相約兩世紀之網絡畫板與丹德林雙球模型
——圓錐曲線證明的直觀方法

●付小華，幸世強，代月，張紅

筆者在一次四川省國家級“雙新”示范區(校)建設推進會，成都市第七中學第43屆教育研討會的研究課“穿越兩世紀的魅力內切球”中，通過網絡畫板深度探究丹德林雙球模型在證明圓錐曲線時的一些做法和思考，多種直觀證明非常巧妙，極具創造性，網絡畫板動態立體幾何深度融入數學教學，讓數學課堂充滿智慧的魅力。

一、網絡畫板輔助構造丹德林雙球模型

一個圓錐被一個平面斜截的截口曲線將分別出現橢圓、拋物線和雙曲線的一支。要構造丹德林雙球模型，可以引導學生思考問題1：一個圓錐被一個平面斜截，與圓錐和斜截面都相切的球怎么構造？球心在哪？半徑怎么構造？其設計意圖是：讓學生經歷找球心、構半徑的過程，對這種丹德林內切球的空間結構、空間位置關系、幾何性質更加熟悉，為后面直觀探究丹德林雙球模型證明圓錐曲線打下堅實的基礎。

①作底面半徑為a，高為b的圓錐，在圓錐高SO上任取一點C，過C做SO的垂面α，將垂面旋轉角 t，設置變量 t∈（-π，π）（圖 1）。

圖1

②過S作旋轉面的垂線，垂足為D，連接CD交圓錐于A，B，作母線SA與 SB（圖 2）。

圖2

③做∠SAC與∠ABE的角平分線分別交錐高SO于O1、O2，即為內切球的球心,做O1到SA和O2到SB的距離,即為內切球的半徑,進而作出雙內切球（圖 3）。

圖3

二、網絡畫板賦能丹德林雙球模型證明圓錐曲線

繼續引導學生思考問題2：這種與圓錐和斜截面同時相切的雙內切球有什么性質特點？如何證明圓錐曲線呢？其立體幾何構圖和深層次思維在哪里呢？

繼續提供和推送網絡畫板課件資源進行觀察探究、想象思考和推理證明，然后在此次基礎上進行生生、師生對話分享、展示交流、引導講解。

（一）丹德林是怎么證明橢圓的

圖4

由球和圓的幾何性質，因為MF1=MB，MF2=MA，所以MF1+MF2=MB+MA=AB。

所以，A，B隨著點M的運動而運動，但是AB長度為定值，即截面曲線上的任意一點M到兩個定點F1，F2的距離之和是定值（且大于F1F2），由橢圓的定義可知，該曲線為橢圓。

所以，當β＞α時，截面曲線為橢圓。

（二）沿著數學家的探究腳步，怎么證明雙曲線

由球和圓的幾何性質，因為MF1=MB，MF2=MA，所以｜MF1-MF2｜=｜MB-MA｜=AB。

所以，A，B隨著點M的運動而運動，但是AB長度為定值，即截面曲線上的任意一點M到兩個定點F1，F2的距離之差的絕對值是定值 （且小于F1F2），由雙曲線的定義可知，該曲線為雙曲線。所以，當0°≤β＜α，且截面不過O點時，截面曲線為雙曲線（圖5）。

圖5

（三）丹德林雙球模型能證明截口曲線是拋物線嗎

丹德林雙球模型證明橢圓與雙曲線中，我們可以發現雙球與平面相切的切點是橢圓或雙曲線的焦點，同時通過到這兩個定點的距離之和與差的構造，轉化為球外一點到球的切線長相等，進而進行計算、得證。但是拋物線沒有這樣的特點，這種思路明顯受阻，怎么辦？怎么證明？

（四）探究丹德林雙球模型與圓錐曲線離心率關系并證明

再引導學生思考問題3：平面斜截圓錐時錐角與平面傾斜角不同，得到的圓錐曲線不同，與離心率有怎樣的關系？運用丹德林雙內切球模型，可不可以用離心率統一定義證明圓錐曲線？準線可能在哪？

由題知，圓錐的錐角的一半為α，斜截面與圓錐軸所成角為β。

因為O2F1∥O1F2，所以在面O2F1O1F2中作O2D∥O1F2，O1D∥F1F2交 D。

因為O2B∥O1A，所以在面O2BAO1中作O1C∥AB交O2B于C。

說明只需利用丹德林雙球模型中的兩個關鍵角的余弦值之比即為截口曲線的離心率，進而由離心率e的范圍就可以判斷和證明出圓錐曲線是橢圓、雙曲線還是拋物線，十分簡潔明了，我們把此模型叫做錐角傾斜角模型（圖6）。

圖6

（五）丹德林單球模型圓滿證明圓錐曲線

圖7

我們把這種構造和證明叫做圓錐曲線第二定義模型，這種思路將圓錐曲線的第二定義與錐角傾斜角模型融會貫通，非常巧妙，一氣呵成。

圖8

本節課“穿越兩世紀的魅力內切球”網絡畫板課件網址：https://www.netpad.net.cn/presentationEditor/presentationPlay.html#posts/15307

三、網絡畫板賦能丹德林雙球模型證明圓錐曲線的價值

丹德林雙球模型和內切球的性質特點證明圓錐被平面所截的截口曲線是三大圓錐曲線——橢圓、拋物線和雙曲線，這個問題深奧、難懂，特別是用錐角模型和第二定義模型證明圓錐曲線難度更大，需要充分利用網絡畫板3D技術輔助識圖、構圖、思考、探究、推理、計算、證明。

張景中院士一直主張數學教育就是要 “把數學變得容易”“讓數學更有趣”“讓數學更精彩”“在玩中學，在做中學”[1]，通過網絡畫板實現了這些要求。