關系之間建立思維聯系，幫助學生以“點”“面”甚至“體積”的形式理解基本事件，再歸納抽象回數量的概念.比如對于第一個例題，教師可以先引導學生把繩子想象成一個線段，剪刀在繩子上每剪一次就對應了線段上的一個點，在學生接受了這一等效替換的方法之后，教師可以進一步引導學生思考，線段就是點的集合，將線段上的所有點結合起來就可以構成線段本身，從而將題設中的“無數次隨機裁剪”與“線段上所有的點”對應起來，同時教師還應該強調這些點在線段上是均勻連續分布的，最后綜合上述討論，幫助學生理解“剪的次數和線段長度之間存在著對應關系”.對于第二道例題，教師需要一步步引導學生理解“射中次數”和“圓的面積”的對應關系，這一過程實質上可以概括為“由數到形再回歸數”.只有讓學生親身經歷形象感知、概括歸納和抽象建模的思想過程，學生才能真正地理解書本上公式的正確性和合理性，真正理解公式和概念背后的原理，這樣他們才能在遇到具體問題時學會自己分析和轉化問題.學生在這一過程中不僅可以學習到幾何概型的有關知識，還能鍛煉抽象與轉化問題的思維能力，為將來的學習和研究打好基礎.

二、橫向對比，直擊本質

數學概念是開展數學學習和進行數學研究的基礎，教師在教學時應著力幫助學生理解概念.一般來說教師在進行概念教學時是縱向展開的，即從概念的推導開始，到概念的實際應用，這樣的方法要能幫助學生梳理某個知識點的結構，但對其內在的理解還不夠深刻，導致在某些情況下學生仍會將它和其他知識點的相關部分混淆，因此教師還應該重視對概念本質的講解，在必要的情況下還可以在關聯知識點時做一個橫向對比.下面筆者從幾何概型的特征和概念理解兩個方面談一談如何在教學中突出重點.

(1)橫向對比，突出幾何概型的根本特征

在教材中，有幾個概型的知識被安排在古典概型的后面，導致部分教師還沒有把握幾何概型的本質特征，就將它與古典概型對立了起來，認為二者的區別在于基本事件是有窮的還是無窮的，但其實這樣的想法是不正確的.舉例說明：若要在全體實數中隨機取一個數字，求這個數字為有理數的概率.在這一例題中，基本事件是無窮的并且發生的概率也是彼此相等的，但是這道題并不適合用幾何概型來解決.

其實，幾何概型相較于古典概型來說最大的特征就是我們可以非常自然地在隨機試驗與簡單的可以度量的幾何圖形之間建立對應關系，通過空間幾何關系考查事件發生的概率.教師要注意把握好知識的特點，進行正確適當的橫向對比，突出知識最本質的特點，以點帶面地深化學生對整體概念的認知.

(2)培養學生的建模能力，幫助學生真正理解幾何概型

要真正理解幾何概型，學生必須要有建立數學模型的意識和能力.幾何概型中的建模主要分為三個方面：第一個方面是對隨機試驗的對象進行抽象建模.隨機試驗的對象是我們研究概率問題的范圍所在，要利用幾何概型研究問題，首先就要將這個范圍也抽象成合適的幾何對象，比如上文中我們將繩子抽象成線段這一模型.第二個方面是對基本事件建模.基本事件是概率空間里的元單位，是構建隨機事件的基礎，我們要研究某隨機事件發生的概率，就必須先研究其中包含的基本事件，一般來說基本事件的模型要與隨機試驗的研究對象相關，如果把隨機試驗的對象抽象為一個可度量的幾何區域D，那么我們就可以把基本事件抽象為區域D中的一個點，如果進行隨機抽取，那么每一個這樣的點被抽中的概率都是相等的.第三個方面是對隨機事件抽象建模.實際上，隨機事件可以看作基本事件的集合，是區域D的一個子集.

三、引導學生從概念的角度深入思考問題

書本上關于幾何概型給出了豐富的公式，它們是數學家們寶貴的經驗結晶，能幫助我們迅速解決問題，但是這并不代表解題的過程等同于應用公式的過程.有些學生為了省力簡化了自己的思考過程，遇到問題的時候也沒有經過深入分析，就草草地套用公式進行計算，這樣做會在一定程度上限制思維的發展，如果問題并不常規，需要經過轉化，那么這樣的方法還容易導致得出錯誤的結果.實際上公式只是輔助，思考才是關鍵，教師要引導學生積極從概念的角度深入分析問題，先根據題目特征判斷可能用到的知識概念，再根據概念的要素分析題目，最后整合要點回歸概念本身.筆者在教學中主要從以下三個層面引導學生分析問題：(1)題目中隨機試驗的每個結果出現的概率是相等的嗎？(2)什么樣的幾何圖形適合該題中的隨機試驗？(3)D和d應該對應什么測度？

四、利用變式引導學生把握問題本質

對于大部分的學生來說，提高其做題的正確率在于能否完成轉化，能否將隨機事件當中的幾何區域準確地標定出來，并且明確其中的幾何度量.但是這對于學生來說屬于學習的難點，因此即便學生對于概率有了一定的認知，但是在進行幾何概型的解題過程中，仍然無法做到充分拿捏.究其原因在于，學生本身對于幾何概型的本質并沒有正確的理解，因此為了更好地加深學生的理解，教師可以利用變式教學來加深學生的學習深度，雖然從題目本身來看只是個別文字上有區別，但是這其中的細節變化，導致其對應的幾何區域發生變化，結合的度量也隨之變化，因此借由這一對照教學能夠加深學生對于幾何概念的理解，進而提升其學習質量.

例1：在區間[0，10]上任意取一個整數x，則x不大于3的概率為________.

變式：在區間[0，10]上任意取一個實數x，則x不大于3的概率為________.

目的：區分古典概型與幾何概型.二者有聯系，均是等可能的，亦有區別，前者結果是有限個，后者是無限個.教師應引導學生明確幾何概型是古典概型的擴展與延續.

例2：等腰Rt△ABC中，∠C=90°，在直角邊BC上任取一點M，求∠CAM<30°的概率.

變式：等腰△ABC中，∠C=90°，在∠CAB內作射線交線段BC于點M，求∠CAM<30°的概率.

這一系列的題目對于學生來說屬于學習難點，由于學生對于各信息之間的把握不夠準確，因此在計算后容易出現兩個不同的結果，原因在于學生對于隨機事件發生的幾何區域的選擇并不準確，因此為了讓學生找到自己的學習漏洞，明確錯誤的原因，更好地理解問題的本質，厘清其解題思路，教師應在不公布正確答案的前提下，讓學生思考第2題.在這一過程中，教師還可以組織學生針對這兩題進行討論，進一步區分二者之間的差別，加深印象，讓學生在討論過程中感受到學習的樂趣，收獲成就感.教師此時還可以利用多媒體技術向學生直接展示問題的本質，進而加深學生的理解深度，讓學生能夠更加準確地把握問題的本質，深化其思想.

這三道題從原本的平面問題拓展到了空間問題，因此其幾何度量從長度變為面積，從面積變到體積，這也是幾何概型中比較常見的題型，其本質是隨機事件發生時，其對應點所構成的區域分別為線段、梯形、棱錐，只要找到對應的點，就能夠準確地確定集合度量.

變式1：在半徑為1的圓的一條直徑上任取一點，過該點作垂直于直徑的弦，則其長度超過該圓內接正三角形邊長的概率是多少？

變式2：在半徑為1的圓內任取一點，以該點為中點作弦，則其長度超過該圓內接正三角形邊長的概率是多少？

借由這三題能夠更好地加深學生對于幾何概型的認知和理解，其中變式2這一道題作為學習的重點，能夠幫助學生對所學內容進行復習和鞏固，借由上面幾道例題和變式題的練習，學生有了一定的知識基礎，并且在思考的前提下進行計算，增加了得出正確答案的概率.

解決幾何概型問題的關鍵之處在于幾何度量的確定，而幾何度量的本質是隨機事件發生時，確定其對應的點所構成的幾何區域.從整體看待幾何概型問題，能夠發現引起隨機事件發生的幾何圖形分別為點、線、面、射線、扇形區域等，這些線段的源頭分別為點和角，連點成線，連線成面，連面成體，因此所有的幾何概型問題都能夠歸結于點和角上，只要抓住了這一主線，在任何問題中都能夠尋找到隨機事件所發生的對應的點，借由點來確定區域，從而解決概率問題.教師要加強對教材的研讀，站在整體的角度，對知識的形成進行整體把握，積累一定的知識基礎，并加強理解，從而更好地去認知知識之間的關系，總結其規律，周而復始，繼而完成思想上的升華.教師還應從思想的角度去完成教學設計，進行課堂指導，以提高教學的精準性，讓學生的學習能夠更加深入，從而避免學生的生搬硬套.

學生只要掌握了問題的本質，無論題目如何變化，都能夠舉一反三準確地找到其要點和規律，進而順利解題.這樣學生學得輕松，教師教的也輕松，學生能夠在輕松愉悅的氛圍中體會到數學學習的樂趣，進而提高其學習熱情，培養良好的探究能力.

在教學中，教師要重視對學生學習能力的培養，在其能力的提升下提高解題水平，使學生能夠精準地提煉出問題的本質，往更高層次的學習進階.教師要根據學生的能力將知識練習進行合理的分類，利用少而精的題目來提高學生的學習效率，培養學生良好的數學思想和能力.為此，教師自身要具備良好的教學水平和教學素養，不僅要有扎實的教學基礎，還要有良好的思維整合能力.教師要做好平時的教學工作，在工作中逐漸積累教學經驗，逐漸沉淀進而形成深厚的教學水平.

綜上所述，幾何概型本身比較抽象，對于學生來說有著諸多的理解難度，因此在課堂中教師可以利用多媒體技術來輔助教學，進而發揮出其直觀的優勢，給予學生簡單明了的展示，降低學習難度，以提高學生的理解能力，達到更好地提升教學效果的目的.