淺談初中數學三角函數的解題技巧

◎李 寧(鄒平市西董街道鶴伴中學，山東 鄒平 256218)

引言

初中數學中的銳角三角函數是初中數學的重點內容之一，在中考試題中占據很大比例.同時，銳角三角函數也是三角函數內容的入門階段.可見，學生能否掌握銳角三角函數的相關知識點，不僅關系著他們是否可以取得優異的中考成績，還關系著學生未來能否學會三角函數的內容.因此，初中數學教師在教學過程中要重視講解此板塊基礎內容，以此幫助學生構建完整的三角函數思維模式.除此之外，教師還要結合相應例題向學生講解對應的解題技巧，以此幫助學生成功突破銳角三角函數這一學習難點.

一、基于初中數學三角函數的教學現狀

在學習銳角三角函數之前，學生已經學習過正比例函數、反比例函數等各種函數內容.不過，銳角三角函數與此前學習的函數問題沒有多大關聯，彼此之間存在諸多不同之處.因此，學生無法依靠之前的經驗去學習銳角三角函數的相關內容.銳角三角函數是以銳角角度為自變量，以比值為函數值的函數，這是不同于普通函數的地方.在解答銳角三角函數的相關問題時，學生不僅要考慮正弦、余弦、正切的基本定義，還要結合圖形進行分析.如果學生不具備一定的邏輯分析能力，那么很難找到題目的解答思路.除此之外，大多數學生在解答過程中無法靈活運用正弦、余弦等基本定義，從而導致解答出錯，進而影響學生的學習興趣.由此可見，初中數學三角函數是教學難點，也是學生的學習難點.這主要與銳角三角函數的特殊性、復雜性有關.為此，教師在教學過程中，需要講解相應的解題技巧，以此幫助學生打好銳角三角函數的基礎.只有這樣，學生才能更好地去應對中考及未來的學習.

二、基于初中數學三角函數的解題策略

(一)直接引用公式，完成解題任務

“直接法”是解答銳角三角函數問題的主要方法之一，也是其他解答技巧的基礎.“直接法”就是根據題目給出的信息，直接對銳角三角函數進行運算或者變形，得出正確的答案.若想靈活運用“直接法”完成解題任務，就需要學生牢牢掌握銳角三角函數的基本公式.由此可見，“直接法”是一種以基本公式為基礎的解題技巧，也是所有學生都必須掌握的基本方法.

(二)巧用正弦、余弦定義，實現簡化習題

正弦、余弦定義是初中三角函數的重點內容，也是學生的學習難點.在初中三角函數的相關題型中，一般都是以判斷直角三角形三邊關系的形式出現，而正弦、余弦定義便是解決三角形三邊關系的關鍵.因此，教師在教學過程中不僅要幫助學生掌握正弦、余弦的定義，還要讓他們弄清楚特殊銳角三角形的正弦與余弦之間的關系.這樣的話，學生才能根據正弦與余弦之間的關系進行邊角互換，進而簡化習題，方便學生理解吸收.

圖1

再如，計算sin 30°+cos 45°-tan 45°+tan 60°×sin 45°-cos 90°+(3+π)0

(三)巧用勾股定理，培養數形結合思想

在初中三角函數的相關題型中，一般都會涉及直角三角形，而勾股定理又是解答有關直角三角形題型的重要公式.因此，教師要結合相應題型幫助學生熟悉掌握勾股定理，以此讓他們可以靈活運用直角三角形的性質解題.這樣，學生才能更好地解決關于銳角三角函數的綜合性問題.總而言之，初中數學教師在講解銳角三角函數的相關題型時，要幫助學生理解并掌握勾股定理及其逆定理的使用方法，以達到數學學習的目的.

例如，在學完“銳角三角函數”之后，教師為學生出示以下涉及勾股定理三角函數的問題：在直角三角形ABC中，∠C=90°，求sinA與sinB的數值.

從本題的主要信息點及給出的三角形可以看出，本道習題只需要結合勾股定理及相關的三角函數基本公式，便可輕松得到答案.首先，教師引導學生利用勾股定理求出直角三角形ABC的斜邊長度.根據圖中給出的BC邊、AC邊的長度，學生可以輕松得知AB邊的長度為5.接著，教師引導學生結合正弦定義求出sinA與sinB的數值.除了正向使用勾股定理之外，教師還可以結合相應習題幫助學生熟悉掌握勾股定理逆定理的使用方法.總而言之，初中數學教師要明確勾股定理在三角函數問題中的重要性.

再如，在初中數學知識競賽中，讓學生測量一棵樹的高度，某名學生構建了如圖2所示的圖形，CD為樹的高度，∠CAE=30°，AB長度是13米，BD的長度是6米，通過對AB的坡度進行測量，得出坡度是1∶2.4，請問，這名同學如何求得大樹的高度？

圖2

解題前，教師需引導學生作出輔助線BF使BF垂直于AE，垂足是點F，在矩形BDEF中，BD=6，所以EF=6，設BF=DE=x，即AF=2.4x，三角形ABF是直角三角形，根據勾股定理可以得出x=5，BF=DE=5，AF=12，在直角三角形ACE中，利用三角函數的性質，便可求出線段CD的長度，即得出大樹的高度.此題考查學生對勾股定理和三角函數的掌握程度.學生只有熟練掌握這兩個知識點，才能夠快速準確地解答此題.

(四)重視講解基礎，培養思維模式

銳角三角函數是三角函數的入門階段，這是學生從沒有接觸過的全新內容.因此，教師在教學過程中要注重講解銳角三角函數的基礎內容，如正弦定義、余弦定義及其相關概念等基礎知識.同時，教師要向學生介紹幾何知識與銳角三角函數之間的聯系，并且巧用幾何知識幫助學生理解三角函數的相關知識點，并借此方式，幫助學生在腦海中構建完整的幾何關系圖，進而形成三角函數思維模式，這便是解答銳角三角函數問題的基礎.

例如，在教學“銳角三角函數”的時候，教師提問學生：三角函數的自變量是什么？因變量是什么？這個函數與普通函數有什么不同？然后，教師讓學生圍繞以上問題自由閱讀課本.大多數學生經過自學之后，都能夠發現三角函數的特殊性“以銳角角度為自變量，以比值為函數值”.為了讓學生對三角函數的概念有更深的認識，教師可以結合幾何知識展開教學，以此讓學生明確三角函數的定義及用法.講解完基本概念之后，教師應著重向學生介紹初中三角函數中的重點內容“正弦定義、余弦定義與正切定義”，以此幫助學生逐步深入掌握本課時的內容.總之，教師要重視三角函數的概念等基礎知識，并確保學生掌握這些內容.這樣，學生才能逐步構建出完善的三角函數思維模式.

(五)聯系生活設計習題，靈活運用公式

學生若想靈活運用各類解題技巧，必然需要大量的練習.在教學過程中，教師不能只關注基本的習題，因為這樣不僅會令教學內容變得枯燥乏味，還不利于幫助學生熟悉、掌握各種公式，因此，教師在教學過程中要及時豐富教學內容，可以將生活中的三角函數問題融入課堂，以此激發學生學習三角函數的興趣.同時，生活化問題還可以有效鍛煉學生的實踐應用能力，幫助學生熟悉掌握銳角三角函數的相關內容.

在學完“解直角三角形及其應用”之后，教師可以及時聯系生活實際設計習題.例如，已知樓房AB與樓房CD之間相距36米，某工程師站在樓頂A處測量到樓房CD的樓頂的仰角為45度，測量到樓房CD的樓底的俯角為30度，求樓房CD的高度.首先，教師應引導學生利用幾何知識及三角函數的基本公式求出樓房AB的高度.接著，教師引導學生延長A點至CD，在延長線上找一點E，并且保證AE//BD.隨后，教師引導學生利用AB的長度及相關知識求AE的長度.最后，教師引導學生逐步求出CD的長度.總之，教師要及時結合生活實際設計習題，這也是幫助學生靈活運用三角函數公式的有效手段.

(六)借助數形結合思想，降低解題難度

在初中數學三角函數解題中，教師可引入數形結合思想，利用漢字、數字及圖形等，豐富學生的數學認知，將原本難度較大的知識，通過形象、直觀、具體的方式展示出來，以便學生接受和理解.例如，在解題過程中，教師借助數學圖像，幫助學生準確獲取信息，并通過數學圖像找出解題切入點，發掘題目中的隱藏信息和條件.這種將數學圖像和數學語言進行轉化的方法，能夠更好地幫助學生解答三角函數問題.例如，在三角函數定義域類型問題的解答中，教師可以引入數形結合思想，引導學生根據題目中的定義域，畫出相應的三角函數圖像，對函數圖像進行分析，找出函數式各個部分的具體意義，利用三角函數圖像列出不等式，完成三角函數定義域的求解.數形結合思想在三角函數題目中，應用較為廣泛，主要有單位圓法和函數圖像法兩種方式.教師可以根據具體題目，引導學生運用適當的方式，深入探究函數和圖像之間的關系，進而培養學生利用數形結合思想解題的能力.

(七)把握習題難度，提高解題能力

結束語

由此可見，在初中數學三角函數的教學中，教師首先需要注重講解基本的概念、公式等理論知識，這是幫助學生提升解答三角函數問題能力的重要前提.除此之外，教師還要及時結合生活實際設計習題，并且向學生傳授各種解答技巧，以此幫助學生熟悉掌握三角函數的基本公式.這樣，學生才能更好地應對復雜多變的三角函數問題，進而體現數學課堂的教學價值.