分布位錯法求解次表面裂紋的力學(xué)行為

李文俊，張雪朋，江曉禹

（西南交通大學(xué)力學(xué)與航空航天學(xué)院，成都 611756）

引 言

隨著鐵路運輸?shù)乃俣群瓦\載能力的提高，在復(fù)雜的工況下，由輪軌滾動導(dǎo)致的鋼軌材料的失效越來越嚴(yán)重，而鋼軌材料的失效通常是由斷裂或者疲勞引起的。材料表面疲勞裂紋的萌生與發(fā)展機(jī)理非常復(fù)雜，引起了國內(nèi)外專家的廣泛關(guān)注和深入研究[1-2]。當(dāng)輪軌與鋼軌相接觸時，輪軌和鋼軌之間的相互作用，將在鋼軌內(nèi)部產(chǎn)生微裂紋，微裂紋一旦產(chǎn)生之后，將會不斷的擴(kuò)展，當(dāng)裂紋長度達(dá)到一定值時，會引起鋼軌表面的材料脫落，甚至引起鋼軌的斷裂，造成嚴(yán)重的列車脫軌事故[3]。

輪軌接觸力是一種隨時間變化的多軸非比例載荷，在輪軌接觸力的作用下，裂紋附近的局部表面上承受較大的壓縮應(yīng)力，會導(dǎo)致裂紋表面閉合和摩擦接觸。分布位錯法是一種研究裂紋的有效方法，它的主要原理是利用連續(xù)分布的位錯來等效地代替裂紋。LI 等[4-5]用分布位錯法研究了在半無限大的平面內(nèi)，多個微裂紋對主裂紋的影響，他們的局限在于沒有考慮復(fù)雜工況，這與實際情況不符。王強(qiáng)勝等[6-7]基于該方法，研究了不同工況下次表面直裂紋的力學(xué)性質(zhì)，但僅考慮了垂直于表面的裂紋，不具有一般性。曹世豪[8]及江曉禹[9-12]等利用有限元，將鋼軌簡化為半無限大平面，研究了不同軸向載荷和不同裂紋角下，不同裂紋位置的應(yīng)力強(qiáng)度因子。Tiberiu[13]通過有限元建模，研究了赫茲接觸對輪軌接觸問題的適用性，發(fā)現(xiàn)材料的內(nèi)部缺陷、內(nèi)部塑性變形、臨界摩擦系數(shù)對材料的破壞有直接的影響。以上研究主要是通過有限元模擬不同載荷下裂紋的力學(xué)性質(zhì)，但是對于復(fù)雜工況下半無限平面內(nèi)與自由表面成一定角度的直裂紋，通過理論計算來求解裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子解析解，及討論不同因素對于裂紋擴(kuò)展的影響方面的研究鮮有報道。為此，本文通過將輪軌載荷等效為赫茲壓力，研究在不同的工況下，多種因素對于裂紋擴(kuò)展的影響，為鐵路運輸?shù)陌踩栽u估提供參考。

1 理論模型

將輪軌載荷簡化為移動的赫茲壓力，研究在半無限大平面內(nèi)一條與自由表面成θ角度的次表面裂紋。如圖1 所示，赫茲壓力的接觸長度為L，從裂紋頂部到表面的距離為a，從裂紋中心到表面的距離為d，從下端到表面的距離為b，與水平面的夾角為θ，為了便于方程的積分，建立了一個局部坐標(biāo)系，Oi為坐標(biāo)原點，并且其與中心O的距離為y=iL，赫茲壓力以長度L間隔從左往右進(jìn)行移動。假設(shè)半無限大的彈性平面只受到赫茲壓力的作用，由于裂紋面在輪軌載荷的反復(fù)研磨下，比較光滑，為了簡化計算，忽略裂紋面接觸摩擦力的作用。根據(jù)文獻(xiàn)[14-15]中提出的方法，可獲得滑移面上產(chǎn)生的應(yīng)力。

圖1 赫茲壓力作用下次表面裂紋問題模型

2 理論求解

2.1 疊加原理

圖1中，為了得到裂紋面上的應(yīng)力場，可以利用Bueckner原理將移動赫茲壓力下的半無限平面內(nèi)的次表面裂紋問題分解為兩個子問題。為了滿足疊加原理使用條件，即裂紋面為自由表面，兩個子問題分別為，子問題1：求解在無裂紋的半無限平面上由赫茲壓力產(chǎn)生的應(yīng)力；子問題2：求解與子問題1大小相等方向相反的方向載荷。由彈性力學(xué)Flamant 解[16]求解子問題1，而子問題2 可以通過分布位錯方法進(jìn)行求解，再疊加這兩個子問題，可以獲得問題的最終解決方案，即獲得裂紋面上的應(yīng)力：

其中：N(x)為法向應(yīng)力，S(x)為切向應(yīng)力。

2.2 赫茲壓力泰勒展開

由于赫茲壓力無法直接在裂紋面上積分，為了簡化運算又不失精度，對赫茲壓力進(jìn)行泰勒展開到一定的階次，運用Gauss—Chebyshev 數(shù)值求積方法求解，由于在赫茲壓力作用下，裂紋面在壓應(yīng)力作用下處于閉合狀態(tài)，裂紋主要是發(fā)生滑移破壞，因此通過上述方法計算裂紋尖端KII的數(shù)值解。

從彈性力學(xué)的Flammant 解出發(fā)，Taylor 展開后可以直接積分赫茲壓力，從而得出平面內(nèi)裂紋上的應(yīng)力表達(dá)式。分布位錯會導(dǎo)致接觸面的變形，為了簡化運算，將界面壓力與赫茲壓力等效：

將式（7）代入式（4）～（6）中，則：

圖2 所示為赫茲壓力展開為不同階次時，應(yīng)力隨無量綱化距離x L的變化情況。圖2 中，2-σyy、2-τxy、2-σxx分別表示式（7）展開為兩項時對應(yīng)的壓應(yīng)力、切應(yīng)力和水平應(yīng)力。由圖2可見，冪級數(shù)在展開到6 項之后，應(yīng)力值變化非常小，為了計算方便，又不喪失精度，將式（7）展開為6項代入后文進(jìn)行數(shù)值計算。圖3所示為赫茲壓力位于平面上不同位置時，裂紋面上應(yīng)力值的變化情況。由圖3可見，裂紋面上應(yīng)力值隨著赫茲壓力的移動而變小，當(dāng)x/L= 4時，應(yīng)力值的變化趨于平緩。

圖2 當(dāng)赫茲壓力泰勒擴(kuò)展到不同階時的應(yīng)力變化

圖3 赫茲壓力在不同位置時的應(yīng)力值

2.3 位錯密度積分方程的建立

裂紋線(?,0)處存在位錯，Burgers的分量分別為bx和by，則位錯產(chǎn)生的應(yīng)力[17]通過下式計算：

其中：μ為剪切模量，κ為Kolosov常數(shù)。

圖3 中可見，σyy/p0< 0，因此，圖1 中的裂紋表面始終承受壓縮載荷而保持閉合，并且裂紋可以等效于滑動錯位，影響函數(shù)Gijk描述裂紋面上一點位錯對于裂紋面上的任意一處位錯的影響，影響函數(shù)Gijk可由文獻(xiàn)[17]得出，裂紋面(y?= 0)上,法向和切向應(yīng)力為：

可以通過轉(zhuǎn)換矩陣A[17]來實現(xiàn)局部坐標(biāo)與全局坐標(biāo)的影響函數(shù)的轉(zhuǎn)換：

上式中：等號左邊為局部坐標(biāo)系下的影響函數(shù)，等號右邊則為全局坐標(biāo)系下的影響函數(shù)。

2.4 數(shù)值求解位錯密度積分方程

由于位錯密度積分方程式(16)～(17)很難求解解析解，因此使用Gauss-Chebyshev 積分方法，將積分區(qū)間(a,b)用式（19）規(guī)范化，得到歸一化區(qū)間(-1,1)：

通過Gauss-Chebyshev 數(shù)值求積方法，將式(16)～(17)的兩個方程各離散為(N- 1)個方程：

其中：c為裂紋的一半長度。需要兩個附加方程來求解未知函數(shù)?(s)，由于從裂紋表面的一端到另一端沒有凈位錯，因此可以得到兩個附加方程為：

式(22)可以離散為：

在式（20）～（23）中設(shè)置N個離散積分點si和(N- 1)個相應(yīng)的配置點tk，離散積分點和配置點可以從文獻(xiàn)[17]中得到：

由式（20）～（23）解出?(si)，可由式(22)得到位錯密度函數(shù)：

由式（23）與Krenk 插值公式，可以得到裂紋兩端應(yīng)力強(qiáng)度因子為：

3 結(jié)果驗證

為保證數(shù)值積分方法的正確性，將圖1 中裂紋設(shè)置為與自由表面平行。在文獻(xiàn)[18]中將輪軌載荷等效為赫茲壓力，研究在赫茲壓力作用下次表面水平裂紋的擴(kuò)展規(guī)律。本文與文獻(xiàn)[18]中裂紋尖端二型應(yīng)力強(qiáng)度因子的對比如圖4 所示，圖中d為裂紋與自由表面之間的距離。圖4 可見，隨著赫茲壓力的移動，裂紋位于接觸斑中心時最大，且該方法與文獻(xiàn)[18]的計算結(jié)果是基本吻合的，因此本文采用的方法所得到的最終結(jié)果是可靠的。

圖4 與文獻(xiàn)[18]結(jié)果的對比

4 結(jié)論與分析

4.1 赫茲壓力在不同位置時對于KII的影響

裂紋的深度和長度均取為定值（d= 0.6，c=0.5）時，計算了赫茲壓力在移動過程中裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化情況，如圖5 所示。由圖5 可以看出，裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子在赫茲壓力處于自由表面（0，L）處時，應(yīng)力強(qiáng)度因子呈先減小后增大的趨勢。當(dāng)裂紋沿水平方向時，裂紋兩端處應(yīng)力集中程度比較強(qiáng)，裂紋容易沿水平方向擴(kuò)展，導(dǎo)致鋼軌表面的剝離。隨著赫茲壓力遠(yuǎn)離裂紋，當(dāng)赫茲壓力處于自由表面（0，2L）處時，裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子整體呈減小的趨勢，但裂紋兩端的應(yīng)力強(qiáng)度因子隨著與自由表面夾角的改變呈現(xiàn)出不同的變化規(guī)律，b端是先減小后增大，而a端是先增大再減小。在輪軌載荷的反復(fù)作用下，這些現(xiàn)象對于裂紋擴(kuò)展有非常大的影響，下文將會對這些因素進(jìn)行進(jìn)一步的探討。

圖5 赫茲壓力位于在位置對于KII的影響

4.2 裂紋深度對于KII的影響

當(dāng)裂紋長度取為定值(2c/L= 1 )時，裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子隨著裂紋深度改變的變化趨勢如圖6所示。在次表面裂紋非常靠近自由表面的情況下，當(dāng)裂紋與自由表面平行時，裂紋尖端處應(yīng)力集中程度較大，裂紋容易從兩端處發(fā)生擴(kuò)展，造成表面的剝離。隨著裂紋深度的增加，裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子整體呈減小的趨勢，說明裂紋的深度對于裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子影響較大。與裂紋非常靠近自由表面不同的是，此時裂紋尖端處的應(yīng)力強(qiáng)度因子出現(xiàn)了截然不同的變化趨勢：裂紋較淺時，裂紋a端容易擴(kuò)展；而隨著裂紋深度的增加，a端變得不容易擴(kuò)展，b端更容易擴(kuò)展。即：裂紋離自由表面更近時，裂紋容易往自由表面擴(kuò)展；當(dāng)裂紋深度達(dá)到一定值時，裂紋容易往鋼軌內(nèi)部擴(kuò)展。當(dāng)裂紋與自由表面垂直時，裂紋總是容易朝著一端擴(kuò)展且與裂紋的深度無關(guān)，裂紋容易擴(kuò)展的方向跟裂紋與自由表面的夾角有關(guān)。

圖6 裂紋深度對于KII的影響

4.3 裂紋長度對于KII的影響

當(dāng)裂紋的深度(d/L=2 )為定值時，裂紋長度的改變對于裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響如圖7 所示。當(dāng)裂紋沿著水平方向，赫茲壓力在裂紋兩端產(chǎn)生的應(yīng)力強(qiáng)度因子保持不變，裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子只與裂紋的深度有關(guān)，裂紋的長度不會對裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子產(chǎn)生影響，裂紋長度的改變不會引起裂紋尖端的應(yīng)力集中程度的變化。當(dāng)裂紋與自由表面趨近于垂直時，此時裂紋兩端的應(yīng)力強(qiáng)度因子變化趨勢相反，裂紋的一端應(yīng)力集中比另外一端更加明顯，裂紋更容易向一端擴(kuò)展。裂紋長度的增加會加劇裂紋一端的應(yīng)力集中程度，即裂紋越長越容易擴(kuò)展。

圖7 裂紋長度對于KII的影響

5 結(jié)論

通過將輪軌載荷等效為赫茲壓力，研究在不同的工況下，赫茲壓力位置、裂紋長度、裂紋深度和裂紋與自由表面夾角之間的相互作用對于裂紋擴(kuò)展的影響，得出結(jié)論如下：

（1）將裂紋等效為均勻分布的位錯，通過對裂紋的理論求解，可以改變載荷的施加方式，得到更為復(fù)雜的條件下，裂紋擴(kuò)展與自由表面夾角之間的關(guān)系。

（2）隨著赫茲壓力的移動，在裂紋深度和長度取一定值時，赫茲壓力離裂紋越遠(yuǎn)，裂紋尖端的應(yīng)力集中程度越小，裂紋越不容易擴(kuò)展。

（3）在次表面裂紋非常靠近自由表面的情況下，且裂紋與自由表面平行時，裂紋容易從兩端處發(fā)生擴(kuò)展，造成表面的剝離。裂紋離自由表面更近時，裂紋容易往自由表面擴(kuò)展，當(dāng)深度達(dá)到一定值時，裂紋容易往鋼軌內(nèi)部擴(kuò)展，裂紋長度的增加會加劇裂紋一端的應(yīng)力集中程度。