把握數學概念本質，發展數學核心素養

●崔永紅

《普通高中數學課程標準》（2017年版2020年修訂）指出：“數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質。”為此，在數學概念教學中，可以通過信息技術演示、適時問題引領，讓學生經歷概念的抽象過程，從而把握概念的本質，提升學生直觀想象、數學抽象、數學建模、邏輯推理等核心素養。

一、通過信息技術與邏輯推理，把握概念的本質

不少數學概念有其發生、發展的歷程，教師要挖掘概念背后深邃的數學思想、方法與文化，揭示概念產生的合理性和必然性，讓學生不僅知其然，而且知其所以然，這樣學生學習的積極性就越來越高，數學核心素養得到有效提升。

案例1 橢圓的概念

在進行橢圓的概念教學時，讓學生用一根細繩和畫板動手操作，畫出橢圓，然后引導學生觀察抽象得出橢圓的概念，但在教學中，學生總有這樣的疑問：為什么這樣畫出的圖形是橢圓？怎么想到的？怎么發現橢圓的特征呢？

為了解決學生的疑問，教師利用信息技術動態演示，問題引領，師生合作，取得了較好的效果。

信息技術演示：用一個平面（與圓錐的旋轉軸不垂直）將圓錐切開，如圖1所示。

圖1

師：其截面，如圖2所示，這是什么圖形呢？

圖2

生：橢圓。

師：很好！確實是橢圓。

這一問，讓學生產生了認知沖突。這時教師乘勢而上，再利用信息技術演示，引導學生觀察、分析、交流與討論。

信息技術演示：在截面的兩側分別放置一個球，使它們都與截面相切，切點為F1、F2，且與圓錐面相切，兩球與圓錐面的公共點分別構成圓O1和圓O2，如圖3和4所示。

圖3

圖4

設點M是平面與圓錐面的截線上任一點，過M作圓錐面的一條母線分別交圓O1，圓O2于P，Q兩點，如圖5。

圖5

圖6

師：在圖5中，你能得出哪些結論？

學生一時無從回答，在學生的探究無法深入的時候，教師提示。

師：圖5中有哪些線段相等？

這時有學生小聲討論，發現了相等的線段。

這個問題真是“雪中送炭”，起到導向、引領的作用，幫助學生找到研究“橢圓”的方向和突破口。

生 1：MP=MF1，MQ=MF2

師：為什么？

生2：因為 MP和 MF1，MQ和MF2分別是上下兩球的切線，因為過球外一點所作球的切線的長都相等，所以 MP=MF1，MQ=MF2

師：將上面兩式相加，得到

MF1+MF2=MQ+MP=PQ

師：線段PQ的長有何特點？

學生一邊觀察，不時交流與討論，教師與學生為伍，一邊指導，一邊點撥。

生 3：因為 PQ=VP－VQ,而 VP，VQ 分別是兩個圓錐的母線的長，是常數，所以線段PQ的長也是常數。

師：即截線上任意一點到兩個定點F1，F2的距離的和等于常數。這就是橢圓的本質特征。至此，你能給橢圓下一個定義嗎？（略）

為進一步讓學生加深對定義的理解，教師又提出了下面兩個問題：

追問1：已知△ABC的周長為20，一條邊BC的長為6,則頂點A的軌跡是什么？

追問2：你能用一根長為20厘米的細線在平板上畫一個橢圓嗎？

教學感悟：在教學中運用信息技術演示用平面將圓錐切開的過程，得到橢圓面，學生自然產生認知沖突：橢圓是怎么定義的？在學生無助時再用信息技術演示，迫使他們深入思考下去，迫使他們認真思考“橢圓”的特征，迫使他們觀察、交流、討論與反思，橢圓概念的產生成為水到渠成、渾然天成的產物，這個概念不是“人造”而是“神造”的。在此基礎上，再通過追問1和2進一步引導學生思考，在做中體悟橢圓的本質，加深對橢圓的認識。

二、通過問題引領與數學建模，把握概念的本質

在概念教學中，可以通過設置問題串，引導學生思考與交流，建立數學模型，從而把握概念的本質內涵。

案例2 導數的概念

某市6月2日7時至14時氣溫變化如圖7所示，你會有什么感嘆？

圖7

生1：12時到14時會讓人感到有些悶熱。

師:從A時到B時氣溫變化為15.1，從B時到C時氣溫變化為14.8。氣溫變化差不多，使人感到悶熱是什么原因呢？

生2：天氣熱得太快了！前者變化得緩慢，而后者變化得太快。

師：比較氣溫變化的快與慢，只考慮yC-yB行不行？如不行，還必須考察什么量？

生3：還必須考察xC-xB。

師：那如何比較氣溫變化的快慢？

生4：可以用單位時間內平均氣溫來比較。

師：對于上述問題，我們怎樣求x=12時的氣溫呢？

到此，我們就建立了一個數學模型，用瞬時變化率量化變量在某一點處的變化快慢。導數的概念水到渠成，導數的本質就是瞬時變化率。

教學感悟：教學中通過實例由淺入深、由表及里，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，直觀認識平均變化率與導數的區別與聯系，體會變化率的實際背景。通過問題引領，層層揭示建構數學模型的思維過程和數學知識的內在聯系。

三、通過類比歸納與直觀想象，把握概念的本質

類比能啟迪人們的思維，是數學發現、發明的主要源泉，但類比是一種主觀的不充分的似真推理，因此，要確認其猜想的正確性，還須經過嚴格的邏輯論證。

案例3 異面直線所成角的概念

師：如圖8，蝸桿與蝸桿的軸線a和b是什么位置關系？

圖8

生1：軸線a和b始終是異面直線。

師：如圖9，a與b、a與l是異面直線，是否還有什么不同呢？

圖9

生2：好像b、l相對于a的“傾斜程度”不同。

師：如圖10，平面內直線b、c與直線a相交，我們怎樣刻畫直線b、c相對于直線a的傾斜的程度呢？

圖10

生3：可以過A點作直線c，使c//a，可以用相交直線b與c所成角來表示直線b相對于直線a的傾斜程度。

師：這樣表示，所成的角是唯一確定的嗎？為什么？

生4：唯一確定，因為過A點作直線a的平行線是唯一的。

師：由于是唯一確定的，因此可以用相交直線b與c所成角來表示直線b相對于直線a的傾斜程度。

生5：過直線b上任一點作直線a的平行線都可以。

師：還有更一般的作法嗎？

生6：可以過空間任意一點分別作直線a，b的平行線c，d，用c和d所成角來表示a，b所成角。

師：我們采用的方法是將空間問題轉化為平面問題，轉化的關鍵是平移，這種方法在今后的學習中還有很多應用。

于是，學生在老師的指導下，通過類比、合作、探究、歸納發現了異面直線所成角的概念。

教學中始終將數學抽象貫穿于概念產生、發展、應用的過程中，自然生成了異面直線所成角的概念，促進學生養成在生產生活中思考問題的習慣，發展了學生數學抽象的素養[4]。

總之，在遵循認知心理學關于概念獲得的相關理論的前提下，要以概念形成方式進行教學設計，讓學生經歷觀察與實驗、分析與綜合、歸納與概括，感悟概念的產生過程，讓數學抽象、直觀想象、數學建模等核心素養在潛移默化中得到提升。