利用幾何直觀探析計算教學的本質
——以“異分母分數加減法”教學為例

安徽碭山縣師范附屬小學（235399）李曉寧

幾何直觀，主要是指利用圖形描述和分析問題，可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在數學教學中發揮著重要作用。特級教師吳正憲說過這樣的一句話：“幾何直觀憑借圖形的直觀性特點，將抽象的數學語言與直觀的圖形語言有機地結合起來，充分展現問題的本質，能夠幫助學生打開思維的大門，突破數學理解上的難點。”在計算教學中如何充分發揮幾何直觀的作用，促理明法，探析計算教學的本質呢？筆者在教學北師大版教材五年級下冊“異分母分數加減法”時，進行了如下嘗試。

一、數線引入，拓展分數認識

師（出示圖1）：在數線上你看到了哪個分數，表示什么意思？還能想到哪些分數？

圖1

生1：

（結合學生思考，課件出示等數的圖例）

師：在數線上，還可以找到許多分數，分數是一個大家庭，每個分數都有許多的形式。剛才找到的這些分數中誰當家？

生2（指圖2）2個加3個是5個也就是58。

圖2

……

（通過交流，學生懂得了“分數單位相同，分子直接相加減，分母不變”的算理）

師：看來，整數、小數、同分母分數加減法的算理是一樣的，都是把相同的計數單位相加減。

【思考】小學數學的計算教學都是建立在學生對數本身意義的認識基礎上的。學生對于分數的認識更體現在對其個體意義的理解上。在復習引入環節，先借助學生熟知的數線直觀圖表示，讓學生找出和大小相等的分數；然后讓學生觀察這些分數，找出異同點；最后結合分數的基本性質對一類等值分數進行比較，“以形促數”深化學生對“分數大家庭”的理解。重點是讓學生通過直觀圖形解釋同分母分數相加減的算法，喚醒學生“分數單位相同的分數，分子能直接相加減”的計算經驗，讓學生的認知從具體到抽象，為后繼的計算學習奠定扎實的認知基礎。

二、借助直觀圖式，表達數量關系

（學生想象后，教師出示圖3）

圖3

師：請提出用加法解決的一步問題，并列出算式。

生1：種黃瓜和西紅柿一共用了這塊田的幾分之幾？算式是

生2：種豆角和辣椒一共用了這塊田的幾分之幾？算式是。

……

【思考】教師出示信息后并沒有馬上讓學生提出問題，而是讓學生想象怎樣用圖來表示這些信息。借助幾何直觀圖表示題目中各個量之間的關系，變“看不見”為“看得見”，使數量關系變得簡潔明了，達到化繁為簡的目的。學生在體會圖形簡潔美的同時能感悟數形結合的思想，在此基礎上提出問題，可使學生的思維更靈活、開放。

三、多種方法表征，明白計算算理

生1（出示圖4）：我先把紙對折，找到其中的畫斜線；再對折，找到畫斜線。從折痕處就可以看出原來的變成這樣的結果就是

圖4

生2（出示圖5）：我先把圓形平均分成2份，表示黃瓜占然后把剩下的又平均分成2份，表示西紅柿占這樣半個圓和個圓合在一起就是3個也就是所以

圖5

生3（出示圖6）：我畫的圖大家能看明白嗎？

圖6

生4：這里的是什么意思？

生3：我在畫的時候發現可變成所以。

師：聽明白他的想法了嗎？

生5：聽明白了可以用表示，這樣就變成同分母分數相加了。

生6（出示圖7）：我畫的是線段圖，也能看出

圖7

師：學會了異分母分數加法，你會減法嗎？種黃瓜比種西紅柿多用了這塊地的幾分之幾？你會算嗎？用手中的學具畫一畫，也可以用其他的方法來計算。

生1（出示圖8）：請大家看看我畫的圖，能看懂嗎？

圖8

生1：我先把正方形的田平均分成2份，表示黃瓜占然后把的田又平均分成2份，表示西紅柿占，半個田減去的田，還剩下，所以。我說的大家聽明白了嗎？

師：誰還有不一樣的想法？

圖9

【思考】怎樣才能讓學生真正理解的算理和算法呢？教學中，通過問題的引領，為學生探究新知提供多角度的思路，留給學生足夠的探究空間，彰顯了學生個性化的思維。通過折一折、畫一畫的直觀操作活動，外顯了學生的思維過程，培養了學生用“形”來刻畫和解釋異分母分數加減法算理的意識和能力。在學生借助折紙和畫圖直觀表示結果后，教師通過追問“怎么用算式把轉化成這個過程表示出來呢”，讓學生通過觀察、思考、交流等活動，借助豐富的圖形表征把抽象的算理變得直觀可見，有效溝通了直觀運算和通分的聯系，“異分母分數相加要先通分”的道理呼之欲出。在此過程中，學生積累了畫圖說明計算結果的經驗，體會了轉化思想在溝通新舊知識以及解決新問題中的作用。這樣教學避免了直接生硬的給予，有效地實現了學生對新知的自主建構。

四、看圖說理，助推思維發展

師（指圖3）：仔細觀察，你能算出黃瓜、西紅柿、豆角和辣椒一共占了這塊田的幾分之幾嗎？

生1：

師：生1用了什么方法來計算？

生2：他用了通分的方法，即把異分母分數轉化成同分母分數。

師：還有不同的算法嗎？

生3：

師：這種算法很簡潔，能結合圖示說說你的想法嗎？

生3：從圖3中可以看出整塊田就是一個整體1，其他的占了只要減去就可以算出黃瓜、西紅柿、豆角和辣椒一共占了這塊田的

師：真棒！借助直觀圖清楚地說明了計算的道理，把這么復雜的算式轉化成簡便的一步計算。看來圖形是我們分析問題、解決問題的好幫手。

【思考】在拓展練習環節，教師將繁雜的數學問題轉化成為可見、可畫、可操作的生活情境，把抽象的數學知識合理地運用到生活當中，從而使學生能夠結合情境列出算式。在計算時學生一般都會用通分的方法進行異分母分數加減，因此對于第二種方法，學生剛開始很難理解。這時，借助直觀圖就可說明只要用單位“1”減去剩下圖形的大小就是所求的結果。教學中巧借“形”使本來抽象的算式變得直觀而富有靈性，達到“一圖抵百語”的效果。

綜上，小學數學計算教學不能只重算法而輕算理。學生不僅要掌握算法，更要理解算理。在計算教學中合理利用幾何直觀進行教學，可讓學生知其然，更知其所以然。因此，教師應增強利用幾何直觀進行教學的意識，特別在計算教學中要適時發揮直觀教學的優勢，豐富學習材料的呈現方式，提高學生的學習興趣，讓學生產生最直觀的感受，拓展學生解決問題的思維，彰顯計算教學的魅力。