線上線下混合教學模式在傅里葉級數教學中的應用

◎張艷娟 馬德宜 柳福祥 （三峽大學理學院，湖北 宜昌 443002）

一、引 言

從2012 年開始，MOOC 熱席卷全球，深刻影響和改變了傳統教育模式.尤其是近五年，超星、雨課堂、慕課堂和釘釘智能移動辦公平臺等教學軟件發展迅速，使學生打破原有固定而封閉的學習時空限制，能夠充分利用多樣化媒體終端，不僅提高了學生的學習積極性，還能夠讓學生主動參與到學習當中，進而提升學習質量和效率.

傅里葉級數是高等數學課程的一個基本且重要的知識點，具有較好的幾何和代數性質.學習傅里葉級數不僅能夠培養學生的數學素質，而且傅里葉級數在物理學科、移動通信等工學學科具有非常廣泛的應用.本文以傅里葉級數教學為例，以激發學生學習興趣、提高學生學習效率、培養學生綜合應用能力為導向，注重教學由教師為主體的傳統型教學理念向以學生為中心的自主型教學理念轉變，針對三峽大學教學的實際情況和大學生自身的特點，借5G 技術帶來的發展契機，充分利用網絡教學資源的優勢，建構最優的網絡資源平臺，彌補網絡教學資源的不足，保證網絡教學質量，探索如何將現代數學教育理念運用到線上線下混合式教學的改革與實踐中.

二、復數域傅里葉級數線上線下混合教學設計

首先，研究省內外大學數學線上線下混合教學模式的形勢，了解其如何制訂培養目標和計劃，對省內外網絡信息平臺上的大學數學教學資源等內容進行研究與整合，在嚴格遵守國家有關版權法律法規的前提下，研發適合于三峽大學學生在網絡環境下的有效應用形式與內容.

其次，教學內容是線上線下混合教學質量的核心，主要包括教材、講義、課件、作業等.其中教材建設是首要任務.本文針對三峽大學開設的學科專業課程模式和學生的特點，從通俗性、直觀性、趣味性和可讀性等角度，修訂傅里葉級數課堂講義和相關課程學習的各種輔導資料，進一步修訂三峽大學數學課程中的高等數學系列教材，突顯教材的親和性和它的自學功能.三峽大學復數域傅里葉級數的授課對象是大學一年級下學期的學生.通過高等數學、線性代數以及概率論與數理統計等基礎課程的學習，學生已經具備了微積分的計算能力、矩陣的運算能力、用矩陣方法解決實際問題的能力以及運用概率與統計方法分析和解決實際問題的能力，同時學生的抽象思維能力和數學建模能力也受到了一定的訓練.但是，學生還沒有建立數學與他們的專業之間的關聯，因此在復數域傅里葉級數的線上線下混合教學中，應該根據三峽大學各個學院開設的學科專業課程模式，建立學生的數學與專業應用的認知，通過增加相應的實際問題應用案例，加入相關的科普知識來拓寬學生的視野，增強學生的認知能力，讓學生了解如何運用數學知識解決實際問題，以增強學生對大學數學課程的興趣，提升學生的數學素質，為進一步學習專業課打下基礎.

（1）教學設計的思路

線上線下混合式教學與傳統教學的主要區別在于線上線下混合式教學更加強調線上優質的、開放的、共享的教學資源對教師“教”的支撐及對學習者“學”的助力，通過利用信息技術開展啟發式、探究式、討論式、參與式教學.按照傳統的授課方式教學完傅里葉級數及收斂定理后，通常學生的反應是：摸不著頭緒，無從入手，很難理解.研究三峽大學傅里葉級數教學過程中存在的問題，有助于嚴格傅里葉級數教學質量控制的制度化管理.教學質量控制的各個環節一旦經過教學團隊確立后，將作為制度進行嚴格執行，各部分內容會做成標準化的模塊逐漸展開，以確保教學質量的穩定性和持續性.隨形勢變化需要調整內容時，需在制度執行周期結束后，大學數學教學團隊協商修訂.標準化和制度化的教學流程是解決因個體差異而導致教學質量不穩定的重要保證.因此，設計適合線上課程與傳統教學相結合的混合式教學模式，引領學生逐步理解傅里葉級數的內涵，才是解決教學難題的關鍵所在.

（2）教學目標

首先要保證傅里葉級數教學的質量.這也是線上線下教學的核心問題.設計教學思路以及教學過程，提出大學數學教學質量控制的命題的目的是明確大學數學線上線下教學主要環節的主要工作，并選擇與其相適應的多樣化、互補的教學模式，實現對教學過程的全程管理.同時，通過對線上線下教學過程的分析，提煉影響網絡教學質量的關鍵點，可以更好地完成線上線下教學任務，保證線上線下教學的質量.其次要引導學生在通過微視頻和課件從具體問題情境分析抽象出傅里葉級數概念，并且在預習的過程中學會數學語言的表述，進行積極有效地學習.構建網絡教學中基于大數據背景下教學實時反饋和學生反饋評價機制，促使教師關心網絡教學過程中自身行為的效用以及在線上線下教學的過程中要注意因材施教，有針對性地調整教學重點與教學方式，保證線上線下教學的教學質量.

（3）教學過程設計

基于教學要求、線上學習資源、線上互動、線上測試等活動綜合考慮，我們對傅里葉級數的線上線下混合教學內容進行了設計.首先教師提前在長江雨課堂中發布傅里葉級數教學內容的PPT 課件以及重點難點，為學生的課前準備提供指引.學生的課前工作主要是根據教師發布的課件、布置的任務和相關資料自主地進行理論學習，然后在班級群中向教師反饋學習疑點和難點.授課教師需要在課前對學生提出的疑點問題進行收集整理.其次是在課堂教學環節，授課教師針對課前學生集中反饋的難懂、不會的知識點進行講解.與此同時，教師作為引導者，通過提問鼓勵學生積極參與課堂的教學，引導學生進行更深層次討論，以便能夠準確地掌握學生的學習情況，及時地調整上課進度.課堂最后10 min 左右，進行教學效果的檢測，以達到對所學內容的鞏固和深化，保證教學質量.每章結束后進行傅里葉級數教學內容的測試.考試結果是學情的一種直觀展示.考試既可以及時發現教學中的不足，提高學生的聽課效率，又可以在后繼的教學中有針對性地查缺補漏.考試是提高教學質量的有效途徑.

傅里葉級數教學模式：“教師—網絡教學—學生”三位一體，“課前—課中—課后”三個環節緊密銜接、相輔相成.教學流程圖如圖所示：

傅里葉級數的教學設計：

①借助長江雨課堂發布預習課件，并提出預設問題：

問題1 什么是三角級數？ 如何理解三角函數系的正交性？

問題2 為什么傅里葉級數收斂定理又可理解為展開定理？

問題3 周期為2π 的周期函數（）展開為傅里葉級數有哪些步驟？

②概念引入：首先回顧線性代數中正交基的概念，思考函數空間正交基的表示，再向學生展示波是怎樣疊加的，將教學內容和學生的經驗聯系起來.設置提問：如何將一個周期函數展開成三角函數？ 利用三角函數的正交性傅里葉系數，讓學生猜想三角函數中系數的計算公式.開展互動教學，進一步舉例，讓學生明白本節內容的教學重點與難點.

函數（）的傅里葉級數的前4 階的圖形如下圖所示：

④課堂檢測：學生在課堂上根據授課教師布置的習題進行練習，能夠更好地掌握和鞏固傅里葉級數的知識，保證教學質量.

三、教學反饋

通過線上線下混合式教學實踐發現，課堂上學生能夠認真聽講，并且與授課教師展開積極互動.從課堂檢測以及課后布置的作業來看，學生對于所講的重點內容大部分都能夠掌握.為了了解和改進線上線下混合式教學改革實踐的效果，教學團隊圍繞傅里葉級數教學的效果以及評價展開問卷調查.調查在授課班級的學生中隨機選擇121 人.調查開展的時間為2021 年3 月1 日至2021 年6 月18 日.問卷調查的每種選項對教學效果的評價以及影響設置為不同意、中立、同意三個等級.被調查的學生匿名地對問卷選項做出選擇，收回問卷121 份.其中，同意選項占89.72%，中立選項占10.28%，不同意選項占0%.通過問卷調查反饋的結果可以看出，80%以上的學生對線上線下混合式教學和混合式學習持肯定態度，認為這種教學方式能夠彌補傳統課堂教學的不足.

運用學生對教師教學情況的反饋評價，以及學院教學督導團對大學數學線上線下教學課程的隨聽隨查和教學效果及時有效反饋，使授課教師意識到在教學過程中兼顧傳統教學與線上教學的差異性，有針對性地調整教學重點與教學方式，不斷在自我總結與改進中提升教學質量，不僅能促進師生之間和學生之間信息溝通的廣度和深度，而且有利于學生對知識的掌握和理解，有效地提高了課堂教學質量.大學數學教學線上線下混合教學模式有效開展與實施，將會有效地提高學生自身的自學能力、存在問題與老師及時交流溝通的能力、自主解決問題的能力以及對自我客觀評價的能力，從而為學生的大學生活與未來職業生涯奠定良好的數理基礎.