噴頭潤濕性對EHD打印射流形態影響的數值模擬

潘宣佐，曹倩倩，吳震宇，劉 浩，尚 濤，吳 舟

(1.浙江理工大學 機械與自動控制學院，杭州 310018；2.嘉興學院 信息科學與工程學院，浙江 嘉興 314001)

0 引言

電流體動力學打印的基本原理基于電動力學及流體力學理論，具有高效率、高精度和高可控性等特點，在諸多領域受到廣泛關注[1]。目前，在印刷電子[2-4]、柔性傳感器[5]、可穿戴電子設備[6]、碳納米復合材料[7]、光電設備[8]、生物技術[9]等諸多領域對電流體動力學打印有著廣泛的科研和工程需求。影響電流體動力學打印的因素較為復雜，墨水參數、打印工藝及環境參數等決定了電流體動力學的打印模式和打印精度。深入理解電場作用下流體的多相界面及動力學特性對實現電流體動力學的高效打印具有重要意義。

隨著計算機運算能力的增強，通過數值方法來解決流體問題成為研究熱點。計算流體力學(computational fluid dynamics，CFD)可用來進行流場及其相關多物理場的分析計算。雖然實驗方法能精確分析流體流動的現象，但實際研究中，對于復雜的微小流體運動，很難通過實驗監測分析。采用CFD方法可以直觀地分析流場中流體流動的界面和動力學特性，已成為流體力學研究的重要方法。

近十幾年來，許多學者對電流體動力學的數值模擬進行了深入研究。Hirt等[10]、Morteza[11]和危衛等[12]基于VOF(volume of fluid)方法研究了均勻及非均勻電場下中性及帶電液滴的變形及動力學特性，分析了電場作用下液滴表面電荷的分布規律。錢壘等[13]和蘭紅波等[14]采用脈沖錐射流和連續錐射流兩種打印工作模式，對噴嘴處電場分布和錐射流噴射過程進行了數值模擬。Karim等[15]基于VOF方法模擬了電沉積時液滴形狀的變化，并計算得到電解液的電位及電流密度。Rudolf等[16]建立了平行極板間帶電液滴運動的數學模型，研究了液滴震蕩頻率與液滴屬性、電場強度的關系。Subhamoy等[17]基于VOF方法對液滴與基板的碰撞現象進行了數值模擬，通過改變電勢等參數分析了液滴的潤濕性質及碰撞速度。Gaute等[18]使用相場模型對液滴電潤濕進行動態模擬，得到了接觸角的有效表達式。

目前，雖然電流體動力學打印的數值模擬研究已經取得了較大進展，但在錐射流形成機理方面依然有許多問題尚待解決。墨水與毛細管噴頭潤濕性對電流體動力學打印的影響有重要研究意義，但相關研究工作未見報道。通過建立電流體動力學兩相流數值模型，改變墨水與毛細管噴頭的接觸角[19]，研究電流體動力學打印過程中射流的形成機理及影響因素。

1 計算方法及模型系統

1.1 電流體動力學打印系統結構

電流體動力學打印系統結構見圖1。流體由微量注射泵在預定速度流量下注入毛細管噴頭內。在毛細管噴頭和接收基板之間施加高電壓。在電場作用下，液滴表面電荷沿著輪廓表面向下移動，聚集在液滴尖端。由于電荷不斷在液滴尖端聚集，液滴尖端受到的電場力越來越大，半圓形液滴尖端拉伸成錐形。最終，當液滴所受的電場力大于表面張力和黏性力時，液滴尖端形成錐射流。在計算模型中，采用的毛細管噴頭內部半徑為0.06 mm，毛細管口與接收基板間的距離為20 mm。為研究不同接觸角的影響，設定其范圍為30°～90°，流量供給速度為0.3 m/s，毛細管噴頭與基板間施加電壓為12 kV。

圖1 電流體動力學打印系統結構示意圖

1.2 理論分析

在電流體動力學打印中，黏性力、電場力、慣性力的作用影響流體運動。根據質量守恒、動量守恒、能量守恒定律，對于不可壓縮流體，相應的流體力學方程組可表示為：

(1)

▽·u=0

(2)

其中：u為流體速度；ρ為流體密度；p為流體壓力；σf為黏性應力張量；σe為Maxwell應力張量；F為流體受到總體積力，在本模型中包括重力G和電場力Fe。黏性應力張量σf、Maxwell應力張量σe分別表示為：

(3)

(4)

其中：μ為流體的動力黏度；I為單位張量；ε為流體的相對介電系數；ε0為真空條件下的介電常數，ε0=8.85×10-12F/m；E為外加電場量；qv為流體的體積電荷密度。

根據Maxwell方程，電場的特征時間為τe=εε0/K。假設流體運動的時間為τi，對于非電解質連續性流體，電荷運動的時間遠小于流體運動的時間(τe<<τi)，故可以忽略電荷隨時間的變化。電荷守恒方程表示為：

▽·(K▽Φ)=0

(5)

其中：K為流體的電導率；E表示電勢梯度▽Φ兩相界面上電場的切向分量和法向分量，滿足如下關系式：

τ·‖E‖=0

(6)

n·‖E‖=qs

(7)

qv=qs▽γ

(8)

其中：qs為表面電荷密度；n為兩相界面的單位法向量；τ為兩相界面的單位切向量；‖E‖為兩相界面上電位移的差值。

通過將液滴表面電荷與電場的作用力轉換為體積力，電場力Fe可表示為：

(9)

1.3 數值方法

基于有限體積法求解電流體動力學方程。有限體積法將計算區域劃分為一系列微小的控制體積，每個控制體積都有1個節點作代表，待求解的微分方程在控制體積和一定時間內對時間和空間進行積分。利用網格單元中流體體積與網格體積的比值確定兩相流界面的位置和形狀。通過定義函數γ表示流體體積與網格體積的比值，其滿足：

(10)

γ的取值范圍為0≤γ≤1，在兩相接觸界面上流體屬性的變化滿足加權平均式：

ρ=ρ1γ+ρg(1-γ)

(11)

μ=μ1γ+μg(1-γ)

(12)

K=Kl+Kg(1-γ)

(13)

ε=ε1γ+εg(1-γ)

(14)

其中：ρ為流體密度；μ為流體黏度；K為流體電導率；ε為流體相對介電系數。

1.4 幾何網格模型與邊界條件

電流體動力學打印模擬區域的結構相對規則，墨水在毛細管噴頭內的分布連續均勻。為了提高計算效率，以噴頭中心對稱軸建立二維軸對稱模型來模擬電流體動力學打印過程，并對二維幾何模型進行網格劃分，對計算區域的網格進行局部細化加密。圖2為電流體動力學打印系統的二維軸對稱模型，其中噴頭位置處的計算網格進行了局部放大。

圖2 電流體動力學打印系統的二維軸對稱模型示意圖

毛細管的內部半徑為0.06 mm，外部半徑為0.2 mm，高度為2 mm，距接收基板距離為20 mm。采用漸變網格，網格數量為480 000，最小網格尺寸為2 μm，最大網格尺寸為20 μm。

墨水材料以液態庚烷為例。在室溫環境下，液態密度為680 kg/m3，電導率為1.15×10-6s/m,相對介電常數為80，表面張力為0.02 mN/m，運動黏度為5.7×10-7m2/s。按自適應時間步長進行計算。邊界條件設置如表1所示。

表1 幾何模型邊界條件

2 結果和討論

選取初始狀態下墨水與噴頭的接觸角分別為30°、45°、60°、75°和90°，以液態庚烷為墨水材料。在設定邊界條件下，通過在CFD開源軟件OpenFOAM兩相流模型的基礎上耦合電動力學方程進行電流體動力學打印的數值計算。選取模擬初始時刻、液滴呈明顯錐狀時刻、形成穩態射流時刻等多個特征時間節點記錄流場、射流狀態及內部受力情況。由于流體內部電荷分布會影響流體的受力，故對電荷分布和電場強度分布做進一步分析。

2.1 不同接觸角錐射流的形態分析

圖3—7分別為不同接觸角條件下對應的電流體錐射流形態演變。可以看出，接觸角變化對電流體錐射流形態有顯著影響。在模擬初始時刻，墨水與毛細管口持平；模擬時間為0.40 ms時，各組液滴均在毛細管噴頭底部呈外凸狀，但形態有明顯差異，除90°接觸角外，液滴均與毛細管外壁有明顯接觸，接觸面積隨著接觸角的增加而減小。隨著模擬的進行，在電場力的作用下錐射流逐漸被拉長。

圖3 接觸角30°時電流體錐射流形成的模擬圖

圖4 接觸角45°時電流體錐射流形成的模擬圖

圖5 接觸角60°時電流體錐射流形成的模擬圖

圖6 接觸角75°時電流體錐射流形成的模擬圖

圖7 接觸角90°時電流體錐射流形成的模擬圖

對于接觸角為30°的情況，當模擬時間達到2 ms時，噴頭的下表面被完全潤濕。潤濕性對被拉長錐射流的形態有顯著影響。例如，氣液界面的曲率有明顯變化，這將影響表面張力和電場力的平衡。另外，計算結果表明，泰勒錐尖端液滴的射流時間隨著接觸角的增加而縮短。

圖8和圖9分別為不同接觸角情況下，液滴在0.40 ms及射流達到穩定狀態時，錐射流半徑隨錐射流長度的變化。

圖8 0.40 ms時各接觸角錐射流半徑隨長度的變化情況

圖9 穩定射流時各接觸角錐射流半徑隨錐射流長度的變化情況

可以看出，接觸角越小，錐射流長度越小，而與毛細管噴頭的接觸面積反而越大；30°接觸角時，錐射流半徑最大；90°接觸角時，錐射流長度最長。模擬初期，電荷在錐射流頂端聚集較少，受到電場力的作用較小；當接觸角為30°時，墨水在噴頭管口的潤濕性較強，因此能形成較大的接觸面積。由于不同接觸角條件下流量一致，當模擬時間均為0.40 ms時，下垂液滴的體積相等，形成的錐射流長度最小。隨著模擬的進行，直至形成穩定射流，可以發現，接觸角越小，形成錐射流的長度和半徑均最大。其中，90°接觸角時，錐射流的長度和半徑最小。在噴頭處錐射流半徑為毛細管內徑0.06 mm。當流量以預定速度繼續供應時，電荷也沿著液滴輪廓朝尖端進一步聚集，液滴尖端受到的電場力越來越大。當電場力足以克服液滴表面張力和黏滯力的作用時，尖端形成射流。接觸角越小時，穩定錐射流的長度越長。

2.2 不同接觸角錐射流的形成規律

各接觸角錐射流長度與模擬時間的關系見圖10。當接觸角為30°時，形成射流需要的時間最長，且錐射流長度最大。對比各接觸角錐射流的長度變化可以看出，模擬初期，接觸角越小時，錐射流長度增加越慢；隨著模擬的進行，各接觸角錐射流長度的增長速度加快。這是因為在模擬初期，接觸角越小，墨水與毛細管噴頭的接觸面積越大；由于各組流量供應速度一致，錐射流長度增加越慢；模擬進行時，液滴長度增加，而半徑變小，長度增加速度加快；即將形成射流時，液滴尖端形態相似，所以各接觸角錐射流長度增長速度相近。

圖10 各接觸角錐射流長度與模擬時間的關系

為了進一步分析射流的形成機理，圖11給出了45°接觸角時各時刻射流表面電荷密度的分布。電荷沿著錐形液滴界面分布，液滴頂端的凈電荷密度最高，隨著射流的伸長，電荷進一步在液滴頂端聚集，液滴內部則沒有自由電荷分布。

圖11 接觸角45°時墨水表面電荷密度分布

圖12是接觸角為45°時，各時刻電場強度的分布。可以發現，各時刻電場強度在液滴頂端及毛細管噴頭壁處較強，并沿四周向外快速減弱。隨著模擬的進行，電場強度在毛細管噴頭壁處減弱，在液滴頂端處加強。電場強度與射流表面電荷密度的變化規律相似。結合電流體動力學理論分析可知，氣液兩相界面處的電荷受電場力作用帶動流體運動，使錐形液滴發生顯著形變。電荷移動導致電場變化，電場變化又反過來作用于電荷使其發生遷移。

圖12 接觸角45°時電場強度分布

圖13—17為穩定射流狀態下，各接觸角液滴內部速度方向示意圖。可以發現，接觸角為30°、45°和60°時，切向電場力使得墨水沿錐面切向流動，由中心部位向兩端回流，在內部形成2個對稱的渦。接觸角為75°和90°時，射流雖有向兩端流動的趨勢，但未形成回流。接觸角越小，墨水越容易吸附在毛細管噴頭表面上，與毛細管噴頭的接觸面積越大，相應的回流區域越大。

圖13 接觸角30°時液滴速度方向示意圖

圖15 接觸角60°時液滴速度方向示意圖

圖16 接觸角75°時液滴速度方向示意圖

圖17 接觸角90°時液滴速度方向示意圖

3 結論

當墨水與毛細管噴頭接觸角越小時，潤濕性越強，兩者的接觸面積越大；在射流形成期間，當模擬時間相同時，對于接觸角較小的情況，對應的射流長度較短；當射流穩定之后，接觸角越小時，錐射流的長度反而越長，形成射流需要的時間越長，相應的回流區域越大。研究結果可為進一步理解電流體動力學打印過程中的射流動力學機理和改進噴頭結構提供參考。