小波分析在土木工程中的應用

王 濤

（重慶醫科大學附屬兒童醫院，重慶 400014）

小波分析是上個世紀發展起來的對信號進行分析的方法，不僅具有短時傅立葉變換局部化的優點，同時在頻域和時域上具有較高識別率，因此小波分析法是對信號進行時頻域分析的重要手段。通過小波函數進行信號的分解，可以得到不同頻率段信號的表達，其中小尺度系數代表信號的低頻信息，大尺度系數代表信號的高頻信息。小波分析法具有良好的頻率分辨率和時間分辨率，對信號具有較好的自適用性，正是由于小波分析處理信號具有諸多優點，在各個領域都取得了廣泛應用。

建筑結構在運營期會受到結構內部和環境外部因素的影響，因此，監測系統采集到的是在各種因素共同作用下的效應信息，例如溫度效應或者結構性能劣化效應，因此不能直接利用監測數據進行結構的安全評價，必須從中分離出能反映結構安全的特征信息，判斷結構的承載能力和評價結構是否安全。

本文基于小波分析的基本理論和進行信號分離的原理，針對實際監測數據進行處理分離，數據的可靠性和準確性高，可為結構的安全評價提供重要的數據基礎。

1 小波變換

設ψ（t）∈L2（R），其傅立葉變換為，當滿足允許條件

時，我們稱時間函數ψ（t）為母小波或基小波，一般簡稱為小波函數。小波函數ψ（t）通過伸縮平移變換可以得到

稱其為一個小波序列。其中a 為尺度因子，b 為位移因子。對于任意的函數f（t）∈L2（R）的連續小波變換為

其重構公式為

在實際工程中，當利用計算機對數據進行分析時，數據往往是不連續的，而連續小波函數是理想化的，應該對連續小波函數進行離散處理。進行連續小波ψa，b（t）和連續小波變換Wf（a，b）的離散時，假定公式

這里a∈R+，b∈R，ψ 是容許的，且a≠0，a 通常取為非負值，滿足相容條件可得到

在離散公式中，連續小波函數中的尺度參數a 和平移參數b 需滿足，步長a0≠1，且假定a0>1。得到離散小波函數ψj，k（t）的公式為

而離散化小波變換系數則可表示為

其重構公式為

C 是一個與信號無關的常數。為提高分析結果的準確性，網格點劃分應盡量密集；如果網格點劃分稀疏，則a0和b0偏大，小波函數ψj，k（t）和離散小波系數Cj，k越小，導致重構信號的精確度降低。

2 小波多分辨分析

定義：空間L2（R）中的多分辨分析是指L2（R）滿足如下性質的一個空間序列{Vj}j∈Z：

（5）Riesz基存在性：存在φ（t）∈V0，使得構成Vj的Risez 基。關于Riesz 的具體說明如下：

若φ（t）是V0的Risez 基，則存在常數A，B，且，使得：

對所有雙無限可平方和序列{ck}，即成立。

得到的函數空間集合即是多分辨分析，φ（t）是V0的Riesz 基，可以把φ（t）轉化為V0的標準化正交基，φ（t）稱為一個尺度函數。通過多分辨分析可以找到尺度函數，從而通過變換構造出正交小波基，因而其具有不同的頻率分辨率，相當于多個帶寬不一的帶通濾波器。

3 小波函數的選擇

小波函數的種類繁多，具有不同的性質，對分離信號的適用性也有所不同。在對結構響應的歷史數據的高頻和低頻信息進行分離時，選擇不同的小波函數，得到的結果也有所不同。因此，掌握常用小波函數的特性，根據信號的特性選擇合適的函數進行分離顯得尤為重要。

3.1 消失矩

消失矩主要反映函數的高階變換部分，在小波函數變換時，能過濾掉信號的高階平滑部分，反映信號的奇異性能力強。如果選擇消失矩的階數過大，模極大值將會線性增加，將會引起突變部分的混淆，導致分析結果模糊，降低重構信號的準確性。如果消失矩設置過小，則可能不會識別出高階突變部分。

3.2 緊支撐性

假設小波函數的區間外部分為零，此時稱該小波函數在這個區間具有緊支撐性。通常情況下，小波的支撐寬度越小，其反映頻域局部化性態的分辨能力就越強，信號分離后的效果更加明顯。

3.3 正交性

小波函數正交性和濾波器具有緊密的聯系。利用小波基對信號進行多尺度分析，得到相互正交的子空間，保持了各子空間的不相關性。同時也可實現快速離散小波變化，也有利于小波信號的重構。

3.4 對稱性

不同對稱性的小波重構得到的重構信號具有不同光滑性，構造緊支的正則且具有線性相位小波基，對信號的分解和重構非常重要。小波函數的對稱性越好，其結果偏差越小，能降低小波分解重構時的信號相位失真，有利于去噪后信號的恢復和重建。

在對實際的信號進行分析時，應根據信號本身的特性來選擇合適的小波函數，否則會影響分離效果。目前，使用比較廣泛的小波函數主要有Haar 小波、dbN小波、SymN 小波族、Morlet 小波、Meyer 小波和Mexh小波等。

4 閾值函數的選取

利用小波對信號進行分離時，小波系數模有不同處理方式及不同估計方法，在細節系數上作用閾值估計非常關鍵，主要分為硬閾值和軟閾值函數：

軟閾值函數：

硬閾值函數：

其中ω 為小波系數，η（ω）為閾值后的小波系數，T 為閾值。

硬閾值法可以保留較大的小波系數，將較小的小波系數置為零，可以較好地保留信號的邊緣特征；軟閾值法可將較小的小波系數置零，而對較大的小波系數向零收縮，容易造成邊緣信息模糊。根據相關的理論推導，證明軟閾值法去噪后的估計信號是原始信號的近似最優估計，并且具有更廣泛的適用性，目前應用較多的是軟閾值函數。

目前，對信號的閾值估計主要有以下四種方法：

（1）對數長度統一閾值（Sqtwolong）：是一種固定的閾值形式，是從信號中獲得的最小極大方差的閾值與小波系數相乘得到閾值。

（2）無偏似然估計閾值（Rigoroussure）：基于自適應閾值選取規則，對于給定的閾值進行似然估計，再將非似然函數最小化，就可以得到所選定的閾值。

（3）啟發式無偏然閾值（Heuristic sure）：由于Stein 無偏似然估計產生的閾值，在信噪比較高時分離的效果不理想，通常采用Sqtwolong 和Rigoroussure 進行處理。

（4）最小最大閾值（Minimaxi）：是一種固定的選取閾值的方法，即選取的閾值是最小均方差的極值。

5 小波分析的應用

在利用小波工具分析之前，必須先預處理監測數據，剔除那些不符合實際規律的異常數據，同時提高監測數據的準確性和有效性，保證分析效果的質量。數據預處理是數據分析之前的重要環節，經過預處理后的監測數據，才能滿足工程要求。

通過對小波函數的消失矩、離散變換性、正交性和對稱性等性質的分析，發現SymN 小波函數具有很好的適用性。由于分離信號的變化具有一定的奇異性和突變性，因此選擇消失矩階數較高的Sym8 作為小波函數。對監測數據進行多層小波分解，根據數據分離效果選擇合適的分解尺度，通過對分離效果的分析發現進行6 層分解是較為合理的。

由于軟閾值法對信號具有較好的適用性，因此選擇軟閾值進行處理，分別利用Sqtwolong、Rigorous sure、Heuristic sure 三種閾值估計方法對數據進行分析，見表1。

表1 不同軟閾值法的RMSE 和SNR 值

信號經過分解重構后的效果評價指標主要有信噪比SNR 和均方根誤差RMSE，信噪比越大，均方根誤差越小，表明低頻信號中所含噪聲信息越少，越接近真實的信號。

從表1 中可以看出，在采用軟閾值函數對監測數據處理過程中，選取Heuristic sure 閾值處理后得到的SNR 較大，RMSE 最小，數據效果最佳。利用此方法對監測數據進行處理，最后對信息進行重構。

由圖1、圖2、圖3 不難看出，利用小波分析法對監測數據進行數據分離，可將實測曲線中的趨勢線與離散線區分出來，整體趨勢的部分代表了低頻信號，離散部分代表了高頻信號，數據的可靠性和準確性高，為下一步結構分析奠定基礎。

圖1 實測監測數據

圖2 低頻部分數據

圖3 高頻部分數據

6 結束語

小波分析法具有良好的頻率分辨率和時間分辨率，對信號具有較好的自適用性，正是由于小波分析處理信號具有諸多優點，在土木工程領域被廣泛應用。利用小波分析方法對監測數據進行處理，數據的可靠性和準確性高，能夠滿足實際工程的需要。