密度非均勻分布緯編針織物的變形預測及仿真

汝 欣，朱婉珍，史偉民，彭來湖,3

(1.浙江理工大學 機械與自動控制學院，浙江 杭州 310018；2.浙江理工大學 浙江省現代紡織裝備技術重點實驗室，浙江 杭州 310018；3.浙江理工大學龍港研究院有限公司，浙江 溫州 325802)

為滿足針織物的設計樣式和功能的多樣化需求，一件緯編針織物成品往往是由不同密度(橫密、縱密)的緯編組織結合而成。如針織護膝、針織防曬袖等貼身衣物，需將其設計成密度非均勻變化的樣式來適應人肢體粗細不均的特點。當織物的密度分布不均勻時，織物成品的線圈并非是保持理想形態，而是會發生一定程度的變形。近幾年關于緯編針織物變形仿真問題，國內學者主要研究的是線圈級別的變形：沙莎等[1-2]研究了在緯編基本組織中分別引入單個浮線、集圈和移圈線圈單元時線圈發生的變形；雷惠等[3]通過在織物中分別引入不同類型的線圈來研究它們對與其在同一橫列的線圈高度的影響，沒有考慮對縱行線圈尺寸的影響；國外一些學者關注到了織物的整體變形，Vajiha等[4]針對單雙面緯平針織物，提出了一種基于彈簧-質點模型的模擬針織物卷邊的方法，仿真效果逼真；Karmon等[5]提出了針對織物整體變形及補償的織物仿真系統的構想，但是沒有給出具體的實現方式。現有緯編針織物CAD變形仿真技術缺少針對密度非均勻分布的緯編針織物的變形研究。

本文以密度非均勻分布的緯編針織物為研究對象，提出一種確定密度非均勻分布的織物彈簧-質點模型初始態的方法，基于二維Peirce線圈模型并結合織物圈距、圈高選取控制頂點建立NURBS線圈模型和質點-控制點關聯式，最終實現變形織物的二維仿真模擬，為密度非均勻分布的緯編針織物的變形研究提供解決思路。

1 織物變形預測總體方案

本文基于緯編針織物密度非均勻分布的設計圖，對密度非均勻分布的緯編針織物變形預測及仿真方法進行研究。圖1示出2種密度的織物組織結合時織物變形研究的圖形變化過程。

圖1 織物變形模擬過程Fig.1 Simulation process of fabric deformation.(a) Fabric density distribution ；(b) Initial state of spring-mass model of fabric;(c) Mesh deformation diagram of fabric;(d) Loop-mesh model ;(e) Deformation simulation of fabric with non-uniform density distribution;(f) Physical picture of a fabric with non-uniform density distribution

圖2示出主要研究流程，具體步驟如下：1)將織物的織物密度分布圖轉換成相應的織物密度矩陣。密度非均勻分布的緯編針織織物的設計圖(后文簡稱為織物密度分布圖)是在織物結構意匠圖的基礎上結合織物密度改進而來,在織物密度分布圖中僅以顏色來區分不同密度的組織，其中，每種密度的組織均由相同結構和大小的線圈組合而成。為便于說明，本文示例中的線圈結構均為成圈。圖1(a)示出織物密度分布圖，表示的是由 2種密度的織物組織拼接而成的織物，其中黑色部分代表密度大的織物組織，淺灰色部分代表密度稍小的織物組織。

圖2 主要研究流程Fig.2 Main research process

2)從織物密度矩陣解析織物尺寸、位置等信息，確定織物彈簧-質點模型初始態。如圖1(b)所示為與圖1(a)所示的織物密度分布圖對應的織物彈簧-質點模型初始態。

3)在織物彈簧-質點模型初始態的基礎上結合力學分析計算出質點受力偏移后新的位置，生成網格變形圖。圖1(c)為據圖1(b)生成的織物網格變形圖。

4)在織物網格變形圖基礎上建立曲線線圈模型，形成帶有曲線線圈的織物變形模擬圖。建立圖1(d) 所示網格-線圈模型，再根據織物結構意匠圖來確定每個網格單元代表的線圈結構，實現如圖1(e) 所示的帶有曲線線圈的織物變形模擬。

5)將圖1(e)所示織物變形模擬圖與實際樣品圖進行比對，分析仿真效果的可靠性。

2 織物網格變形研究

由織物密度分布圖確定織物初始狀態的彈簧-質點模型；在此基礎上運用胡克定律和牛頓第二定律建立微分方程，采用Verlet數值積分法求解方程得到質點在力的作用下新的位置，形成網格變形圖。

2.1 織物彈簧-質點模型的建立與求解

建立織物的彈簧-質點模型，即將織物離散成一群排列有序的質點，質點之間由彈簧(質量忽略不計)連接。在織物的彈簧-質點模型中，連接水平和豎直方向的質點的彈簧為結構彈簧；連接矩形單元格對角線方向質點的彈簧為剪切彈簧；第3種彈簧為彎曲彈簧[6]，其彈簧系數較小，本文不考慮彎曲彈簧。通過控制質點的坐標位置來控制線圈的形態，最終實現整個織物的變形模擬。

為便于選取質點，本文先將織物進行簡化，平面的緯編針織物表面線圈呈縱、橫向排列分布，據此將織物以線圈為單位按照縱、橫2個方向進行網格劃分，將織物簡化成二維網格[7]，線圈單元簡化成了四邊形單元格，如圖3(b)所示。在織物的二維網格圖中，二維網格縱、橫方向的單元格個數對應織物縱、橫方向的針數，矩形單元格的高B、寬A對應著理想線圈的圈高、圈距。

圖3 織物的二維網格Fig.3 Two-dimensional mesh of fabric.(a) Physical picture of weft plain fabric;(b) Fabric mesh

選取織物二維網格圖中單元格頂點作為質點，單元格的寬、高為結構彈簧的2種長度，單元格對角線長度為剪切彈簧的長度；橫列數m、縱行數n的針織物對應(m+1)×(n+1)個質點構成的彈簧-質點模型。圖4示出彈簧-質點模型的示意圖。

圖4 彈簧-質點模型Fig.4 Spring-mass model

2.1.1 織物彈簧-質點模型初始態的確定

為方便計算機讀取，需將織物密度分布圖進行數字化處理：將織物的線圈以矩陣元素的形式存儲在矩陣中，矩陣中1個矩陣元素表示織物中對應位置上的1個線圈，定義該矩陣為織物密度矩陣ρ。

(1)

式中：i=1,2,…,m;j=1,2,…,n；ρi，j=k表示織物中第i行第j列的類型為k的線圈，k=1,2,…;類型相同的線圈其所在織物組織的密度相同，將其所在組織也稱為組織k。矩陣行數m、列數n分別表示織物線圈的橫列數和縱行數。

在織物的網格圖中，不同密度的織物組織表現為不同大小的矩形單元格。根據織物密度矩陣ρ，確定織物第i行第j列的線圈k值，根據線圈的k值來確定該線圈所處組織的圈距和圈高，進一步確定質點的坐標。說明密度均勻時根據線圈的類型值k,可確定質點坐標的方法。織物第i行第j列的線圈類型為k,其對應的圈高和圈距分別為B、A,則該線圈的4個質點坐標值如圖5所示。

圖5 單個線圈坐標與尺寸圖Fig.5 Coordinate and dimensional diagram of individual loop

現以圖1(a)所示的織物密度分布圖為例，說明其對應的密度非均勻分布織物的初始狀態的彈簧-質點模型建立過程。

圖1對應的織物密度矩陣ρ為

(2)

其中,

圖1(a)所示織物是由2種密度的組織拼接而成，這2種密度分別為組織1、組織2(中間密集部分)。先假定所有組織的矩形單元格的寬度和高度都為組織1的寬、高來賦予質點坐標值初值，形成如圖6(a)所示網格；接著根據織物密度矩陣確定織物中組織2的線圈在織物中的位置，將組織2的實際大小所占據的區域(圖6(b)小方格組成部分)和組織2被當成組織1所占據的區域(圖6(b)虛線方框框選)按照幾何中心重合的方式重新確定組織2各質點的坐標位置，形成圖6(b)所示的織物初始狀態的彈簧-質點模型。

圖6 織物的彈簧-質點模型Fig.6 Spring-mass model of fabric.(a) Fabric mesh;(b) Initial state of spring-mass model of fabric

從圖6(b)可以看到處于組織過渡處的線圈已經不再是規則的四邊形，該四邊形的4個頂點處的質點處于非平衡受力狀態，模擬了由于密度不同導致的2種密度過渡處織物受力不均衡的狀態。

2.1.2 質點受力分析及微分方程的建立與求解

質點的位移遵循牛頓第二定律：

F=amm

(3)

式中：F為質點受到的內力與外力的矢量和，本文不考慮外力的影響，因此這里的F即為彈簧的彈力(結構彈簧力和剪切彈簧力);mm為質點質量；a為質點加速度。由于采用的是理想彈簧，不考慮阻尼力，彈簧力F遵循胡克定律：

F=-KΔx

(4)

式中：K為質點間彈簧的彈簧系數；Δx為彈簧的變形量。圖7為質點受力分析圖。

圖7 質點受力分析圖Fig.7 Force analysis diagram of mass

假設當前質點為Mm,Mn是與Mm連接在一根彈簧上的質點，則當前質點所受的彈簧力合力為

(5)

式中：n=1,2,…，8；Km,n為連接當前質點Mm與Mn之間彈簧的彈簧勁度系數；xm和xn分別為當前質點Mm和質點Mn在t時刻的位置矢量；lm,n為彈簧原長。

Verlet積分[8-11]方法計算速度快，精度高，簡單穩定，故選用Verlet積分方法進行微分方程的數值求解。

(6)

將式(5)代入式(6)得：

x(t+Δt)=2x(t)-x(t-Δt)+

(7)

式中：x(t)為當前質點在t時刻的位置矢量；Δt為迭代時間步長；F(t)為當前質點所受到的合力。上式表明，由質點當前時刻t和前一時刻的位置矢量和受力情況可預測該質點下一時刻的位置。

2.2 織物網格變形實現

求解彈簧-質點模型獲得質點在一定時間后的位置，圖1(b)示出初始狀態的彈簧-質點模型在力的作用下最終形成圖1(c)所示的織物網格變形圖。在圖1(b)示出的織物二維網格變形圖中，內層密度大的組織其變形趨勢是向周圍擴散的，外層密度小的組織有往中間收縮的趨勢，且其變形程度比緊密組織的稍大，符合密度大的組織更加穩固的實際情況。整個織物中變形最大的部分是發生在2個組織交接處，越遠離組織交接處，線圈變形程度越小甚至沒有變形。織物網格變形圖代表了織物的變形趨勢。

3 線圈-網格模型

為使織物外觀模擬更具真實感，采用NURBS曲線描述線圈形態；建立二維網格質點與線圈曲線控制點之間的關聯式，定義其為質點-控制頂點關聯式。由質點坐標和質點-控制頂點關聯式計算出對應曲線的控制頂點坐標，由控制頂點生成相應的NURBS曲線線圈，最終實現對整個織物的線圈建模。

3.1 NURBS線圈模型

3.1.1 NURBS曲線

在針織物的線圈仿真模型中，NURBS曲線[12]的形態可通過控制頂點實現局部調控，因此不會因單個控制頂點的改變引起整條曲線形態都發生改變，形態更加可控。基于此，本文采用NURBS曲線進行線圈形態模擬。

k次非均勻有理B樣條曲線(k次NURBS)表達式[13]為

(8)

式中：Pi為控制頂點，構成控制多邊形；ωi>0為權因子，確定控制(頂)點的權值，其值越大，曲線越接近相應的控制點，這里取ωi=1，k=3,u=[u0,u1,…,un+k+1]為節點矢量，節點矢量首末取四重節點即u0=u1=u2=u3=0，un+1=un+2=un+3=un+4=1，內節點u4,u5,…,un采用里森費爾德方法[14]確定；Ni，k(u)為定義于非均勻控制矢量上的k次B樣條基函數。

3.1.2 選取線圈模型控制頂點

本文在如圖8(a)所示二維Peirce線圈模型[15]基礎上選取線圈的NURBS曲線控制頂點，在矩形單元格中選取圖8所示10個點Pi(i= 0,1,…，9)，作為三次NURBS曲線線圈的控制頂點，形成如圖8(b) 所示的的NURBS線圈。其中，虛線部分為控制多邊形，實線部分為1個NURBS曲線線圈，P0P1P2、P7P8P9段控制線圈的沉降弧形態，P2P3、P6P7段控制圈干形態，P3P4、P5P6段控制針編弧形態。

圖9示出了縱向線圈之間相互串套關系，其中黑色實線代表當前線圈，Mj(j=1,2,3,4)為質點，Pi(i=0,…,9)為NURBS曲線(控制頂點)。控制頂點Pi(i= 0,1,…，9)的坐標為

圖9 線圈縱向串套關系示意圖Fig.9 Diagram of longitudinal cascade relationship of loops

pi=kx,iAx+ky,iBy,i∈[0,9]

(9)

式中：x，y分別為x、y方向的單位向量；矩形網格寬度A為圈距；高度B為圈高；kx,i,ky,i分別為當前控制點與A，B的比例系數，其取值詳見表1，其中系數大于1的點在由Mj(j=1,2,3,4)構成的矩形單元格的外部，小于1的點在矩形單元格的內部。

3.2 質點-控制頂點關聯式

建立質點與控制頂點的數學關系式[1,15]，由質點-控制頂點關聯式和質點坐標就可計算出控制點坐標，將控制頂點代入式(8)生成相應的NURBS曲線線圈，如圖10所示。控制點用來控制線圈的幾何形狀，質點控制四邊形的形狀，當質點受力偏移，四邊形發生變形；相應的NURBS曲線線圈也發生變形,如圖10(b)所示。每個單元格的4個質點關聯1個線圈的10個控制頂點。

圖10 線圈-網格模型Fig.10 Loop-mesh model.(a) Ideal style of loop;(b) Deformed loop

結合表1，將控制頂點Pi(i=0,…,9)用質點Mj(j=1,2,3,4)線性表示,用矩陣相乘形式表示即

表1 線圈控制點比例系數取值表Tab.1 Value of scale factor of control point of loop

(10)

式中：P=[P0,P1，…,P9]；M=[M1,M2,M3,M4]。

按行、按列遍歷網格變形圖中每一個單元格，依次用NURBS曲線線圈取代每個四邊形單元格，最終形成整個織物的變形仿真圖，如圖1(e)所示，其為圖1(c)所示網格變形圖對應的變密度非均勻變化的織物變形模擬圖。

4 實驗與織物仿真效果分析

4.1 織物樣品

設計實驗，將真實織物與其對應的仿真圖對比，分析仿真結果的可靠性。

為減少干擾因素，所有樣品采用相同的紗線原料：39.37 tex×7腈綸，樣品由慈星電腦橫機 CE2-60S 編織而成，實驗設計了如圖11所示2種樣式的織物樣品。其中圖11(a)所示樣品由3種密度的平針組織組成，從上往下分別為平針組織1(紫色)、平針組織2(藍色)、平針組織3(綠色)；圖11(b) 示出的樣品由2種密度的平針組織組成，從里到外分別是平針組織2(藍色)、平針組織3(綠色)。樣品具體參數詳見表2。

圖11 樣品實物圖Fig.11 Physical picture of sample.(a) Sample 1;(b) Sample 2

表2 織物規格參數表Tab.2 Fabric specification parameters

4.2 計算機織物仿真及效果分析

使用javascript進行數據處理和計算，使用SVG進行圖形繪制，對樣品1、2進行仿真,仿真的部分信息見表3。仿真圖如圖12所示。

圖12 樣品仿真圖Fig.12 Simulation diagram of sample.(a) Sample 1；(b) Sample 2

表3 計算機織物仿真的部分信息表Tab.3 Partial information of fabric simulation on computer

計算機織物仿真算法流程如下。

輸入：織物各組織的橫列數、縱行數、圈距、圈高等參數。

輸出：織物線圈仿真圖。

步驟1：初始化織物彈簧質點模型的質點坐標。

步驟2：遍歷所有質點，對質點進行受力分析。

步驟3：建立質點的力學微分方程，并使用數值方法求解方程，得到質點在力的作用下一個時間步長的位移，更新質點位置。

步驟4：重復步驟2、3，當所有質點相比上一次迭代，其位移量不大于設定的極限值時，停止迭代。

步驟5：將質點位置代入質點-控制頂點關聯式，得到控制頂點位置。

步驟6：根據控制頂點確定NURBS曲線，顯示織物仿真圖。

對照圖11樣品實物圖與圖12中相應的仿真圖分析知，仿真圖與實物圖變形趨勢是一致的，整體尺寸也基本保持一致。變形程度最大的線圈主要集中在不同密度的組織交接處，遠離組織交接處的線圈變形程度逐漸變小,且織物外輪廓處變形和實際織物的卷邊也保持一致。

5 結束語

根據織物密度分布圖建立織物彈簧-質點模型，對模型中質點進行受力分析并建立微分方程，采用Verlet數值積分求解方程，形成織物網格變形圖，在此基礎上結合NURBS曲線線圈模型，形成密度非均勻分布緯編針織物仿真圖，對比仿真圖與實際樣品，變形趨勢高度一致。研究為密度非均勻分布的緯編針織物的變形研究提供了一種解決思路，對設計者預測密度非均勻分布的緯編針織物成品最終外觀形態有一定的參考價值。但本文織物組織的組合樣式比較少，另外涉及到織物中大量線圈的變形問題時，仿真模擬的計算效率也是值得關注的問題，本文仿真的計算效率還有待提升。

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