核心素養(yǎng)視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計—以“等差數(shù)列的前n項和公式”為例

◎張 月 湯 強(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637000)

一、問題提出

課程教學(xué)目標(biāo)經(jīng)歷了從 “雙基”到三維目標(biāo)再到如今的核心素養(yǎng)的轉(zhuǎn)變，給教師帶來了新的挑戰(zhàn)，教師不能僅僅把教學(xué)的重心放到學(xué)生對知識的了解、 理解、掌握上，而應(yīng)當(dāng)思考如何通過教學(xué)使學(xué)生從知識的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.本文通過對“等差數(shù)列求和公式”進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，旨在使學(xué)生掌握必備的基礎(chǔ)知識和基本技能的同時能夠提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、核心素養(yǎng)的概述

北京師范大學(xué)研究小組將學(xué)生核心素養(yǎng)定義為學(xué)生應(yīng)具備的，能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力.高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)定義為具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的人的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力.高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析.

三、核心素養(yǎng)理念下的教學(xué)設(shè)計

(一)教學(xué)過程設(shè)計說明

在核心素養(yǎng)理念下，教學(xué)目標(biāo)的制訂要以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為宗旨，教學(xué)過程的設(shè)計要以培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)為主線，數(shù)學(xué)思維的鮮花應(yīng)生長在問題串的土壤上，以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)思維素養(yǎng).在問題驅(qū)動教學(xué)的過程中，教師可以以問題串為載體，以問題為學(xué)習(xí)的驅(qū)動力，將教學(xué)過程劃分為以下幾步：①引導(dǎo)學(xué)生將“現(xiàn)實問題”抽象成“數(shù)學(xué)問題”，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；②以直觀想象和數(shù)據(jù)分析能力為思維的翅膀，通過數(shù)學(xué)運算和邏輯推理對“數(shù)學(xué)問題”進(jìn)行求解得到數(shù)學(xué)模型；③以數(shù)學(xué)模型解釋現(xiàn)實問題；④設(shè)置變式題、拓展題對數(shù)學(xué)模型加以應(yīng)用.要做到在教學(xué)整個過程中滲透數(shù)學(xué)建模思想，教學(xué)過程導(dǎo)圖如圖1所示.

圖1

(二)教學(xué)分析

1.教學(xué)內(nèi)容分析

等差數(shù)列求和公式是在學(xué)習(xí)了數(shù)列及等差數(shù)列的通項公式之后學(xué)到的知識，同時為后面等比數(shù)列求和公式的學(xué)習(xí)奠定思想基礎(chǔ)，在高中學(xué)習(xí)中占有重要地位.

2.教學(xué)目標(biāo)

(1)通過類比推理的方式得出等差數(shù)列前n項和公式，培養(yǎng)邏輯推理能力.

(2)通過將現(xiàn)實情境中的等差數(shù)列抽象成數(shù)學(xué)問題的過程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象能力.

(3)通過知識的學(xué)習(xí)，領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合思想、特殊到一般思想.

3.教學(xué)重難點

教學(xué)重點：等差數(shù)列前n項和.

教學(xué)難點：等差數(shù)列前n項和公式及推導(dǎo).

(三)教學(xué)過程

1.抽象現(xiàn)實，導(dǎo)入新課——發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

情景：今有與人錢，初一人與一錢，次一人與二錢，次一人與三錢，以次與之，轉(zhuǎn)多一錢，共有百人，問共與幾錢？即今天有人來給錢，第一個人給一錢，第二個人給兩錢，第三個人給三錢，以此類推.

問題1：一百個人總共給多少錢？

分析：為了求累計給的錢數(shù)，對故事中的現(xiàn)實問題進(jìn)行抽象，上述故事中第n個人所需給的金額數(shù)為n,求100人所給的錢數(shù)之和即求1+2+3+…+100=.

追問：在兩百年前，高斯就對這樣的問題給出了一個簡單的求解方法.兩百多年后的今天，同學(xué)們對這種題目的求解有什么想法呢？

師生活動預(yù)設(shè)：由小組討論完成，學(xué)生發(fā)散思維、集思廣益.

設(shè)計意圖：以現(xiàn)實問題導(dǎo)入，引導(dǎo)學(xué)生對現(xiàn)實問題進(jìn)行抽象，有利于提高學(xué)生的抽象概括能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).早在幾百年前就有古人在研究等差數(shù)列了，選擇在課堂中滲透數(shù)學(xué)文化，能夠讓學(xué)生感受到中國數(shù)學(xué)發(fā)展歷史之悠久，能夠有效提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機，刺激學(xué)生與問題對話.

問題2：上述方法稱為“首尾相加法”，這種方法的本質(zhì)是什么？如果是一組不能剛好配對的數(shù)相加呢？如1+2+3+4…+201=？

生1：應(yīng)用首尾配對法可將上述算式拆解成：(1+201)+(2+200)+(3+199)+…+(100+102)+101=20301.

生2：先算出前200項之和再加上最后一項，即將上述算式拆解成：(1+200)+(2+199)+(3+198)+…(100+101)+201=20301.

生3：添項，1+2+3+4+…+201=1+2+3+4…+201+202-202=(1+202)+(2+201)+(3+200)+…+(101+102)-202=20301.

追問：由上述兩個問題我們可以發(fā)現(xiàn)“項數(shù)”和“求和過程”之間有什么關(guān)系呢？

生：用首尾相加法計算，項數(shù)為奇數(shù)時有一項多余不能配對，項數(shù)為偶數(shù)時，剛好可以配對.

設(shè)計意圖：基于高斯發(fā)現(xiàn)的“首尾相加法”進(jìn)行數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運算，對于不能配對的和式的處理，可以通過遷移“高斯解法”用化歸的方法轉(zhuǎn)化和式，最終用“首尾相加法”求解，符合學(xué)生的認(rèn)知過程.在此過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)據(jù)分析的翅膀進(jìn)行數(shù)學(xué)運算，使數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)得到發(fā)展.

2.歸納推理，尋求通法——發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)

問題3：如果將上述和式一般化，求1+2+3+…+n=.

師生活動預(yù)設(shè)：學(xué)生合作探究，在前面兩個例題的基礎(chǔ)上，學(xué)生對于解決這類連續(xù)自然數(shù)求和有了一定的思考，因此，在求解有限個連續(xù)自然數(shù)之和的時候，大多數(shù)同學(xué)能夠想到運用首尾相加法.但由于不知道這一列數(shù)是偶數(shù)個還是奇數(shù)個，所以需要討論n的奇偶性.教師進(jìn)一步讓學(xué)生分兩組進(jìn)行討論，其中一組討論n為奇數(shù)時的結(jié)果，另一組討論n為偶數(shù)時的結(jié)果，并借助多媒體展示學(xué)生的答案.

師生活動設(shè)計：教師留給學(xué)生充足的思考時間，生生之間合作探究.

追問2：我們在前兩個例題中用“首尾相加法”求得和式的值，這種方法的目的是什么？

生：分組配對，使每一對的和均相等.

追問3：同學(xué)們能不能找到其他的構(gòu)造相等項的方法呢？

師生活動預(yù)設(shè)：學(xué)生合作探究，小組討論，思考配對的方法，教師巡視，學(xué)生給予指導(dǎo).

生：將這n個數(shù)的順序顛倒再對應(yīng)相加可以湊成n對，且每一對都是n+1.

(教師對學(xué)生探討的結(jié)果進(jìn)行表揚，肯定學(xué)生的思考)

師：令S=1+2+3+…+n

則：S= 1 + 2 + 3 +…+n

S=n+ (n-1) + (n-2) +…+ 1

所以2S=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+…+(n+1).

這種方法稱為倒序相加法，由倒序相加法求解和式時不需要討論其奇偶性.這種倒序構(gòu)造相同項的思想在幾何中也有應(yīng)用.

設(shè)計意圖：“疑是思之始”.由“首尾相加法”需要分奇偶性討論的弊端引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，并通過一系列的追問，驅(qū)動學(xué)生思考如何在不改變構(gòu)造相等項的本意下尋求更加簡捷的求解方法——倒序相加法，以此追問之下促使學(xué)生思考如何尋得捷徑，同時為等差數(shù)列前n項和公式的發(fā)現(xiàn)提供先行組織者，為新知學(xué)習(xí)搭建腳手架，也降低新知學(xué)習(xí)的內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷.在這個過程中知識是自然發(fā)生的，能夠有效地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.

3.數(shù)形結(jié)合，深化理解——發(fā)展直觀想象素養(yǎng)

問題4：圖2是由一些點構(gòu)成的等腰三角形，同學(xué)們請觀察下每相鄰兩層的點有什么特點？

圖2

師生活動預(yù)設(shè)：教師通過多媒體展示圖2中的等腰三角形，學(xué)生觀察后容易發(fā)現(xiàn)每相鄰兩層的點數(shù)相差1，教師進(jìn)一步追問.

追問1：同學(xué)們有什么方法可以求得這個等腰三角形中點的個數(shù)呢？

師生活動預(yù)設(shè)：學(xué)生獨立思考并舉手作答，與前面的首位相加法聯(lián)系，可能會有如下兩種情況：①將第一層添加7個點，第二層添加6個點……第七層添加1個點；②直接數(shù).教師對學(xué)生的解決方法進(jìn)行點評，并用多媒體展示第一種方法的圖示(圖3).

圖3

追問2：原圖形與“拼湊的圖形”有什么關(guān)系？

師生活動預(yù)設(shè)：學(xué)生獨立觀察，可以發(fā)現(xiàn)將圖2旋轉(zhuǎn)180°便得到“拼湊的圖形”.在教師的進(jìn)一步引導(dǎo)下學(xué)生能夠得到原等腰三角形中的點數(shù)=平行四邊形的點數(shù)÷2，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個問題求解的關(guān)鍵是構(gòu)造相等的量(每一行點數(shù)相同).

設(shè)計意圖：通過求等腰三角形的點數(shù)問題，加深學(xué)生對利用倒序相加法構(gòu)造相同項的理解，通過數(shù)形結(jié)合思想來培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，使學(xué)生對倒序相加法有更深層次的理解，幫助學(xué)生推導(dǎo)出等差數(shù)列前n項和公式.

4.類比運用，構(gòu)造模型——培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)

問題5：將等差數(shù)列的前n項和記為Sn=a1+a2+…+an，利用求前n個非零連續(xù)自然數(shù)的和的方法能不能求等差數(shù)列前n和呢？

師生活動預(yù)設(shè)：學(xué)生小組討論，教師觀察各組的討論情況，并請小組代表說出自己的想法.在此過程中教師進(jìn)行引導(dǎo)，輔助學(xué)生得出等差數(shù)列的前n項和公式可能會出現(xiàn)如下兩種情況：

①利用等差數(shù)列的通項公式

Sn=a1+a2+…+an

=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-2)d]+[a1+(n-1)d]

=na1+d(1+2+3+…+n-1)

②由等差數(shù)列的性質(zhì)，當(dāng)m+n=k+t時，am+an=ak+at，得出：

2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)

=n(an+a1)

設(shè)計意圖：通過學(xué)生合作探究，變被動接受為主動獲得知識，通過類比前面利用倒序相加法解決前n個非零連續(xù)自然數(shù)求和問題，由特殊到一般，給出等差數(shù)列前n項和的推導(dǎo)過程，在此過程中鼓勵學(xué)生自主完成公式推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的類比、分析及推理能力，從而發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

5.應(yīng)用模型，鞏固新知——發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

基礎(chǔ)練習(xí)：

練習(xí)1：根據(jù)條件，求等差數(shù)列{an}的其他相關(guān)未知數(shù).

(1)a1=20，an=54，Sn=999,求d及n.

(4)d=2,n=15,an=-10，求a1及Sn.

提高練習(xí)：

生命之限：棣莫弗，法國數(shù)學(xué)家，從小熱愛數(shù)學(xué)，后被迫離開自己的家鄉(xiāng)來到英國，在英國他利用自己的數(shù)學(xué)知識以做家教為生，他在數(shù)學(xué)史上也做出了巨大的貢獻(xiàn)，一生熱愛數(shù)學(xué)，他很想在大學(xué)里當(dāng)一名數(shù)學(xué)教授，卻一直未能如愿.他于1754年去世，但是他的死是一個奇跡，他去世前不久，他聲稱每天比前一天多睡15分鐘，睡滿24小時那天，就是他生命的終點.這個預(yù)言竟然成真.

假設(shè)棣莫弗在1754年的9月24日說的這則預(yù)言,且當(dāng)天的睡眠時間為8小時，他去世于哪一天呢？從9月24日至他去世他一共睡了多少個小時呢？

設(shè)計意圖：基礎(chǔ)練習(xí)部分幫助深化學(xué)生對于等差數(shù)列求和公式的認(rèn)識，發(fā)現(xiàn)a1，an，Sn，d，n五個變量“知三求二”的關(guān)系.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析及數(shù)學(xué)運算的能力，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).提高練習(xí)部分使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，使學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

6.歸納總結(jié)，回顧新知小結(jié)

一個公式:等差數(shù)列求和公式Sn=n(a1+an)2一種證明:倒序兩個趣史:①棣莫弗:生命之限②高斯:首位相加法三種思想: ①數(shù)學(xué)結(jié)合思想 ②從特殊到一般 ③類比思想

四、總 結(jié)

筆者認(rèn)為，在核心素養(yǎng)視角下創(chuàng)新課堂教學(xué)時，應(yīng)當(dāng)盡可能地利用資源，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，注重公式的推導(dǎo)過程，而非讓學(xué)生對公式進(jìn)行死記硬背，而應(yīng)讓數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的培養(yǎng)貫串始終.同時定理公式的教學(xué)應(yīng)該重視數(shù)學(xué)應(yīng)用、多留意公式定理的現(xiàn)實背景，使學(xué)生明白數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實，并且應(yīng)用于現(xiàn)實.