引導學生把握好學習的“關鍵性步子”
——“用數對確定位置”教學實踐與思考

江蘇沭陽縣學府路小學（223600） 王建芹

在一次全縣教學研討會上，筆者執教了四年級下冊“用數對確定位置”一課。“用數對確定位置”是學生在已學過用類似“第幾排第幾個”的方式描述物體在平面上的位置，從而獲得用自然數表示位置的方法的基礎上學習的。本課結合具體的座位圖情境，引導學生學會用數對來表示位置，理解數對在確定位置中的作用，為第三學段“圖形與坐標”的學習打好基礎。

備課時，筆者側重表達數學形式的統一規定，即列與行的確定和數對的表示都是為了表達需要，所以要形式上統一。試教時，學生都能在“規定”的引領下進行數學形式的表達，一節課下來，學生感覺數對知識非常簡單，既知道了數對的作用，又會用數對表示平面上物體的位置，而筆者在課堂上的表現也相當精彩。評課教師這樣說：“王老師的聲音甜美動聽，語言生動豐富；教學過程絲絲入扣，層層遞進；目標達成順暢自然，水到渠成。”試教結束，筆者收獲諸多好評，內心有幾分竊喜，為自己的付出得到同行的認可而高興。

后來，在整理教案和反思教學過程時，筆者忽然覺得這樣的課堂似乎少了點什么。本課研究的是將物體（點）放在直角坐標系的第一象限內來確定其位置。學生雖然是第一次“近距離”接觸平面直角坐標系，但類似的知識經驗在以往的學習中是否有過？如何鏈接原認知？怎樣為以后的學習做好鋪墊？這節課最有價值的探究點在哪？在學習過程中，學生除了獲得知識與技能，還有哪些素養應該發展？教學的路徑在自我追問中漸進明朗，帶著賁友林老師倡導的“學為中心”的理念，筆者把原有的教學設計全部“清零”，重新思考，進行二次備課。

二次備課時，筆者查閱了大量的資料，了解了人類用數對確定位置的大致歷程后，把本課的教學重點定位在引領學生把握好數對確定位置的“關鍵性步子”，抽象出更為簡潔的數學化表達。這樣操作，能幫助學生理解“用數對確定位置”規定背后的合理化，帶領學生找到數學知識的落腳點和生長點。

【教學實踐】

1.一維的位置確定

師（出示課題）：在一年級時我們就接觸了確定位置。（邊說邊點擊如圖1所示的課件）戴帽子的男孩排在第幾？你是怎么數的？

圖1

生1：第2，從左往右數。

師：老師用箭頭表示你數的方向，如果用一個數來表示他的位置，是幾？

師（邊說邊點擊如圖2所示的課件）：小明的位置在哪？

圖2

生2：從前往后數第3個。

師：說得非常完整！若用一個數表示，是幾？

師（小結）：像這樣只有一排或一列時，要確定其中某個位置，用幾個數就可以了？（學生回答略）

2.二維的位置確定

師（課件出示圖3）：如果有很多排，又該怎樣確定位置？

圖3

（1）初步建立直角坐標系

師：小明的位置在哪？先獨立思考，再想一想、找一找。

師：如果有答案，別急著說，拿出學習單（如圖4），根據提醒，在上面畫一畫、標一標，找到小明的位置。

圖4

（2）明確列、行及其數的方向

師：說說你是怎么找的。

生1：先從左往右數第4排，再從前往后數第3個，小明的位置在第4排第3個。

生2：先從右往左數第3排，再從前往后數第3個，小明的位置在第3排第3個。

生3：先從左往右數第4組，再從前往后數第3個，小明的位置在第4組第3個。

……

師：為什么同一個位置會有不同的表達方式？

生4：方向不同，表達方式不同。

師：說法不統一，這樣交流起來方便嗎？為了方便交流，我們通常把豎排叫作“列”，橫排叫作“行”。

師：小明在哪一列？

生5：第4列。（根據學生回答，教師用記號筆在學習單的第4列上畫豎線）

師：行呢？怎么數？大家數一數共有幾行？（學生用手勢比畫）

師：小明在第幾行？

生6：第3行。（根據學生回答，教師用記號筆在學習單的第3行上畫豎線）

師：那小明的位置在哪？用數學語言來表達。

生7：第4列第3行。

師（指著位置圖上的一個男孩）：他的位置怎么表述？

生8：第2列第1行。

（3）將位置圖抽象成圓點圖

師：如果把位置抽象成圓點，你還能找到小明的位置嗎？（把位置圖變成圓點圖）

師：先找什么？怎么數？（根據學生回答，課件依次出現列、行，如圖5）

圖5

（4）抽象出數對

師：誰能用比“第4列第3行”更簡潔的方式來表示小明的位置？先想一想，再在作業本上寫一寫。（指名學生板書）

生1：4、3。

生2：4.3。

生3：4，3。

師：我們看黑板上這幾個同學寫的數據，它們非常的相似，它們都有哪兩個數？4和3表示什么？

生4：都有4和3，4和3表示第4列第3行。

師：很棒！抓住了關鍵的第4列第3行。

師：為了讓各個國家的人都明白它的意義，數學家和你們的想法是一致的，保留了最關鍵的4和3，并用逗號隔開，又在兩邊加上小括號，表示這是一個整體（教師邊說邊板書）。它有個好聽的名字，叫作“數對”。

師：既有列又有行時，我們用幾個數來確定位置？分別表示什么？（學生回答略）

3.三維的位置確定

依次出示圖6、圖7和圖8：

圖6

圖7

圖8

師：只有一行時，我們用一個數來確定位置（如圖6）；既有列又有行時，我們用兩個數來確定位置（如圖7）；如果是如圖8這樣的，又該怎樣確定位置呢？（學生回答略）

【教學思考】

“用數對確定位置”既是對學生原有確定物體位置認知經驗的深化，又承擔著為后續學生學習坐標與函數奠基的任務。本課引導學生從生活實際中感受位置確定的方法，體會數對在確定位置中的作用，讓學生能用數對表示平面圖上某一點的位置，初步感知坐標的知識，為今后學習坐標打好基礎。

赫斯說：“對學科本質的認識和了解是一切教學法的根。”對教師而言，把握教學之根，就要立足教材，關注知識本質。用數對（a，b）表示物體在平面中的位置，其實質是“在直角坐標系中，對于平面上的任意一點，都有唯一的一個有序數對與它對應；反過來，對于任意一個有序數對，都有平面上唯一的一點與它對應”。在本課中，學生經歷了數對表示位置的發展過程，從中把握了“關鍵性步子”。

1.熟悉的學習情境

奧蘇貝爾曾說：“如果我不得不把教育心理學的所有內容簡約成一條原理的話，我會說：影響學習的最重要的因素是學生已知的內容，弄清了這一點后，進行相應的教學。”課始，我從戴帽子的男孩這一熟悉的學習情境導入，在學生根據已有的認知經驗，用一個數便能輕松、準確地表示出某一位置后，再拋出“如果有很多排，又該怎樣確定位置？”這一核心問題，直擊知識核心，打開新舊知識的鏈接點，驅動學生思維由一維向二維發展。

2.位置的確定過程

為了讓學生把握好從一維到二維再到三維位置確定中的“關鍵性步子”，教學時筆者充分放手：首先，從學習單上的畫一畫、標一標開始，引導學生勾勒出直角坐標系的原始輪廓，建構初步表象；其次，在點圖上用列和行交叉的點表示小明的位置，激發學生從二維空間的視角思考，發現可以用兩個數表示小明的位置；最后，給出任意空間內的一個點，引導學生思考如何確定它的位置，讓學生感受到數學知識間的緊密聯系、層層深入，以及數學學習的深刻性和規律性。

3.數對的產生過程

圍繞“小明的位置在哪？”這一問題，學生通過對同一位置的不同表達，從準確性與必要性出發，把握了位置表達的“關鍵性步子”，同時也深刻地理解了一些數學規定背后的“合理性”。當教師提出“誰能用比‘第4列第3行’更簡潔的方法來表示小明的位置？”這一問題時，抓住“關鍵的數”來確定位置應運而生。于是，當既有列又有行時，數對最本質的特征在思維的碰撞中得以抽象、重現，學生完整地經歷了數對“自主化”產生的過程，透徹理解了數對中兩個數表示的意義。這一過程是逐步遞進、簡化、抽象的，學生從中體會到“數對”在確定位置中的作用，感受到數學的簡潔性與抽象性。

位置確定，從一維到二維再到三維，又從座位圖到圓點圖再到方格圖，雙線并行，層層遞進，數形結合，滲透了“坐標”思想，為學生今后學習坐標打好基礎。只有把握好學習的“關鍵性步子”，學生才能將視野從平面上的點拓展到空間中的點，也才能走得穩健從容，使得學科素養的培養落地生根。