基于正交試驗法的薄壁角接觸球軸承優化設計*

李俊文,陳玉蓮

(廣州理工學院 智能制造與電氣工程學院,廣東 廣州 510540)

0 引 言

目前,機器人正在朝輕量化和精密化方向發展。

為了滿足輕量化的要求,機器人中使用的軸承大多采用薄壁軸承。雖然薄壁軸承質量較輕,但溝道處壁厚較小,往往剛度偏低,疲勞壽命也較短,不能滿足機器人的整體性能要求,成為薄壁軸承需解決的主要問題之一[1]。

張陽陽等人[2]提出了薄壁角接觸球軸承的多目標優化方法,綜合使用多目標函數的功效系數法、加權系數法以及正交試驗優化設計方法,基于RomaxCLOUD對某薄壁角接觸球軸承進行了優化設計,優化后的軸承整體性能有較大提高。羅天宇等人[3]以高速精密角接觸球軸承剛度為優化目標,建立了其目標函數,采用局部網格法對角接觸球軸承進行了優化設計,并得出結論,即對軸承進行優化設計時應充分考慮剛度,在滿足軸承壽命的要求下,應適當增加球數和減小球徑。王廷劍等人[4]以某航空發動機主軸用三點接觸球軸承的6個結構參數(球數、球徑、墊片角、內圈溝曲率半徑系數、外圈溝曲率半徑系數、徑向游隙)為影響因素,建立了以軸承基本額定壽命為目標函數的優化模型,并基于正交試驗法,對軸承結構參數進行了優化設計及分析,得到了針對不同結構參數提高軸承壽命的方法。王盛業[5]采用正交試驗法,并基于止推軸承的6個結構參數,建立了25組動靜壓螺旋槽軸承結構模型;以軸承承載性能作為優化目標,利用FLUENT軟件建立了仿真模型,并對25組模型的承載特性進行了研究,將正交表對仿真結果進行了對比分析,得到了軸承承載能力的變化規律及正交試驗后最優仿真計算模型。盛明杰等人[6]以某型號陀螺電機主軸承4個結構參數(球數、徑向游隙、外圈溝道曲率半徑系數、內圈溝道曲率半徑系數)為影響因素,基于正交試驗法,以軸承摩擦力矩、球磨損率、軸承疲勞壽命為優化目標,對軸承結構參數進行了多目標優化設計,確定了最佳設計方案。

以上文獻大部分是基于單目標的優化設計,與軸承的實際工況相差甚遠;也有多目標的優化設計,但沒有同時考慮以軸承的接觸剛度、接觸疲勞壽命和質量進行多目標優化,使軸承設計存在一定的局限性。

筆者以某機器人用薄壁角接觸球軸承為研究對象,基于正交試驗法,以內圈溝道曲率半徑系數等軸承結構參數為影響因素,建立5因素混合水平的正交試驗方案,以接觸剛度等3個性能指標為目標函數,對軸承結構參數進行優化設計,通過極差分析和綜合平衡分析法確定最優結構參數。

1 軸承性能指標計算模型

機器人采用薄壁角接觸球軸承時,在滿足其一定壽命的使用要求前提下,接觸剛度是其最重要的性能指標,其次還有輕量化指標。

1.1 接觸剛度計算模型

在角接觸球軸承擬靜力學模型的基礎上,根據鋼球與內、外圈溝道的Hertz接觸情況,計算軸承的整體接觸剛度[7,8]:

(1)

其中,F、E的計算公式分別為:

(2)

(3)

式中:φ—滾珠的位置角。

k、E、F滿足以下曲率函數關系:

(4)

1.2 接觸疲勞壽命計算模型

由彈性滾動接觸的Hertz理論[9,10]，考慮滾珠影響時，角接觸球軸承的接觸疲勞壽命L(單位106r)計算公式[11]為

(5)

式中:Nb—滾珠數目,數值為z;Lcij，Lcoj——與第j個滾珠接觸的內、外圈的疲勞壽命,j=1,2,…,Nb;ij—旋轉套圈的轉速與第j個滾珠的自轉轉速之比值,通過軸承內部的幾何運動關系確定;Lbij，Lboj—與內、外圈接觸的第j個滾珠的疲勞壽命。

其中,Lcij、Lcoj可分別表示為：

(6)

式中:Qci，Qco—內、外圈的額定動負荷;Qij，Qoj—第j個滾珠與內、外圈的接觸負荷。

Lbij、Lboj可分別表示為：

(7)

式中:Qbi,Qbo—滾珠與內、外圈接觸的額定負荷。

1.3 質量計算模型

薄壁角接觸球軸承由滾珠、保持架、內圈和外圈4部分結構組成,因此,軸承的總質量等于這4部分結構的質量之和。

下面,筆者介紹各部分結構的質量計算公式,詳細計算過程可參考劉勝超等人[12]的文獻。

滾珠質量的計算公式為:

(8)

式中:ρball—滾珠密度;Vball—滾珠體積;Dw—滾珠直徑;z—滾珠數。

保持架質量的計算公式為:

mcage=ρcageVcage

(9)

式中:ρcage—保持架密度;Vcage—保持架體積。

內圈質量的計算公式為:

mi=ρiVi

(10)

式中:ρi—內圈密度;Vi—內圈體積。

外圈質量的計算公式為:

mo=ρoVo

(11)

式中:ρo—外圈密度;Vo—外圈體積。

根據上面的計算過程,可得出軸承的總質量計算公式為:

mb=mball+mcage+mi+mo

(12)

2 多指標正交試驗理論

2.1 多指標正交試驗優化方法

正交試驗法是一種基于正交表來研究多因素多水平優化問題的一種設計方法,具有均勻分散性和齊整可比性的特點,主要以數理統計學、概率論和實踐經驗為基礎,在許多領域的研究中都得到了廣泛應用。

利用標準化正交表,它可以科學合理地設計試驗方案;根據正交性,從全部試驗中選出部分有代表性和典型性的點進行試驗,并對試驗結果進行分析計算,從而了解全面試驗的情況,最終快速找到優化方案[13]。

采用正交試驗法進行設計時,由于都要依賴于正交表,于是,正交表的合理選用就成為進行正交試驗設計的最重要環節[14,15]。

2.2 正交試驗數值模擬仿真流程

根據以上分析,并結合多指標正交試驗理論,筆者建立了軸承優化設計的正交試驗數值模擬仿真流程圖,如圖1所示。

圖1 正交試驗數值模擬仿真流程

2.3 試驗方案確定

2.3.1 軸承主參數和優化參數

筆者以某機器人RV減速器中常用的主軸承—薄壁角接觸球軸承為例,研究軸承的多目標優化設計。

該軸承具有占用空間小、精度高等優點,其主參數為:內徑d=82 mm,外徑D=102 mm,寬度B=13 mm,接觸角α=15°;

軸承工況參數為:轉速n=1 000 r/min,軸向載荷Fa=800 N,徑向載荷Fr=1 500 N。

需要優化的5個參數分別為:內圈溝道曲率半徑系數fi、外圈溝道曲率半徑系數fo、滾珠直徑Dw、節圓直徑Dpw和滾珠數z。

根據角接觸球軸承的設計經驗,軸承的內圈溝道曲率半徑系數fi一般小于外圈溝道曲率半徑系數fo,且滿足0.51≤fi

滾珠直徑Dw需滿足以下約束條件:

(13)

經計算,筆者選取滾珠直徑Dw的值為常用的6 mm、6.35 mm、6.5 mm(3個水平值);節圓直徑Dpw就近選取92 mm、92.5 mm、93 mm、93.5 mm、94 mm(5個水平值)。

滾珠數z的約束條件為:

(14)

由公式(14)計算可得z≤36.5,故筆者選取28、30、32、34、36(5個水平值)。

2.3.2 試驗方案設計

此處試驗目的是在薄壁角接觸球軸承滿足一定壽命條件下,獲得其較大接觸剛度和較小質量的最優結構參數,即性能指標為接觸剛度、接觸疲勞壽命和質量。

根據此次試驗要求,筆者選擇對性能指標具有顯著影響的5個結構參數進行正交試驗。結構參數分別為:fi(因素A,5個水平)、fo(因素B,5個水平)、Dw(因素C,3個水平)、Dpw(因素D,5個水平)和z(因素E,5個水平)。

各因素水平值如表1所示。

表1 各因素水平值

筆者結合前面建立的軸承性能指標計算模型,基于MATLAB平臺,分別對接觸剛度、接觸疲勞壽命和質量進行數值計算,得出3組數值模擬數據,即性能指標數據。

根據正交試驗原理,筆者設計五因素混合水平正交試驗方案L25(54×31),如表2所示。

表2 五因素混合水平正交試驗方案

3 結構參數優化設計

3.1 極差分析理論

極差分析法(簡稱R法)又稱為直觀分析法,它包括計算和判斷兩個步驟的內容[17]。

極差分析法示意圖如圖2所示。

圖2 極差分析法示意圖第j列因素m水平所對應的試驗指標的平均值;Rj—第j列因素的極差;折算后的極差

極差Rj的值可以用第j列因素各水平下平均指標值的最大值與最小值之差來表示,即:

(15)

極差Rj反映了第j列因素的水平值變化時,試驗指標的變化幅度。一般情況下,每個試驗指標下所對應因素的極差是不同的,極差Rj主要是反映了每個因素下所選取的水平對試驗指標影響權重的大小[18]。極差Rj越大,說明該因素下所選取的水平對試驗指標的影響權重越大,于是依據極差Rj的大小,可以判斷出因素的主次關系。

當因素的水平數相同時,因素的主次順序完全由極差Rj決定。但當因素的水平數不同時,直接比較極差Rj不理想,因為若兩個因素對試驗指標有影響,一般來說,水平數多的因素極差可能大一些。

(16)

式中:r—該因素每個水平試驗的重復數;d—折算系數,與因素水平數有關。

其中:

r=n/m

(17)

式中:n—試驗次數;m—水平數。

折算系數如表3所示。

表3 折算系數

3.2 極差計算和因素主次順序確定

根據表2中的數據,以及公式(15,16),再利用MATLAB進行數值計算,可以得出試驗的極差分析結果,如表4所示。

表4 試驗的極差分析

續表

由于因素的水平不同,筆者根據表4中折算后的極差R′的大小,來確定各因素對各性能指標影響的主次順序。

各因素對各性能指標影響的主次順序如表5所示。

表5 各因素對各性能指標影響的主次順序

由表5可以得出:對接觸剛度影響最大的因素是內圈溝道曲率半徑系數;對接觸疲勞壽命影響最大的因素是滾珠直徑;對質量影響最大的因素是節圓直徑。

評價角接觸球軸承的主要指標是:接觸剛度K(越大越好),接觸疲勞壽命L(越大越好),質量mb(越小越好)。

表6 初選各因素最優水平組合

在初選最優水平組合條件下的3個性能指標值如表7所示。

表7 初選最優水平組合的3個性能指標值

3.3 綜合平衡分析法

由表6可知:

(1)對于接觸剛度的各因素初選最優水平是A5B1C3D5E5,即fi=0.535、fo=0.52、Dw=6.5 mm、Dpw=94 mm、z=36;

(2)對于接觸疲勞壽命的各因素初選最優水平是A1B2C3D2E5,即fi=0.515、fo=0.525、Dw=6.5 mm、Dpw=92.5 mm、z=36;

(3)對于質量的各因素初選最優水平是A2B5C1D1E1,即fi=0.52、fo=0.54、Dw=6 mm、Dpw=92 mm、z=28。

在不考慮試驗因素間相互作用的一般情況下,分析所選取試驗因素對試驗指標的影響時,對于單試驗指標,則正交試驗所選取的各試驗因素即為最優水平組合。

筆者選取了3個性能指標,屬于多指標正交試驗,且由上面分析得出3個性能指標的初選最優水平組合各不相同,需要綜合考慮各因素水平對試驗評判指標的影響,得出同時滿足3個性能指標的最優水平組合,且最優的試驗方案未必出現在所設計的試驗組中。因此,筆者采用綜合平衡分析法得出最優水平組合[19,20]。

對于因素A,3個性能指標的最優水平組合都不同,可結合表7試驗結果進行比較分析,筆者從A1、A2、A5中選擇最優水平。由于因素A對于接觸剛度和壽命指標均是主要影響因素,因此,筆者先比較A1和A5,從中選出較優水平,將其再與A2比較,通過定量比較分析得出結果。

最終得到各因素的最優水平組合如表8所示。

表8 最終各因素的最優水平組合

續表

從表8可以看出:

選A1時,相比選擇A5接觸剛度下降8.955 3%,屬于不利;接觸疲勞壽命提高46.669 5%,屬于有利;質量增加0.112 6%,屬于不利。經綜合考慮,A1有利的總比例大于A5,因此,筆者初選A1,再將其與A2進行二次比較;A2有利的總比例大于A1;最終,筆者得到A2是最優水平;

對于因素B,筆者采用同樣的分析方法,即先比較B1和B5,從中選出較優水平,再將其與B2進行比較。由于選B1比B5不利比重較小,因此,在兩者之中筆者選擇B1,再通過與B2進行二次比較,最終得到B2是最優水平;

對于因素C,在接觸剛度和壽命的最優組合中,均是C3為最優水平;在質量最優組合中,C1為最優水平;筆者通過對兩者進行定量比較分析,得出C3為最優水平;

對于因素D,從D1、D2、D5中選擇最優水平,由于因素D對于質量指標是主要影響因素,對于接觸剛度和壽命指標均是次要影響因素,因此,筆者先比較D1和D2,從中選出較優水平,再將其與D5進行比較,經比較分析得出D5為最優水平;

對于因素E,在接觸剛度和壽命最優組合中,均是E5為最優水平;質量最優組合中,E1為最優水平;筆者通過兩者的定量比較分析,得出E5為最優水平。

4 最優設計方案確定

綜上所述,在極差分析的基礎上,筆者采用綜合平衡分析法得出的最優水平組合為A2B2C3D5E5,即fi=0.520、fo=0.525、Dw=6.5 mm、Dpw=94 mm和z=36;

在該最優水平組合條件下,通過數值計算,可以得到3個性能指標模擬數值分別為接觸剛度K=4.324 0×105N·mm-1,接觸疲勞壽命L=2.121 8×104h,質量mb=247.036 6 g。

筆者將結果與表7初選最優水平組合的各性能指標值結果進行對比,得出以下結論:

(1)各性能指標的最優水平組合均偏重于對應性能指標的最優值,卻忽略其他性能指標;

(2)采用綜合平衡分析法綜合考慮各性能指標的最優狀態,得出平衡狀態下的最優水平組合,既滿足一定的壽命條件,且保證較高的剛度,同時兼顧軸承的輕量化,與機器人薄壁軸承的使用性能要求完全對標。

5 結束語

對于機器人用薄壁角接觸球軸承而言,在滿足其一定壽命的基礎上,接觸剛度是軸承第一性能指標,輕量化是其另外一個重要指標,為此,筆者以某機器人用薄壁角接觸球軸承的結構參數為對象,建立了以接觸剛度、接觸疲勞壽命和質量為目標函數的優化數學模型,基于正交試驗法,對軸承結構參數進行了多目標優化設計。

研究結論如下:

(1)該優化方法效率高,設定的目標更接近角接觸球軸承的實際工況要求,可行性高;

(2)通過極差分析和綜合平衡分析法可知,在工況參數為轉速1 000 r/min、軸向載荷800 N、徑向載荷1 500 N條件下,對軸承接觸剛度影響最大的因素是內圈溝道曲率半徑系數,對接觸疲勞壽命影響最大的因素是滾珠直徑,對質量影響最大的因素是節圓直徑。

筆者根據各因素的影響主次順序再對各因素水平下的性能指標結果進行了對比分析,最終得到了軸承的最優結構參數如下:內圈溝道曲率半徑系數0.520、外圈溝道曲率半徑系數0.525、滾珠直徑6.5 mm、節圓直徑94 mm和滾珠數36。該結構參數組合在接觸剛度、接觸疲勞壽命和質量3個性能指標中,找到了最優平衡點。

上述基于正交試驗法的軸承結構參數多目標優化設計方法是高效可行的。但是,為了進一步提高該方法的分析精度,筆者在下一階段將對該薄壁軸承進行正交試驗方差分析,研究每個因素對軸承多個目標影響的顯著程度,以便得到精度更高的結構參數。