HPM視角下的初中數學課堂教學實踐

◎王冰玉 哈建民 張曉琴(甘肅省嘉峪關市明珠學校，甘肅 嘉峪關 735100)

一、前言

數學是研究數量關系與空間形式的科學，與人類社會進步息息相關.在漫長的人文歷史演變過程中，數學史是十分靚麗的一抹色彩，展現出了人類智慧的光輝.在初中數學教學中，基于HPM視角下的課堂教學實踐，可以更好地幫助學生認識數學概念、定理的本質內涵，并使學生的數學人文素養得到培養和發展.為此教師有必要對HPM進行更加深入的研究探討.

二、HPM的含義及在中數學課堂教學實踐意義

HPM為數學史研究，是一門探索數學發展規律的科學，而數學史不僅與數學有關，與教育、社會、人文都有一定的聯系，因此數學史研究，不僅是在研究數學知識的發展歷程，還是在研究各種與數學發展有關的聯系因素.數學作為一種文化，是人類的一種活動，數學能在自然科學和人文社會科學之間搭起一座橋梁.關于“數學文化”，至今還沒有一個被大家公認的定義.其中一種定義是考慮了數學文化的整個形成過程，借用“群體”以及“意義網絡”兩個社會學基本概念，將數學文化定義為:數學文化是由數學家群體在認識數學世界和相互交往中自覺形成的一種相對獨立、相對穩定的社會意義網絡.這個社會意義網絡中包含數學研究者、數學語言符號、數學的思想方法、研究成果、精神與價值觀念及其共享群體.數學文化是對傳統的數學教育的升華，它要求教師不再是簡單地傳授學生數學知識，更重要的是提高學生的數學文化素質.在初中數學教學中，基于HPM視角下的初中數學課堂教學實踐是具有重要意義的，主要體現在科學意義、文化意義、教育意義三個方面.首先，科學意義.數學史研究的是數學知識的發展過程，在初中數學教學中，基于HPM的教學實踐，可以為學生營造濃厚的科學探究氛圍，這不僅有助于調動學生思考，還可以培養學生的數學探究樂趣，并使學生的科學精神和創新能力得到有效的培養.其次，文化意義.數學史是人類人文歷史的重要組成部分，與人類社會發展息息相關.數學史豐富的知識內容體系中包含社會學、自然科學、哲學等，甚至對政治學、神學也產生一定的影響.教師在初中數學教學中引入HPM，可以更好地幫助學生理解和認識數學文化、傳播數學文化，促使學生的人文素養得到有效的培養[1].最后，教育意義.數學史揭示的是數學歷史的漫長發展過程，其中蘊含著歷代偉大數學家的大膽猜想，這些猜想、理論的獲得，往往經歷無數的曲折，從中體現出了數學家高尚的人格品性和意志.教師在初中數學教學中引入HPM，可促使學生向數學家看齊，促使學生實事求是的探索精神得到有效的培養，這就是HPM實踐的教育意義體現.

三、HPM視角下的初中數學課堂教學實踐研究

(一)介紹數學概念的發生、發展過程

數學概念具有一定的抽象性和思維性，在初中數學教學過程中，教師若是直接向學生提出數學概念，學生往往猶如“丈二的和尚”.而在基于HPM視角下的初中數學課堂教學實踐中，教師可將數學概念的產生過程闡釋給學生，幫助學生了解認識這一數學概念的起源，這樣的教學不僅讓學生能“知其然”，還能“知其所以然”，可以更好地幫助學生理解認識數學概念的本質，感受數學發展的強大驅動力.數學文化屬于一種重要的精神文明，凝聚著人們的智慧和辛勞，推動著人類的偉大文明進程.數學學習也是學生不斷探索的過程，學生們通過學習數學探索歷史，在一個個數學的發展故事中感悟數學概念形成的智慧.但是大多數學生在學習數學概念的時候，往往會感覺無趣，對學習沒有很大的積極性，如果教師可以將一些有趣的數學歷史故事引到數學課堂教學中，就能使學生了解無數數學家面臨的各種數學難題，并通過自己的努力積極解決各類難題，從而獲得令人仰慕的成就的重要歷程.學生在了解了這樣一段既艱辛又具有勵志精神的歷史后，會對數學概念有深入地解讀，明白了數學概念創造的過程，也會在潛移默化中了解數學發展的一些重要規律，產生學習數學的欲望.如在學習“正數與負數”這節課程時，學生需要掌握的重要知識概念就是“比0大的數是正數，比0小的數是負數，正數與負數表示意義相反的量，0既不是正數，也不是負數”.但若是教師直接將這樣的概念闡述給學生，學生往往很難理解，而在基于HPM視角下的教學中，教師可以向學生介紹“數的發展歷史”，告知學生在遠古時期并不存在“1，2，3……”這樣的數字，古時候的人主要是使用木棍和繩結進行計數，但由于使用起來非常不方便，于是就產生了“1，2，3……”的阿拉伯數字[2].其后為了表示“空的”和“沒有”，就創造了“0”這個數字.而隨著社會的不斷發展，為了更好地滿足“分物”的生活需求，數學家還專門發明了“分數”，同時為表述生活之中一些具有相反意義的量，“負數”就被創造發明了.教師介紹這樣的一段數學歷史，學生就會對“數”的發展歷史有更加深刻的理解認識，而在這個過程中，學生自然而然就理解了“正數”“負數”以及“0”的數學概念含義，從而更好地學習數學知識.

(二)介紹定理的發展和證明過程

數學定理的學習是初中數學教學的難點，學生在以往的教學中經常存在著“一學就會，一做就不會”的問題.而造成此種現象的重要原因就是學生不理解定理，也不理解定理應用的本質.因此在基于HPM視角下的初中數學課堂教學實踐中，教師可以將定理的發現和證明過程全面地展示給學生，讓學生體會定理中蘊含的數學思想和方法，這可以更好地促進學生數學學習[3].如在學習“勾股定理”這節課程時，勾股定理的公式是a2+b2=c2，而向學生講解這一定理公式時，教師可以引入畢達哥拉斯從地板形狀引發思考的故事，從而引導學生自主對定理進行推導論證，讓學生了解這一定理的本質含義.同時，在教學過程中，教師可以將畢達哥拉斯看到的地板展示給學生，讓學生依照這一思路進行推導.

這樣的教學可以更好地幫助學生感受數學概念的產生過程，促使學生更好地理解數學定理.而除畢達哥拉斯對勾股定理的證明外，迄今為止，全世界已經有四十多種證明勾股定理的方法.在教學過程中，教師為更好地培養學生舉一反三的思維能力和多角度看待問題的能力，還可以引入我國數學家趙爽提出的“弦圖”證明方法，讓學生知道三國時期數學家趙爽在《周髀注》中也曾有關于勾股定理的推導，然后教師可以讓學生依照趙爽提出的“弦圖”證明方法，從另一個角度進行定理公式的推導證明，從而幫助學生感受東西方數學家不同的思想和智慧.

(三)介紹數學家的故事，培養探索精神

在漫長的歷史發展過程中，有無數的數學家畢生奉獻，對數學理論進行研究推算，為人類社會發展做出了巨大的貢獻.在基于HPM視角下的初中數學課堂教學實踐中，教師還可以向學生介紹數學家的故事，讓學生了解數學家的創造與生平，這樣的教學不僅為枯燥的數學課堂增添了趣味，還可以對學生產生一定的激勵作用，促使學生像數學家一樣，勇于探索，堅持不懈，從而實現對學生道德素質的有效教育.如在學習“平面直角坐標系”這節課程時，教師就可以在課程導入環節，向學生引入介紹法國數學家笛卡爾的故事.平面直角坐標系的創建者是笛卡爾，而這一偉大發現其實源于生活中的一次偶然，笛卡爾在德國南部諾伊堡的軍營中苦苦思考，不知如何用代數中的數來描繪幾何中的點，而在他百思不得其解時，被墻上的蜘蛛網所吸引，并發現蜘蛛網與他想要解決的問題異曲同工，于是笛卡爾想，是否能夠將蜘蛛看成一個點，并將蜘蛛與兩面墻的距離作為參考來確定蜘蛛的具體位置.在這樣的啟發下，笛卡爾建立了平面直角坐標系，因此人們也將平面直角坐標系稱之為笛卡爾坐標系[4].在平面直角坐標中，每一個點都有與之對應的坐標，同時，任何一個點都可以用(x，y)表示.類似于這樣的數學故事還有很多，如我國數學家華羅庚的故事、古代數學家祖沖之的故事等，這些故事中的數學家都擁有著非凡的成就和傳奇的經歷.在基于HPM視角下的初中數學課堂教學實踐中，教師將數學家故事的引入，可以更好地激發調動學生的學習熱情，并有效培養學生的數學探索精神.

(四)引入數學歷史名題，調動學生思維

習題練習是初中數學教學中不可或缺的一個環節，通過習題練習學生可以更好地掌握知識要領，促使自身的數學實踐能力得到提升.而在基于HPM視角下的初中數學課堂教學實踐中，教師可以運用數學歷史名題對學生進行訓練，這些數學問題不僅經典，且蘊含啟發思維智慧的數學思想，學生對這些數學名題思考求解，可以更好地啟發思維，推動學生數學學習的腳步.在數學學習過程中，善于提出問題對學生來講非常重要，可以促進學生通過不斷探究尋求 ，有效地解決問題的方法.所以，教師在實際教育教學中，要鼓勵學生積極思考，發現問題所在，然后有意識地鍛煉學生的質疑精神，培養學生的批判思維能力，從而為學生有效解決問題開辟的路徑.在這里筆者舉這樣的兩個例子：

如“哥尼斯堡七橋問題”，該問題被譽為18世紀最典型的數學問題：哥尼斯堡是位于普累格河上的一座城市，它包含兩個島嶼及連接它們的七座橋，如圖所示，是否存在一種方案可以不重復地走過所有的橋然后回到起點？這樣的問題非常帶有挑戰性，學生一定會積極踴躍地參與到解題過程.

如“斐波那契兔子問題”，也是數學史中非常具有代表性的一道數列難題.由意大利數學家斐波那契在其所著的《算法之書》中提出：假設一對大兔子每月能生出一對小兔，一對小兔出生兩個月后可以生小兔子，假設一年之內沒有任何兔子發生死亡，那么這對大兔子一年能夠繁殖多少對兔子？這是一個非常典型的線性數列問題，問題的解法就是“斐波那契數”，在解這樣的一個數學歷史名題過程中，可豐富學生多種知識智慧[5].

而在我國也有很多這樣的數學歷史名題，如雞兔同籠問題、鳩占鵲巢問題等，這些問題都展現出了我國數學家非凡的智慧.在基于HPM視角下的初中數學課堂教學實踐中，教師引入數學歷史名題對學生進行訓練，不僅可以激發學生的學習興趣，還可以培養學生的數學洞察力，獲得意想不到的教學效果.

(五)介入學生形成數學探索精神的思考

很多學生對數學學習充滿了興趣，有的是對數學思維神奇能力的向往，有的是對數學家故事具有新奇的體驗感.這一切，讓他們逐步形成了對數學進行探索的動力，想要在長遠而深入的學習中認識更多有關數學的理論和實踐.而教師為了保障學生的學習質量，需要幫助他們形成科學的探索精神，指導他們對數學理論開展學習和探究.大多數學生都會把運用知識作為一項實踐內容，而缺少對知識進行理論方向上的積極思考，認為這樣的思考屬于紙上談兵，不能夠給自己的學習效果帶來多大的提升.因此，學生的思維中雖然存在探索精神，卻也存在將知識應用于實踐過程的局限性，不具備準確定位和發現新的學習知識的基本能力.教師可以換一種形式，讓學生對物理或社會學方面的數學問題進行計算并講解，讓他們能夠從得出最終結論，思考理論的形成過程，認識數學知識理論方面的實用價值，使學生對數學的思考具備科學性.例如，速度公式的計算過程，需要學生在了解時間和距離的情況下，完成對物體平均速度的討論并得出最終結論.學生可以直接套用速度的計算公式，對速度與距離成正比關系的理論進行計算、思考和驗證.教師將理論引入他們認識速度這個數學概念的思路中，讓學生能用理論驗證一部分事實.這樣，學生就可以充分發揮探索精神并將此作為他們學習和進步的動力.

(六)落實對數學思維教學內容的詳解

大家常用思維這個名詞來代表自己在學習中不曾弄懂的客觀事物.這讓學生把鍛煉自己的思維當成提升個人數學學習能力的重要途徑，卻不清楚思維是怎樣改變個人學習理念的.首先教師要在教學中引入數學思維的內容，以此作為學生學習新知識的契機，讓他們能夠準確理解思維是一種特殊的數學解題方法，而不是學生經思考后得出的一種結論.其次教師要求每個學生都對數學思維進行合理的解釋，了解他們是否把學習中使用的數學模型和道具當成思維.依據教學中要完成的教材教學內容，教師可對這些內容進行運用數學思維上的詳解，落實開發學生思維能力和拓展他們思維的科學教學設計.例如，兩個三角形存在關系的實踐教學內容，需要通過分析已知條件和可推導出的未知條件，驗證三角形是否存在邊角關系上的相同或相似，從而證明它們的相似或全等關系.教師要詳細講解，分別驗證兩個三角形的邊角關系，再用數學思維推導它們之間是否存在數字關系和邊角的位置關系.最后，教師帶領學生找到題目當中的數學思維，完成實踐教學.

四、總 結

數學史是人類人文歷史的重要組成部分，在教學數學課程時，教師將數學史引入教學之中，不僅可以幫助學生認識知識的來源本質，還使學生的人文素養、探索精神得到培養，而這也是新時期對數學人才培養的要求.因此基于HPM視角下的初中數學課堂教學實踐具有重要意義，在今后的教學中，教師有必要對HPM做更加深入的探索研究，將其與初中教材內容有機結合.