基于威布爾分布的谷物干燥機可靠性分析*

文昌俊,陳 哲,徐云飛,邵明穎,左學謙

(1.湖北工業(yè)大學 機械工程學院,湖北 武漢 430068;2.湖北省現(xiàn)代制造質(zhì)量工程重點實驗室,湖北 武漢 430068)

0 引 言

在眾多的農(nóng)業(yè)機械設備中,谷物干燥機的應用較為廣泛。作為一種重要的糧食貯存設備,谷物干燥機一旦在作業(yè)季出現(xiàn)故障頻發(fā)的情況,就會導致谷類儲存過程中產(chǎn)生大量直接或間接的糧食損失。因此,保證谷物干燥機的平穩(wěn)、無故障運行,提高其生產(chǎn)效率,并減少其生產(chǎn)損失,其意義重大。

迄今為止,國內(nèi)大部分行業(yè)依舊延用傳統(tǒng)的后期維護或定期維護的方案,頻繁出現(xiàn)“維護不足”或“維護過度”的現(xiàn)象[1，2],因此造成了巨大的資源浪費。在這種情況下,預防性維修的策略逐漸得到了應用,而可靠性分析在預防性維修中又起著十分重要的作用。

目前,在農(nóng)業(yè)機械產(chǎn)品上的可靠性分析與評價理論還不夠完善。盡管有關于針對電子設備類產(chǎn)品的安全性研究已經(jīng)比較完善,但由于農(nóng)業(yè)機械產(chǎn)品和電子設備之間存在著很大的差異,無法將針對電子設備類產(chǎn)品的安全性研究成果充分應用到農(nóng)業(yè)機械產(chǎn)品的可靠性分析與評價上來。

穆艷等人[3]在對真空斷路器進行可靠性分析過程中,利用實驗數(shù)據(jù)建立了威布爾分布模型,并用Mann檢驗法驗證了模型,得到了模型的評價指標和斷路器的平均壽命。王亞菲等人[4]在針對汽車壽命估計方法的研究中,在進行威布爾參數(shù)估計時,對分別采用極大似然估計法和神經(jīng)網(wǎng)絡估計法獲得的結(jié)果進行了對比,證明了該方法的適用性。在對城軌計軸設備進行可靠性評估研究過程中,牛儒等人[5]以現(xiàn)場的真實數(shù)據(jù)為出發(fā)點,確定了城軌計軸設備失效率的概率分布。孫擴等人[6]基于飛機歷年的故障數(shù)據(jù),建立了其三參數(shù)威布爾模型,對該型飛機進行了故障預測,并對模型和預測方法的可行性進行了驗證。

然而在上述研究中,研究人員在選擇模型時沒有進行模型先驗,或者在進行參數(shù)估計時沒有進行參數(shù)估計方法的對比,故都影響了其分布模型的選擇,或?qū)е缕鋮?shù)估計精確度不高,從而影響分析結(jié)果的有效性和準確性。

因此,為了提高谷物干燥機的使用壽命,減少故障維修次數(shù),筆者運用可靠性分析理論對其使用壽命進行分析研究。

筆者依據(jù)歷史維修數(shù)據(jù)獲得試驗數(shù)據(jù),并進行數(shù)據(jù)預處理,即首先利用圖形法先驗模型,然后利用點估計的優(yōu)良性判別準則選擇合適的參數(shù)估計方法,隨后檢驗模型的合理性,建立谷物干燥機的可靠性模型,并計算得到谷物干燥機的可靠性指標和平均故障間隔時間。

1 威布爾分布與檢驗方法

筆者針對谷物干燥機的故障數(shù)據(jù)展開研究,首先整理谷物干燥機的相關維修記錄,利用概率統(tǒng)計理論分析結(jié)果,得出谷物干燥機的故障間隔時間,得到威布爾概率圖,擬確定使用威布爾分布來對這列數(shù)據(jù)進行建模,隨后利用最小二乘法和極大似然估計分別對威布爾參數(shù)進行計算,比較得出最優(yōu)的參數(shù)值,最后利用K-S檢驗法確定模型的合理性。

1.1 威布爾分布

機械產(chǎn)品常用的壽命分布主要有威布爾分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等。其中,威布爾分布為近年來在設備壽命可靠性分析中使用最普遍的模型之一,其形狀參數(shù)取值范圍能夠整體描述出“浴盆”曲線的各個階段。

威布爾分布的機理是根據(jù)故障的壽命數(shù)據(jù)研究機械產(chǎn)品的壽命與其可靠度之間的關系。威布爾分布有二參數(shù)和三參數(shù)兩種形式。當其位置參數(shù)γ≠0時,為三參數(shù)威布爾分布;反之,當γ=0時,則該分布為二參數(shù)威布爾分布。

谷物干燥機的故障間隔時間符合威布爾分布模型,模型隨機變量為干燥機壽命t,由于干燥機在零小時內(nèi)開始運行,故障是隨機的,可能從任務開始就發(fā)生,因此,干燥機的威布爾模型的位置參數(shù)為零,即γ=0。

綜上所述,可得干燥機的壽命模型為二參數(shù)威布爾分布,則相應的故障概率密度函數(shù)、故障概率分布函數(shù)和可靠度函數(shù)分別為:

(1)

(2)

(3)

式中:m—形狀參數(shù);η—尺度參數(shù)。

當m不變時,η值不同時概率密度曲線的高度和寬度均不相同;m為形狀參數(shù),根據(jù)m值的不斷變化,其故障概率密度曲線、故障概率分布曲線和可靠度曲線都會隨之變化。

其中,當m<1時,f(t)的曲線隨時間單調(diào)下降,對應“浴盆”曲線的早期失效階段;當m=1,f(t)曲線對應“浴盆”曲線的隨機失效階段,此時曲線類似于指數(shù)分布;當m>1時,f(t)曲線對應“浴盆”曲線的耗損失效階段。

1.2 K-S檢驗法

在數(shù)理統(tǒng)計中,選擇正確的統(tǒng)計方法至關重要[7-9],它決定最后結(jié)果的正確與否。常用的檢驗樣本分布類型[10]的方法為K-S檢驗法和χ2檢驗。其中,K-S檢驗法是一種可以不用根據(jù)數(shù)據(jù)的分布情況而進行檢驗的非參數(shù)檢驗方法[11]。相比χ2檢驗的使用條件,在不知道谷物干燥機現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)的分布情況下,顯然K-S檢驗法更加適用且有效。

K-S檢驗法可用來檢驗一組樣本數(shù)據(jù)的分布與指定的某一理論分布之間的符合程度。

將假設的理論概率分布F(t)與樣本觀測值的累積分布函數(shù)F0(t)進行比較,找出它們之間最大的差異點,并參照抽樣分布,可以確定該差異是否處于偶然。

筆者設總體分布為F(t),F0(t)為已知的連續(xù)分布函數(shù),假設檢驗問題H0為:F(t)=F0(t),則K-S檢驗步驟如下:

(1)求解分段累積頻率:

(4)

式中:樣本量為n的樣本x1,x2,x3,…,xn—從小到大排列之后的樣本數(shù)據(jù);Fn(t)—經(jīng)驗分布函數(shù)。

(2)計算樣本累積分布函數(shù)與理論概率分布的絕對差,令最大的絕對差為Dn,其表達式為:

(5)

若滿足式(5),則認為接受假設H0;反之,則不接受。

2 參數(shù)估計及擬合優(yōu)度檢驗

2.1 數(shù)據(jù)處理與分析

此處,筆者以某企業(yè)作業(yè)季度的18臺某型號谷物干燥機歷史維修數(shù)據(jù)為例進行實驗。

筆者共收集到194組故障數(shù)據(jù),經(jīng)過數(shù)據(jù)清洗整理剩下有效故障數(shù)據(jù)124組,將124組故障間隔時間按從小到大的順序排列后,如表1所示。

表1 谷物干燥機故障數(shù)據(jù)表

由于威布爾分布模型[12-13]具有較強的適應性,而谷物干燥機的失效主要是由機械故障引起的,故筆者首先假設其符合威布爾分布,再通過MATLAB繪制出谷物干燥機的威布爾擬合效果圖,即威布爾概率圖(WPP)圖,如圖1所示。

圖1 谷物干燥機威布爾擬合效果圖

從圖1中可以看出:大部分數(shù)據(jù)近似呈現(xiàn)一條直線分布,所以可以初步認定該組數(shù)據(jù)服從威布爾分布。

2.2 參數(shù)估計

在初步確認數(shù)據(jù)服從于二參數(shù)威布爾分布后,筆者隨后進行模型的參數(shù)估計。

為了保證谷物干燥機可靠性模型的準確性與精確度,筆者分別采用最小二乘法和極大似然估計對模型的參數(shù)進行計算,并通過對比得出其最優(yōu)的參數(shù)值。

2.2.1 最小二乘估計(LSM)

假設某型谷物干燥機在試驗周期內(nèi)共發(fā)生n次故障,其故障發(fā)生時間從小到大依次排序為t1

將數(shù)據(jù){(ti,F(ti))}(i=1,2,…,n)代入式(2),然后對其連續(xù)取兩次對數(shù),經(jīng)線性化處理后可得:

(6)

(7)

根據(jù)回歸分析法則,可以推導得出參數(shù)a、b、m和η的估計值表達式為:

(8)

(9)

(10)

得到如上關系式后,采用近似中位秩公式的計算值作為F(t)的估計值。

2.2.2 極大似然估計(MLE)

直接將故障間隔時間代入式(1),并對其求對數(shù),可得到似然函數(shù)如下:

(11)

筆者對式(11)中的m和η分別求偏導數(shù),可得似然方程組,對方程組進行整理后可得:

(12)

根據(jù)點估計[14，15]的優(yōu)良性判別準則,筆者采用無偏性和有效性作為參數(shù)估計值的選定標準,經(jīng)過計算得出了其結(jié)果,如表2所示。

表2 有效性與偏差性對比表

由表2的數(shù)據(jù)可知:最小二乘法的數(shù)學期望誤差百分比為5.76%,標準差為86.986 2。極大似然估計的數(shù)學期望誤差百分比為2.99%,標準差為81.368 3。

與最小二乘法相比,最大似然估計得到的威布爾分布模型的數(shù)學期望值接近于干燥機故障樣本的平均值;最大似然估計得到的模型標準差小于最小二乘法得到的模型標準差。

結(jié)果模型的標準偏差表明:通過最大似然估計獲得的模型內(nèi)個體之間的離散程度較低。

2.3 擬合優(yōu)度檢驗

(13)

聯(lián)立式(4,5)可得:

(14)

經(jīng)計算得出了相關的結(jié)果,如表3所示。

表3 谷物干燥機壽命分布檢驗

3 谷物干燥機可靠性分析

在確定了威布爾分布模型[16-19]的形狀參數(shù)m和尺度參數(shù)η后,筆者把計算結(jié)果代入式(1～3)中,得到谷物干燥機相關的可靠性基本函數(shù)。

谷物干燥機的概率密度曲線如圖2所示。

圖2 谷物干燥機的概率密度曲線

由圖2可看出:谷物干燥機故障間隔時間的概率密度函數(shù)的極大值點在249 h左右,說明了此類干燥機的無故障工作時間的大眾數(shù)是249 h,這也就意味著在正常工作249 h以后,要進行一定程度的大修,故原來規(guī)定的預防性保養(yǎng)時間在249 h。

同時,可得出對應的谷物干燥機故障概率分布曲線,如圖3所示。

圖3 谷物干燥機的故障概率分布曲線

由圖3可發(fā)現(xiàn):隨著谷物干燥機工作持續(xù)時間的增長,不可靠率也將相應提高;到了150 h時,函數(shù)斜率明顯上升,因此,故障率也開始增加。

3.1 故障概率密度函數(shù)和分布函數(shù)

谷物干燥機故障間隔時間的故障概率密度函數(shù)和故障概率分布函數(shù)分別為:

(15)

(16)

3.2 可靠度函數(shù)

谷物干燥機的可靠度函數(shù)為:

(17)

谷物干燥機的可靠性趨勢圖如圖4所示。

圖4 谷物干燥機的可靠性趨勢圖

由圖4可以看出:通過計算得出的威布爾分布與源數(shù)據(jù)樣本的擬合效果較好,能比較準確地預測出谷物干燥機的失效趨勢。

為了保證谷物干燥機的可靠性,可取可靠度R(T)為0.9來計算預防性維修周期。

在R(t)≥R(T)的條件下,谷物干燥機的工作周期為:

T=η(ln(1/R(T)))1/m

(18)

將威布爾分布的形狀參數(shù)和尺度參數(shù)代入式(18)中,可得谷物干燥機的預防性維修周期隨著可靠度的減小而增大。

筆者取不同的可靠度進行計算。不同可靠度下的干燥機預防性維修周期,如表4所示。

表4 不同可靠度下的干燥機預防性維修周期

由表4可知,在R(T)為0.9時,預防性維修周期為137.6 h。

平均故障間隔時間公式如下:

(19)

根據(jù)平均故障間隔時間公式,經(jīng)計算可得干燥機的平均壽命MTBF=249.8 h。

綜上所述,249 h小于谷物干燥機的平均壽命。該結(jié)果表明,原規(guī)定的定期檢修時間是合理的。

4 結(jié)束語

為了提高谷物干燥機的使用壽命,減少故障維修次數(shù),筆者運用可靠性分析理論對其使用壽命進行分析研究。

即根據(jù)谷物干燥機的相關維修數(shù)據(jù),筆者首先采用圖形法對數(shù)據(jù)進行先驗處理,建立了威布爾分布的擬合模型,并利用點估計的優(yōu)良性判別準則,選取極大似然估計法計算確定了威布爾模型的參數(shù);然后利用K-S檢驗方法驗證了擬合模型的合理性,并計算得到了相應的分布函數(shù)和可靠性指標,進一步優(yōu)化了預防性維修周期;最后對谷物干燥機的可靠性進行了評估。

研究結(jié)果如下:

(1)谷物干燥機是十分重要的農(nóng)業(yè)設備,將可靠性分析理論運用在其運行規(guī)律上可以得到相應的可靠性指標,從而進一步提高設備的可靠性;

(2)與最小二乘法相比,極大似然估計得到的參數(shù)值可以更準確的建立威布爾分布模型,并計算得到了平均故障間隔時間(249.8 h)和預防性維修周期(137.6 h)。

在后期的工作中,筆者將針對谷物干燥機的維修性進行研究,將干燥機的可靠性和維修性相結(jié)合,來共同對谷物干燥機的質(zhì)量情況進行評估。